Ф.П. Васильев - Методы оптимизации (2002) (1158201), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Точнее, справедлива следующая Теорема 1. Задачи (5), (6) и (18), (19) равносильнвк т. е.: 11 множества Х и И' оба пусты или непусты одновременно; 2) если Х фо, И'фЯ, то Х =д„, где Х, = ш1 Г(и), д, = !п1 д(ш); 3) множества решений Х„= (и е Х: Х(х) = Х ), Иг, =(ш Е И«: д(ш) = = д,) этих задач оба пусты или непусты одновременно, причем еслйх„= (х „х „) е Х„то ш. =(х,„, «„, «з„и,) Е Иг., где «„= п1ах(0; х,), Д о к а з а т е л ь с т в о. Учитывая связи (16),(17) между переменными хо х,, «О «„о и определения (6), (19) множеств Х, Иг заключаем, что если точка х = (х„х ) Е Х, то ш = ш(х) = (х„«, = шах(0; х,), «, = =шах(0; — х ), и = Ь,— Апх,-А„х )е Иг, И обратно, если ш=(х„«„«, и)е Е И«', то х=х(ш) =(х„х,=«,-««)Е Х.
Отсюда ясно, что либо оба множе- х,=«, — «„«, =шах(0; х) >О, «,=шах(0; — х,) >О, (16) где операция взятия максимума проводится покоординатно: «, = («,',... ..., «,"), «! = шах(0; х,'), «, = («,',..., «~), 4 = шах(0; — х,'), з' = 1,..., в,. Далее, заметим, что ограничения Ах < Ь типа неравенств можно записать в виде ограничений типа равенств Ах + о = Ь, добавив сюда неравенство и > 0: ясно, что точка х будет решением неравенства Ах < Ь тогда и только тогда, когда (х, о) — решение системы Ах + о = Ь, и > О. Отсюда следует, что вводя переменную =Ь, — Ап*,— А, * >О, (17) ограничение Апх, + А„х, < Ь, с учетом (16) можно представить в равносильном виде ства Х и И' пусты, либо оба непусты одновременно.
Далее, из определений функций Г(х), д(ю), ш(х), х(ю) следуют тождества (20) Х(х) = д(ш(х)), д(ш) = Х(х(ш)), тх, ш. Допустим, что Х, = — оо, Тогда существует последовательность (х„): х„Е е Х, й = 1, 2,..., такая, что ( Г(х„)) — + Г„= — оо. Положим ш„= ш(х ), Ь = = 1,2,.... Из (20) тогда имеем д(ю,) = д(ш(х,)) = Х(хь)- — оо, откуда,с учетом включения ш. Е И', Ь =1, 2,..., получим, что д, = — со.
Аналогично рассуждая, заключаем, что если д, = -оо, то ~; = -со. Пусть далее Х„> — со, д, > — оо. Возьмем произвольное число е > О, По определению нижней грани найдется точка х, Е Х, такая, что Х, < Х(х,) < < 7,+г. Тогда ш, = ю(х,) Е И" и из (20) следует, что д. < д(ш,) = Г(х ) < Х +г, т. е. д, < Х„+ г.
Аналогично, по определению д, существует точка ш, для которой д„< д(ш,) < д, + г. Тогда х, = х(ш,) Е Х и Х, < Х(х,) = Х(х(ш,)) = =д(ш,) < д, + е, т. е. Х, < д„+е. Следовательно, Х. — г <д, < Х, +г. В силу произвольности е > 0 отсюда вытекает, что Г = д > — оо.
* Наконец, если х, Е Х„то ю„= и«(х„) е Иг, и в силу вышедоказанного д(ш ) = д(ш(х )) = Х(х ) = Х = д Это значит что ш(х ) е И' при любом х, Е Х,. Аналогично доказывается, чтО если ш, Е И:, то х, = х(ш,) Е Х„. Отсюда следует, что либо оба множества Х. и И'„пусты или оба непусты одновременно. Теорема 1 доказана.
П 4. В теории и методах линейного программирования наряду с канонической задачей принято выделять так называемую основную (или стандартную) задачу линейного программирования: Х(х) = (с, х) — !и1, х Е Х = (х > 0: Ах < Ь), (21) получающуюся из общей задачи (5), (6) при гп = г, Х„= (1, 2,..., и). Это объясняется тем, что в приложениях большое число лйнейных математических моделей изначально естественным образом записывается в виде зада.
чи (21) (см., например, задачу (7)). Следует также отметить, что задача (21) весьма удобна для геометрических интерпретаций, делающих наглядными многие понятия и методы линейного программирования. Если ввести дополнительные переменные и = (и',..., и ) посредством соотношений и=Ь вЂ” Ах, и>0, (22) то задачу (21) в пространстве Е"+ переменных « =(х, и) можно записать в канонической форме: д(«) = (д««) — «!и!««Е Е« (23) В = (« = (х«и) > О, С« = Ах+ Х и = Ь), где д =(с,О)ЕЕ" «™, С=(А, 1„), Х вЂ” единичная матрица размера гп хо«. Из теоремы 1 следует, что задачи (21), (23) равносильны, и зная решение х„Е Х, задачи (21) по формуле (22) нетрудно получить решение задачи (23) «, = (х., 'о, = Ь вЂ” А х,), и обратно, если «, = (х„и,) е В„то х, е Х„. С другой стороны, каноническую задачу (15) нетрудно записать в форме основной задачи.
В самом деле, если ограничения типа равенств Ах = Ь заменить на равносильную систему двух неравенств: А х < Ь, А х > Ь, то Упражнения (с,с ) с1х1-1-сзхз = с 1 Рис. '3.2 Рис, 3.1 (с1, сз) СХ -ЬСХ=О1 2 2 Рис. ЗА Рис, 3.3 1ОО Гл. 3. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ тогда задачу (15) можно записать в следующем виде у(х)=(с,х) — 1!и1, хЕХ=(х>О: Ах< Ь, ( — А)х< — Ь)= =(х>О: Сх<У) С вЂ” А ' у Ь .
(24) Рассуждая также, как при доказательстве теоремы 1, нетрудно установить равносильность задач (15), (24). Как видим, все три формы задач линейного программирования — общая задача (5),(6), каноническая (15), основная (21) — тесно связаны между собой и простыми преобразованиями от одной формы легко перейти к другой. Поэтому, если мы научимся решать одну из этих задач, то тем самым будем уметь решать задачу линейного программирования, записанную в любой другой форме. Заметим однако, что изложенные приемы сведения задач (5), (6), (15), (21) к канонической или основной задаче могут привести к чрезмерному увеличению размерности переменных или числа ограничений.
Поэтому методы решения задач линейного программирования обычно разрабатывают для задач (15) или (2!), как более простых для исследования, а затем, учитывая указанную связь между задачами (5), (6), (15), (21), модифицируют полученные методы применительно к другим классам задач линейного программирования, стараясь, по возможности, не увеличивать нх размерность. !.
Требуется составить наиболее дешевую смесь, содержашую не менее Ь' единиц 1-го вещества, 1 = 1, 2,..., гп, при условии, что для изготовления смеси имеется и видов продукции, ПРИЧЕМ В ОДНОЙ ЕДИНИЦЕ >ЬГО ПРОДУКта СОДЕРжИтСЯ аи ЕДИНИЦ Я-ГО ВЕШЕСтаа, а ЦЕНа ОДНОЙ единицы >ьго продукта равна с> рублей (задача о смесях). сформулировать эту задачу в виде основной задачи (21).
2. Задачу >(х) = х +х +х +х — х -азор, х =(х, х, х, х, х ) еХ =(х > О, х >О, 1 2 3 4 Б 1 2 3 Я Б 1 3 х« >О; х1+хе — ха < 1, х1+х4+ ха= 3, х> — ха+ха > 1, — ! < хз < 1, хз > 1) записать в виде задач (5), (б), (15), (21). 3.
Записать обшую задачу (5), (б) линейного программирования в форме основной задачи, доказать их эквивалентность, й 2. Геометрическая интерпретация. Угловые точки 1. Кратко остановимся на геометрическом смысле задачи линеиного про- граммирования. Рассмотрим задачу (1.21) при и = 2: г(х) = с'х' + с'хз — 1 1п1 х Е Х =(х =(х', хз): х' > О, хз >О, а„х1+аззхз < Ь', з = 1,..., т) Введем множества: Хо =(х =(х', х'): х' > О, х' >О) = Е«2 — неотрицатель. ный квадрант плоскости; (х', хз), ХЯ = (х = (х', х'): ам х' + аз х' < Ьг)— полуплоскость, образуемая прямой аг,х + а,.хз = Ь*, 2' = 1,...,т.
Ясно, что множество Х является пересеченйем множеств Х, Х„..., Х . Может случиться, что это пересечение пусто (рис. 3.1) — тогда задача (1) теряет смысл. Если множество Х непусто, то оно, образованное пересечением ко- $2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ. УГЛОВЫЕ ТОЧКИ 161 печного числа полуплоскостей, представляет собой выпуклое многоугольное множество, границей которого является ломаная, составленная из отрезков каких-либо координатных осей и прямых апх'+ аззхз = Ь', з = =1,..., тп. Это многоугольное множество может быть как ограниченным (рис. 3.2) — тогда Х представляет собой выпуклый многоугольник, так и неограниченным (рис.
3.3). Пусть ст — какое-либо значение функции у(х) = (с, х) = с'х'+с'хз. Тогда уравнение с'х' + сзхз = ст (2) задает линию уровня функции Г"(х), соответствующую ее значению ст и на плоскости определяет прямую, перпендикулярную вектору с = (с', с') фО. При изменении а от — оо до оо прямая (2), смещаясь параллельно самой себе, «зачертит» («заметет») всю плоскость. При этом вектор с — градиент функции Дх) — указывает направление, в котором следует смещать прямую (2), чтобы увеличивать значение функции )'(х) = (с, х).
Может случиться, что при изменении 42 от -оо до оо прямая (2) при некотором значении ст = ). впервые коснется Х и будет иметь с Х общую точку х. (на рис. 3,2-3.5 прямая (2) представлена при ст = ст1 < у"„ < 42 < стз). Ясно, что (с, х,) =У, =!п1(с, х), т. е, х, — решение задачи (1). Возможен случай; когда прямая (2) при первом касании с многоугольником Х будет иметь не одну $2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ. УГЛОВЫЕ ТОЧКИ 1О3 Гк 3. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕВНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 1О2 Рис.
3.3 Рис. 3.6 общую точку с Х, а целую сторону (рис. 3.4, 3.5) — это может случиться, если Х имеет сторону, перпендикулярную вектору с. Если многоугольное множество Х не ограничено, то наряду со случаями, когда при первом касании прямая (2) будет иметь с Х одну общую точку х, (см, рис. 3.3) или сторону (рис. 3.5), возможна ситуация, когда прямая (2) при всех а ( — оо < а < пс < оо) имеет общую точку с Х (рис.
3.6) — тогда 1п1(с,х) = †(первого касания прямой (2) с Х нет), т. е. задача (1) не х имеет решения. Из рассмотренных случаев задачи (1) видно, что задача линейного про- граммирования может не иметь ни одного решения (см. рис. 3.1, 3.6), может иметь лишь одно решение (см. рис. 3.2, 3.3), может иметь бесконечно много решений (см. рис. 3,4, 3.5), множество решений может быть неограничен- ным (рис. 3.5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
