Часть 2 (1157610), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Начало координат в Р 1 выбираетсяпроизвольно: например, одному атому в структуре кристалла, относящегося к этойгруппе, приписывают координаты (0, 0, 0) и задают по отношению к нему координатывсех остальных атомов в ячейке. Взаимодействием элементов второго порядка сперпендикулярными трансляциями также определяются графики простейших групп Р2,Р21, Pm и Pc моноклинной сингонии (Рис.
2.21).00ba(а)(б)yzz+1/21–y(в)(г)Рисунок 2.21. Графики пространственных групп Р2 (а, б) и Рс (в, г) (две проекции). Вгруппе Рс показаны точки общего положения (орбита 1)В группах средних сингоний главная поворотная, инверсионная или винтовая осьпорядка 3, 4 либо 6, направленная вдоль с, учитывая центросимметричность решетки,превратит перпендикулярную ей трансляцию в «звезду» таких трансляций, состоящую изчетырех векторов для оси 4 и шести векторов для осей 3 и 6. Эти трансляции перенесутисходную ось во все вершины на проекции ячейки.
Размножив осью и трансляциямиточку, выбранную внутри ячейки в группах Р 4 или Р4 (Рис. 2.22 а), мы увидим, что вцентре квадратного основания ячейки возникнет та же ось, что и оси 4-го порядка в еевершинах. Кроме того, эквивалентные точки в этих группах связаны поворотными осями2, проходящими параллельно с через середины трансляций a и b. Поскольку в осях 4 и4содержится ось 2, можно убедиться, что элементы 2-го порядка, входящие в составглавной оси, в соответствии с правилом №1 возникают на серединах трансляций. Такимже построением для группы Р 3 легко показать, что в центрах двух правильныхтреугольников в основании ячейки, построенных на трансляциях a, b и a+b (равных подлине), возникнут новые оси 3.
Взаимодействие осей 3-го и 4-го порядка сперпендикулярными трансляциями подчиняется следующему правилу:26Правило №2. Оси симметрии порядка 3 или 4 при взаимодействии с перпендикулярнымитрансляциями переносятся во все вершины правильного n-угольника (соответственно,треугольника или квадрата), построенного на этих трансляциях. При этом в центре nугольника возникает ось такого же порядка, перпендикулярная его плоскости.(а)(б)(в)Рисунок 2.22. (а) График пространственной группы Р4: показаны точки, связанныеповоротами вокруг оси 4-го порядка и трансляциями a, b; серым цветом выделенывозникшие оси. Графики пространственных групп (б) Р6 (в ось 6 входят оси 3 и 2) и (в)Р62 (ось 62 включает оси 32 и 2).Правило №2 выполняется как для поворотных и инверсионных, так и для винтовыхосей.
Если же ось 3-го порядка входит в состав главной оси (это справедливо дляосей3(3,1), 6(3, 2), 6(=3/m) и всех винтовых осей 6p), в соответствии с правилом №2именно эта «включенная» ось возникает в центре треугольника из трансляций, а всерединах трансляций по правилу №1 появляются элементы второго порядка (Рис. 2.22 б,в). Таким образом, с помощью правил №1 и №2 можно построить графики простейшихгрупп средних сингоний.Взаимодействие элементов симметрии с наклонными трансляциямиВ центрированных решетках (A, B, C, I, F или R) есть нецелочисленныетрансляции, расположенные наклонно к координатным направлениям.
Если вдолькоординатного направления проходит элемент симметрии (ось или плоскость), наклонныетрансляции будут взаимодействовать с ним, порождая новые элементы. Отметим, что всеэлементы симметрии, имеющиеся в исходной пространственной группе с примитивнойрешеткой Браве, при таком взаимодействии сохраняются. Не прибегая к построениюсистемы эквивалентных точек, приведем результат.Правило №3. Центрирующую трансляцию, направленную наклонно к элементусимметрии R, можно представить в виде суммы t||+t┴ двух векторов: параллельного (t||) иперпендикулярного (t┴) к этому элементу.
В результате взаимодействия R с наклоннойтрансляцией t||+t┴ ее параллельная часть t|| вливается в элемент R, образуя новый элементсимметрии R1, а перпендикулярная часть t┴ переносит полученный элемент R1 на t┴/2 всоответствии с правилами №№ 1 и 2.Используем это правило для построения графика группы С2, принадлежащей ккристаллографическому классу 2 моноклинной сингонии. Поворотная ось 2 совпадает скоординатным направлением b, а трансляция tC= a/2 + b/2, направленная наклонно к этойоси, центрирует грань (ab). В исходной группе Р2 (см. Рис.
2.21 а) вектор t||=b/2, вливаясьв ось 2, превратит ее в 21 (поворот на 180о + сдвиг на b/2). Полученная ось являетсяэлементом второго порядка, поэтому перпендикулярный вектор t┴=a/2 по правилу №1перенесет ее вдоль a на t┴/2=a/4.27Преобразуя все оси 2, входящие в элементарную ячейку, получим график группыС2 (Рис.
2.23 а): оси 2 и 21 в ней чередуются вдоль направления а через четвертьтрансляции. Заметим, что к такому же расположению осей приведет и добавлениетрансляции tC= a/2 + b/2 к группе Р21: «параллельный» сдвиг на b/2 переведет винтовуюось 21 в поворотную 2 («с точностью до трансляции»), а «перпендикулярный» векторt┴=a/2 перенесет полученную ось 2 на расстояние a/4. По соглашению, начало координат вгруппе С2 выбирают на поворотной оси 2.
Координату y=0 в этой группе (как и в группахР2 и Р21) произвольно задают для одного из атомов, входящих в ячейку. По такой жесхеме можно построить графики групп Cm и Cc. В группе Cm компонент tC,параллельный к плоскостям симметрии (t||=a/2) превратит плоскость m в плоскость a(соответственно в Cc плоскости c превратятся в плоскости n), а компонент t┴=b/2 сдвинетновые элементы трансляции на b/4 (Рис.
2.23 б, в). Чтобы задать начало координат вкристаллических структурах, относящихся к этим группам, для одного из атомовустанавливают x=0 и z=0.zzzzc(а)(б)(в)Рисунок 2.23. Пространственные группы С2 (а) и Сm (б, в). На проекции (в) показаныточки общего положения в группе Cm.Взаимодействие двух произвольных элементов симметрии 2-го порядкаВ 1-й части пособия рассматривалось взаимодействие закрытых элементовсимметрии 2-го порядка (1, 2 или m), порождающих третий элемент. Эта схемаобобщается на взаимодействие произвольных элементов 2-го порядка: закрытого элементас открытым или двух открытых элементов.Правила взаимодействий произвольных элементов симметрии 2-го порядка R1 и R2очень похожи на правила №№ 1 и 3.
Если действие элемента R1 включает закрытуюоперацию R1’ и сдвиг s1, а элемента R2 – закрытую операцию R2’ и сдвиг s2 (один или обаэти сдвига могут быть равными нулю), возникающий элемент представляет собойрезультат взаимодействия R1’ и R2’, модифицированный суммарным сдвигом s1+s2.Правило №4. Суммарный сдвиг s1+s2= s||+s┴, входящий в состав элементов R1 = R1’+s1 иR2= R2’+s2, представляют в виде суммы двух векторов: параллельного (s||) иперпендикулярного (s┴) к закрытому элементу симметрии R3’, который возникает привзаимодействии соответствующих закрытых элементов R1’ и R2’.
«Параллельный» векторs|| вливается в R3’, превращая его в новый элемент R3 = R3’+ s||, а «перпендикулярный»вектор s┴ переносит полученный элемент R3 на s┴/2.В случае взаимодействия оси 2-го порядка и перпендикулярной ей плоскости поправилу №4 возникает центр инверсии, сдвинутый на половину суммы s1+s2 от точки ихпересечения (Рис. 2.24 а). Две взаимно перпендикулярные оси 2-го порядка (безразлично,поворотные или винтовые), пересекающиеся в точке, порождают ось 2 (Рис. 2.24 б), а двескрещивающиеся перпендикулярные оси – ось 21 (Рис. 2.24 в); положения полученныхосей определяются суммой s1+s2= s┴.. Две взаимно перпендикулярные плоскости дают ось282-го порядка; ее тип и положение определяются, соответственно, компонентамисуммарного сдвига s|| и s┴ (Рис.
2.24 г, д).Правило №4 справедливо для всех комбинаций элементов 2-го порядка. Так, ось 21,лежащая в плоскости m, порождает перпендикулярную к m плоскость скользящегоотражения со сдвигом в направлении оси и служит линией пересечения этих плоскостей.Рассмотренные в ч.1 взаимодействия элементов 2-го порядка с поворотной осью порядкаN>2 также можно распространить на взаимодействие винтовой оси Np cперпендикулярной к ней осью 2: при этом возникает N перпендикулярных осей 2,пересекающих Np и расположенных вдоль нее через интервалы tp/(2N) (Рис. 2.24 е).t2/4t1/4t1/4t/4t/4t2/4(а)(б)(в)1/61/31/4t/4t/41/41/41/41/6(г)(д)1/3(е)Рисунок 2.24. (а–д) Взаимодействие двух элементов симметрии 2-го порядка: (а) винтовойоси и плоскости скольжения, (б) взаимно перпендикулярных осей, пересекающихся вточке, (в) скрещивающихся осей, (г) плоскостей m и n, (д) двух координатныхпльоскостей.
(е) взаимодействие винтовой оси 31 и перпендикулярной ей оси 2 (осипересекаются).Правила №№ 1–4 позволяют построить графики пространственных группмоноклинной и орторомбической сингоний. Начало координат в таких группах выбираютв положении на закрытых элементах симметрии с минимальным числом степенейсвободы: на оси 2 в группе С2, на плоскости m в группах Pm и Cm, в центре инверсии вгруппах P1, P21/c, Pmmm и т.д. (рисунки 2.20 – 2.25). Точка, выбранная внутриэлементарной ячейки, под действием операций пространственной группы преобразуется ворбиту: совокупность симметрически связанных точек. Хотя число таких точек вкристалле бесконечно, кратностью орбиты называется (конечное) число точек в однойэлементарной ячейке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
