Часть 2 (1157610), страница 2
Текст из файла (страница 2)
вкаждом узле одномерной решетки расположен центр инверсии (точечная группа1). Этимсвойством обладает любой узловой ряд, который можно выделить в произвольнойрешетке более высокой размерности. Таким образом, центр инверсии1 совместим странсляционной симметрией, и все кристаллические решетки центросимметричны.Рисунок 2.5. Узловые ряды в плоской сетке (выделены серым цветом)В двумерных решетках, или плоских сетках, инверсию координат (x, y) (x,y) вплоскости сетки принято обозначать как действие оси 2, проходящей перпендикулярноэтой плоскости в трехмерном пространстве.
В этих обозначениях любая поворотная ось N,проходящая через узел двумерной решетки перпендикулярно ее плоскости, должна иметь5четный порядок (N2). Кроме поворотов, некоторые сетки могут переводиться в себяотражением в перпендикулярных им плоскостях m.Максимальный порядок поворота N в 2D-решетке легко установить, выбрав в нейузловой ряд, в котором узлы расположены через кратчайшую трансляцию а (Рис. 2.6 а).При повороте такого ряда вокруг выбранного узла 0 на угол 360о/N соседний узел Апереместится в положение В. Длина стороны АВ в треугольнике 0АВ равна 2a·sin(/2)≥a(т.к. стороны ОА и ОВ по выбору узлового ряда равны кратчайшей трансляции а).Поэтому sin(/2)≥1/2, и /2≥30о. Следовательно, угол поворота вокруг оси симметрии=360о/N не может быть меньше 60о.
Это значит, что максимальный порядок поворотнойоси в двумерном кристалле равен 6, и все возможные для него поворотные оси – это оси 2,4 и 6, а также ось 36 (которая может проходить через центр правильного треугольника сузлами в вершинах, но не через сами узлы). В то же время ось 5-го порядка несовместимас трансляционной симметрией, т.к. правильными пятиугольниками с углом при вершине108о нельзя плотно (без щелей) заполнить плоскость (рис. 2.6 б). Таким образом,двумерные кристаллы могут иметь следующие закрытые элементы симметрии:(2.1а)1, 2, m, 3, 4 и 6,(включая тождественное преобразование 1).36о(а)(б)Рисунок 2.6.
(а) Изменение положения узлового ряда с кратчайшей трансляцией а(выделен серым цветом) при повороте плоской сетки на угол =360o/N вокруг узла 0.(б) Плотное заполнение плоскости правильными треугольниками, квадратами,правильными шестиугольниками и невозможность ее заполнения правильнымипятиугольниками.Ограничения на порядок поворотных осей в двумерных решетках переносятся и натрехмерные, поскольку каждое сечение 3D-решетки плоскостью, проходящей через узлы,является плоской сеткой.
Но из-за наличия центров симметрии1 в узлах трехмернойрешетки поворотная ось 3, проходящая через узел, превратится в инверсионную ось3, алюбая четная поворотная ось породит перпендикулярную к ней плоскость m. Такимобразом, в трехмерных кристаллах могут также существовать инверсионные оси 3-го, 4-гои 6-го порядков (Табл.
2.1).6Таблица 2.1Инверсионные оси в 3D-кристаллах (выделены жирным шрифтом)элементыв 2D-сетке +1результатподгруппыm2/m2, m,122/m2, m,1333,144/m4,4, m,166/m6, 3/m =6,3, 3, 2/m, 2, m,1Весь перечень кристаллографических закрытых элементов симметрии (включаятождественное преобразование) для трехмерных кристаллов выглядит так:(2.1б)1, 2, 3, 4, 6,1,2=m,3,4,62.3. Сингонии, решетки Браве и кристаллографические классыПолный набор кристаллографических классов для двумерных и трехмерныхкристаллов можно построить, перебрав все возможные комбинации элементов симметриииз (2.1а) и (2.1б).
Мы придем к тому же результату немного иначе: перечислим всеточечные группы узла в решетке (голоэдрические группы) в порядке повышениясимметрии и выпишем все подгруппы таких групп. На этом пути мы познакомимся сновыми для нас центрированными решетками, которые присутствуют во многихкристаллических структурах.Схему вывода голоэдрических групп вначале рассмотрим на примере плоскихсеток. Симметрия узла в таких сетках соответствует симметрии координатного креста изкратчайших трансляций a, –a, b и –b (Рис. 2.7).
Низшей возможной точечной группе 2отвечает косой координатный крест с произвольными a, b и ≠90о. Элементарная ячейкатакой решетки – параллелограмм (Рис. 2.7 а). Деформируя эту решетку – например,изменяя параметр b и (или) угол при неизменном а – постараемся добиться появленияновых элементов симметрии: плоскостей m, перпендикулярных к плоскости сетки. Этоможно сделать двумя способами: (1) направить трансляцию b перпендикулярно к a (=90o)либо (2) установить b=a с произвольным углом .
В обоих случаях из-за взаимодействияплоскости m с лежащей в ней поворотной осью 2 (см. ч. 1) точечной группой узластановится mm2, однако в первом случае плоскости m проходят по направлениямкоординатных трансляций a, b прямоугольной элементарной ячейки (Рис. 2.7 б), а вовтором – по диагоналям a+b, a–b ромбической ячейки (Рис. 2.7 в).7Рисунок 2.7.Операции симметрии координатного креста в плоских сетках; их сингонии ирешетки Браве.Изменяя параметр b в прямоугольной сетке до достижения b=a либо установивугол между трансляциями в ромбической ячейке =90о, получим тетрагональную 2Dрешетку с симметрией узла 4mm (Рис. 2.7 г). Если же в ромбической ячейке с b=a сделатьугол между координатными трансляциями равным 120о, благодаря соотношению|b+a|=a=b возникнет гексагональная плоская сетка с симметрией узла 6mm (Рис.
2.7 д).Несколько более детальный анализ показывает, что все варианты возможнойсимметрии узла в плоской сетке исчерпываются четырьмя полученными нами группами(2, mm2, 4mm и 6mm). Выбрав в ромбической ячейке на Рис. 2.7 в новые координатныенаправления a'=a–b и b'=a+b по диагоналями ромба, мы построим прямоугольнуюэлементарную ячейку вдвое большей площади, в которой плоскости m проходят потрансляциям a' и b'. В отличие от прямоугольной ячейки на Рис. 2.7 б и всех остальныхячеек на Рис. 2.7, узлы которых расположены только в вершинах, в центре «удвоенной»прямоугольной ячейки с координатами a’/2, b’/2 на Рис.
2.7 в также находится узел.Отвлекаясь от метрики плоской сетки, т.е. от численных величин ее параметровячейки, обозначим координаты центра ячейки в долях координатных трансляций: 1/2, 1/2.Сетки без узлов внутри элементарных ячеек называются примитивными и обозначаютсяp. Сетка с узлом в центре 1/2, 1/2 называется центрированной и обозначается с.Таким образом, все возможные 2D-решетки имеют точечную симметрию узла 2,mm2, 4mm или 6mm, причем решетки симметрии mm2 могут быть примитивными либоцентрированными, а остальные решетки – только примитивными (Табл.
2.2). Комбинируясимволы сеток и их точечных групп, запишем все эти варианты как p2, pmm2, cmm2,p4mm и p6mm. Переход от одного «вида» решетки в другой в ходе деформациисопровождается мгновенным изменением симметрии, тогда как при деформациях внутрикаждого «вида» решетки симметрия узла не изменяется. Заметим, что решетки pmm2 иcmm2 также не переводятся одна в другую непрерывными деформациями без измененияточечной группы узла: на таком пути лежит точка a=b, =90o, где возникает поворотнаяось 4-го порядка.8Определение 1.
Бесконечный набор всех решеток, относящихся к одной и той жеголоэдрической группе, называется сингонией.Определение 2. Все решетки одной сингонии, переводимые одна в другую непрерывнымидеформациями, относятся к одному типу Браве.Определение 3. «Безразмерная» (т.е. обладающая произвольной метрикой) решетка,относящаяся к определенному типу Браве, называется решеткой Браве.Мы видели, что плоские сетки разбиваются на четыре сингонии и пять решетокБраве.
Названия сингоний и обозначения решеток вместе с условиями, накладываемымисимметрией на параметры элементарной ячейки, приведены в Табл. 2.2. Там же длякаждой сингонии перечислены все подгруппы соответствующих голоэдрических групп.Десять полученных групп (голоэдрические группы плюс их подгруппы) – это вседвумерные кристаллографические классы, то есть все возможные точечные группы 2Dкристаллов.Таблица 2.2Сингонии, кристаллографические группы и решетки Браве в двумерных кристаллахсингониякосоугольнаяпрямоугольная (ортогональная)тетрагональнаягексагональнаяголоэдрическаягруппа2mm24mm6mmподгруппытипы решетки1m46, 3, 3mpp, cppСингонии, решетки Браве и точечные группы трехмерных кристалловпредставлены в Табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
