Е.В. Кугушев - Курс лекций по классической механике (1156889)
Текст из файла
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М. В. ЛОМОНОСОВАМеханико-математический факультетКурс лекций поклассической механикеЛектор — Евгений Иванович КугушевIV курс, 7 семестр, поток математиковМосква, 2007 г.Оглавление1.2.Кинематика1.1. Кинематика точки . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.1. Движение по окружности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.2. Движение по кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2. Кинематика твёрдого тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.1. Мгновенная угловая скорость.
Формулы Пуассона . . . . . .1.2.2. Распределение скоростей в твёрдом теле. Формула Эйлера . .1.2.3. Распределение ускорений в твёрдом теле. Формула Ривальса1.2.4. Мгновенная ось винта при движении твёрдого тела . . . . . .1.2.5. Плоско-параллельное движение твёрдого тела . . . . . .
. . .1.3. Относительное движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3.1. Теорема о сложении скоростей . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3.2. Теорема о сложении ускорений . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3.3. Ускорение в полярных координатах . . . . . .
. . . . . . . . .1.3.4. Теорема о сложении угловых скоростей . . . . . . . . . . . . .1.3.5. Цепочка подвижных систем координат . . . . . . . . . . . . .1.4. Углы и кинематические формулы Эйлера . . . . . . . . . . . . . . .1.4.1. Углы Эйлера . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4.2. Кинематические формулы Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................4444555667777888999Динамика2.1. Аксиомы ньютоновой механики . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.1. Принцип детерминизма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.2. Принцип относительности Галилея . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.3. Принцип суперпозиции сил . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .2.2. Вывод формулы для гравитационной силы из законов Кеплера . . . . . . . . . . . . .2.3. Учение о связях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.1. Голономные связи . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.2. Неголономные связи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.3. Конёк Чаплыгина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.4. Виртуальные и действительные перемещения .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.5. Аксиома освобождения от связей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4. Принцип Даламбера – Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.5. Идеальность связей в твёрдом теле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.2.6. Общие законы динамики для систем с идеальными связями . . . . . . . . . . . . . . .2.6.1. Динамические переменные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.6.2. Теорема об изменении импульса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.6.3. Закон изменения кинетического момента . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .2.6.4. Теорема об изменении кинетической энергии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.6.5. Потенциальные силы. Интеграл энергии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.7. Общие теоремы динамики в относительном движении . . .
. . . . . . . . . . . . . . .2.7.1. Кёнигова система координат. Формулы Кёнига . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.7.2. Теорема об изменении кинетического момента в кёниговой системе координат2.7.3. Теорема об изменении кинетической энергии в кёниговой системе координат .2.8. Динамика и статика свободного твёрдого тела .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.8.1. Твёрдое тело с неподвижной точкой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.8.2. Теорема Гюйгенса – Штейнера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.8.3. Уравнение равновесия свободного твёрдого тела . . . . . . . . . . . . . .
. . . .2.9. Динамика точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.9.1. Период колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.9.2. Линеаризованные уравнения движения . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .2.9.3. Асимптотика T (h) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.10. Небесная механика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.10.1. Движение в центральном поле сил . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .2.10.2. Задача Кеплера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.10.3. Задача двух тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.10.4. Задача N тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .............................................................................................................................................................................................................................................................999101011121212131313141415151516161617171717181819191921212222222324252..................................................................................................................................................................2.11. Силы2.11.1.2.11.2.2.11.3.2.11.4.инерции .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Движение в равномерно вращающейся системе координатОграниченная плоская круговая задача трёх тел . . . . .Движение на поверхности Земли . . . . . . . . . . . . . . .Маятник Фуко . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................2626262828ПредисловиеЭто лекции по классической механике для математиков IV курса.
Здесь изложено всё, что есть в программе (кое-что было в лекциях, но не внесено в программу — этого здесь нет). Набирал сиё Степан Кузнецов(skuzn@inbox.ru). Исправление ошибок как всегда приветствуется. За обнаружение ошибок наборщик благодарит Александра Кашева, Владимира Щура, Константина Голубева и Наталью Харитонову.Последняя компиляция: 25 января 2008 г.Обновления документа — на сайтах http://dmvn.mexmat.net,http://dmvn.mexmat.ru.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.3Механикау нас классическая, так что мы рассматриваем обычное евклидово пространство E 3 (R3 с метрикойPhx, yi = xi yi ) и обычное ньютоновское время t (оно течёт вне зависимости от движений).Основные объекты: материальные точки и твёрдые тела.
Материальная точка задаётся радиус-вектором rи массой m. Система материальных точек — множество материальных точек + связи (ограничения). Частныйслучай системы материальных точек: r1 , . . . , rN со связями |ri − rj | = const(t) называется твёрдым телом.Наша задача — исследовать движение. Это сводится к исследованию ОДУ особого вида. Механика разделяется на кинематику и динамику.
Кинематика изучает свойства движения вне зависимости от причин. Динамикарассматривает причины (силы). Прямая задача динамики: найти движение по силам, обратная: найти силы подвижению.1. Кинематика1.1. Кинематика точкиПусть фиксирован ортонормированный базис ex , ey , ez . Движение материальной точки: r(t) = x(t)ex +y(t)ey +d2 rz(t)ez . Первая производная v(t) = drdt = ẋex + ẏey + żez называется скоростью, а вторая a(t) = dt2 = ẍex + ÿey + z̈ezd).— ускорением точки (как обычно, ˙ = dt1.1.1.
Движение по окружностиМатериальная точка движется по окружности радиуса R с центром в начале координат:(x(t) = R cos ϕ(t)y(t) = R sin ϕ(t)В каждой точке окружности определён касательный вектор τ = (− sin ϕ, cos ϕ) (|τ | = 1) и вектор внутренней нормали n = (− cos ϕ, − sin ϕ).Дифференцируя соотношение r(t) = (R cos ϕ, R sin ϕ), получаем v = ṙ = R(− sin ϕ, cos ϕ)ϕ̇ = Rϕ̇τ .
Пустьv = vτ ; v = ±|v| = Rϕ̇ (скалярное значение скорости).Дифференцируя равенство hτ, τ i = 1, получаем: hτ̇ , τ i = 0, то есть вектор τ̇ направлен по нормали к окружности. τ̇ = (− cos ϕ, − sin ϕ)ϕ̇ = ϕ̇n. k = 1/R — кривизна окружности. В этих обозначениях τ̇ = kvn.2Ускорение a = dvdt = v̇τ + v τ̇ = v̇τ + kv n. Первое слагаемое aτ = v̇τ называется касательным, а второе2an = kv n — нормальным ускорением.NB. ϕ̇ не следует на экзаменах называть угловой скоростью! Это скорость изменения угловой координаты.1.1.2.
Движение по кривойЗадана пространственная кривая r = γ : R −→ R3 . γ(R) — траектория. Точка r(t) — неособая, если ṙ(t) 6= 0.Мы будем рассматривать движение только в неособых точках. В окрестности неособой точки отображениеr = 1.взаимно-однозначно. Можно ввести натуральный параметр s (равный длине дуги кривой) со свойством drdsddДалее обозначаем ′ = ds, ˙ = dt.τ = r′ — касательный вектор, |τ | = 1. Имеем v = ṙ = r′ ṡ = ṡτ = vτ .
v = ṡ. Итак, скорость при движении покривой такая же, как и при движении по любой окружности, касающейся данной кривой в данной точке.Дифференцируя по s соотношение hτ, τ i = 1, получаем hτ ′ , τ i = 0. k = |τ ′ | — кривизна кривой в данной точке.′Вектор n = τk называется вектором главной нормали к кривой. Плоскость Π = {r(t) + λτ + µn | λ, µ ∈ R} называется соприкасающейся плоскостью. Окружность радиуса ρ = 1/k, лежащая в соприкасающейся плоскостии касающаяся кривой в данной точке, называется соприкасающейся окружностью.2′′Вычислим ускорение: a = dvdt = v̇τ + v τ̇ = v̇τ + kv n (последнее равенство верно в силу τ̇ = τ ṡ = τ v = kvn).Ускорение лежит в соприкасающейся плоскости.
Ускорение такое же, как при движении по соприкасающейсяокружности.Кривизна вычисляется по формуле k = |[a,v]|([·, ·] — векторное произведение): [a, v] = kv 3 [n, τ ], |[n, τ ]| = 1,v33значит |[a, v]| = kv .Вектор β = [τ, n] называется вектором бинормали. Вектора τ , n и β образуют ортонормированный репер,называемый трёхгранником Френе. Из книжек по дифференциальной геометрии можно узнать формулы Френе(первую мы уже доказали): ′ τ = knn′ = −kτ + ηββ ′ = −ηnЗдесь η — кручение кривой — определяется из этих самых формул Френе. Для η есть вычислительная формулаȧi(её мы тоже доказывать не будем): η = h[a,v],|[a,v]|2 .41.2. Кинематика твёрдого телаТвёрдое тело — система точек, расстояния между которыми неизменны.1.2.1.
Мгновенная угловая скорость. Формулы ПуассонаПусть в твёрдое тело вморожен ортонормированный репер O′ , eξ , eη и eζ (этот репер, в отличие от исходного,зависит от времени). Новые базисные векторы выражаются через старые: exeξ (t)eη (t) = A(t) ey ezeζ (t)Эта странная запись означает всего лишь, что eξ = a11 ex + a12 ey + a13 ezeη = a21 ex + a22 ey + a23 ezeζ = a31 ex + a32 ey + a33 ez3Здесь A = aij i,j=1 Матрица A (зависящая от времени) ортогональна (AAT = E, то есть AT = A−1 ) и сохраняеториентацию (det A = 1). Обратное преобразование записывается в виде: exeξ (t)ey = AT (t) eη (t)ezeζ (t)Дифференцируя, получаем:Ω — кососимметрическая матрица: 0 =вид eξėξexėη = Ȧ ey = ȦAT eη | {z }eζėζezΩddt E=dTdt (AA )0Ω = −ω3ω2= ȦAT + AȦT = ȦAT + (ȦAT )T = Ω + ΩT , то есть имеетω30−ω1−ω2ω1 0Вектор ω = (ω1 , ω2 , ω3 ) (в базисе eξ , eη , eζ ) называется мгновенной угловой скоростью твёрдого тела.ėξ = ω3 eη − ω2 eζ = [ω, eξ ] (последнее равенство проверяется явно в базисе eξ , eη , eζ : eξ = (1, 0, 0), ω =(ω1 , ω2 , ω3 )).
Записывая аналогичные соотношения для ėη и ėζ , получаем формулы Пуассона:ėξ = [ω, eξ ]ėη = [ω, eη ]ėζ = [ω, eζ ]Из формул Пуассона следует (легко проверить), чтоω = hėξ , eη ieζ + hėη , eζ ieξ + hėζ , eξ ieη .Отсюда получается, в частности, что ω в самом деле вектор (меняется при заменах координат так, как надо).1.2.2. Распределение скоростей в твёрдом теле. Формула ЭйлераПусть в твёрдом теле заданы две точки A и B, в точке A вморожен репер eξ , eη , eζ . R — радиус-вектор точки−−→A, r — радиус-вектор точки B, ρ = AB.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
