Е.В. Кугушев - Курс лекций по классической механике (1156889), страница 5
Текст из файла (страница 5)
. , ṙ N ) — действительное (следовательно,виртуальное) перемещение. Значит, его можно употребить в принципе Даламбера – Лагранжа:Xhmi r̈ i − Fi , ṙ i i = 0,то естьXhmi r̈ i , ṙ i i =XhFi , ṙ i i.Справа стоит нужная нам сумма мощностей сил. Рассмотрим левую часть:„«d 1dτihmi r̈ i , ṙ i i =hmi ṙ i , ṙ i i =,dt 2dtто есть слева стоит желаемоеdTdt.2.6.5. Потенциальные силы. Интеграл энергииСилы Fi называются потенциальными, если существует силовая функция U (r 1 , . . . , r N ), для которойFi =∂U.∂r iV = −U — потенциальная энергия (потенциал).Силы потенциальны тогда и только тогда, когда работа по переводу системы из состояния r ∗ в r ∗∗ не зависит отпути:Zr ∗∗A=hF, dri = U (r ∗∗ ) − U (r ∗ ),r∗Пусть связи стационарны. Тогда (по теореме об изменении кинетической энергии)X ∂VXdVdT=ṙ i = −hFi , ṙ i i = −.dt∂r idtОтсюда T + V = h = const. h — интеграл энергии.162.7.
Общие теоремы динамики в относительном движении2.7.1. Кёнигова система координат. Формулы КёнигаРассмотрим такую систему координат: начало — в центре масс нашей системы точек, а оси движутся параллельносамим себе. Это и будет кёнигова система координат. (Можно так выбрать неподвижные (абсолютные) оси, что осиКёнига будут им параллельны.)Импульс в кёниговой системе координат равен нулю (т.к.
центр масс здесь неподвижен).Кинетический момент и кинетическая энергия в кёниговой системе координат:XKK =mi [ρi , ρ̇i ]TK =Имеют место формулы Кёнига (проверяются явно):1Xmi hρ̇i , ρ̇i i2K = M [r C , ṙ C ] + KKиT =1M hṙ C , ṙ C i + TK .22.7.2. Теорема об изменении кинетического момента в кёниговой системе координатТеорема 2.7. Пусть связи идеальны и в любой момент времени допускают поворот системы как единого целоговокруг оси Ce для некоторого постоянного вектора e.
ТогдаXdhKK , ei =hmomC F внеш. , eidt(здесь momC Fi = [ρi , Fi ]). Воспользуемся принципом Даламбера – Лагранжа: рассмотрим виртуальное перемещение с компонентами δri =[e, ρi ] (оно соответствует вращению с угловой скоростью ω = e):XXhmi r̈ i , [e, ρi ]i =hFi , [e, ρi ]i.Справа применяем циклическую перестановку:XXXhFi , [e, ρi ]i =he, [ρi , Fi ]i =hmomC Fi , ei.Сумма моментов внутренних сил равна нулю, поэтому справа получаем то, что надо.Слева пользуемся соотношением r̈ i = r̈ C + ρ̈i :Xhmi r̈ i , [e, ρi ]i =Xhmi ρ̈i , [e, ρi ]i +Xhmi r̈ C , [e, ρi ]i =fiflX˜¸ X˙ˆ XddKKmi e, [ρi , ρ̇i ] =.=mi he, [ρi , ρ̈i ]i + r̈ C , e,mi ρi =dtdt| {z }=02.7.3.
Теорема об изменении кинетической энергии в кёниговой системе координатТеорема 2.8. Пусть связи идеальны, стационарны и в любой момент времени допускают сдвиг всей системы какединого целого вдоль осей Ox, Oy и Oz (а значит, вдоль любой оси Oe). ТогдаXdTK=hρ̇i , Fi i.dtСправа стоят мощности сил, посчитанные в осях Кёнига. По теореме об изменении импульса (вдоль каждой из осей):X внеш. XdP=Fi=Fi .dtPКроме того, P = mṙ C , mr̈ C =Fi . Связи стационарны, значит любое действительное перемещение является виртуальным. По теореме об изменении кинетической энергииВторая формула Кёнига:XdT=hṙ i , Fi i.dtm|ṙ C |2+ TK = T.217Отсюдаа потомуmhr̈ C , ṙ C i +XXdTKdT==hṙ i , Fi i =hṙ C + ρ̇i , Fi i,dtdtXdTK=hρ̇i , Fi i.dt2.8.
Динамика и статика свободного твёрдого тела2.8.1. Твёрдое тело с неподвижной точкойПусть точка O твёрдого тела закреплена, т.е. наложена связь v O = 0, причём эта связь считается идеальной. Считаемточку O началом неподвижной системы координат. По формуле Эйлера ṙ i = [ω, r i ]. Рассмотрим кинетический момент:XXXK=mi [r i , ṙ i ] =mi [r i , [ω, r i ]] =mi (ωri2 − r i hr i , ωi)(последний переход сделан по формуле «бац минус цаб»). K зависит от ω линейно, значит существует матрица J (размера3 × 3) такая, что K = Jω. Задаваемый этой матрицей оператор J : ω 7→ K называетсяоператором инерции.PОператор инерции можно разложить в сумму по точкам системы: J =Ji ,Ji ω = mi (ωri2 − r i hr i , ωi).Матрицу Ji можно вычислить явно (например, заметив, что её столбцы суть результаты применения оператора Ji кортам осей).
Получится0 21yi + zi2−xi yi−xi ziJi = mi @ −xi yi x2i + zi2−yi zi A .−xi zi−yi zix2i + yi2J — это симметричная матрица. На главной диагонали стоят моменты инерции относительно осей координат: моментом инерции относительно оси Oe называетсяXJe =mi d2i ,где di — расстояние от i-й точки до оси Oe. Внедиагональные элементы называются центробежными моментами.Выразим с помощью оператора инерции кинетическую энергию:EX miX miX mi1D X11T =hṙ i , ṙ i i =hṙ i , [ω, r i ]i =hω, [r i , ṙ i ]i =ω,mi [r i , ṙ i ] = hω, Ki = hJω, ωi.222222Итак, T = 21 hJω, ωi. При ортогональной замене координат ω изменяется как вектор, а T (это скаляр) вообще неменяется, поэтому J изменяется как квадратичная форма2 : J˜ = AT JA.
Поскольку T > 0 (всегда), квадратичная формаJ положительно определена. J — тензор инерции. В некоторых осях (называемых главными осями инерции; если O —центр масс, то главными центральными осями инерции) J примет диагональный вид: J = diag(A, B, C), где A, B, C > 0.Числа A, B и C (моменты инерции относительно главных осей) называются главными моментами инерции твёрдоготела.
Главные оси инерции неподвижны относительно твёрдого тела.Утверждение 2.9 (неравенство треугольника). A + B > C, A + C > B, B + C > A. В главных осяхXXA+B =mi (yi2 + zi2 + x2i + zi2 ) >mi (yi2 + x2i ) = C.Эллипсоид инерции: {r | hJr, ri = 1} (в главных осях задаётся уравнением Ax2 + By 2 + Cz 2 = 1). Вместе с главнымиосями этот эллипсоид вморожен в твёрдое тело.Утверждение 2.10. Je = hJe, ei.
Положим ω = e (пусть тело вращается вокруг оси Oe). Тогда скорость i-й точки равна vi = di (di — расстояниедо оси Oe): точка вращается по окружности. Получаемчто и требовалось. X mi vi2X mi d2i11hJe, ei = T === Je ,22222 Полностью доказательство этого факта выглядит так: при ортогональной замене координат с матрицей A имеем ω = Aω̃ (ω —вектор), T̃ = T , поэтому для матрицы J˜ имеем hAT JAω̃, ω̃i = hJAω̃, Aω̃i = hJω, ωi = T = T̃ = hJ˜ω̃, ω̃i, откуда J˜ = AT JA.182.8.2. Теорема Гюйгенса – Штейнераe — неподвижный вектор, O — начало неподвижной системы координат, C — центр масс твёрдого тела, JC — тензоринерции для твёрдого тела (в кёниговой системе относительно неподвижногоC), JCe — момент инерции относительноPоси Ce, JOe — относительно Oe, d — расстояние от C до оси Oe, m =mi — суммарная масса твёрдого тела.Теорема 2.11 (Гюйгенс – Штейнер).
В этих условиях JOe = md2 + JCe . Рассмотрим вращение твёрдого тела вокруг оси Oe (ω = e). Кинетическая энергия T = 12 JOe . С другой стороны,у нас есть формула Кёнига:11T = md2 + JCe22(ωотн. = ωабс. : оси-то кёниговы и не вертятся). Перепишем это в следующем виде: hJO e, ei = md2 + hJC e, ei. md2 = hJЦМ e, ei, где JЦМ — тензор инерции центра масскак точки массы m относительно O. Отсюда JO = JЦМ + JC .2.8.3. Уравнение равновесия свободного твёрдого телаУравнения движения твёрдого тела:8X>< dK =momC F внеш.dtX внеш.>: mr̈ C =FПоложение твёрдого тела описывается вектором q = (xC , yC , zC , ϕ, ψ, θ).
Силы ньютоновские: F внеш. = F внеш. (q, q̇, t).Говорят, что твёрдое тело находится в положении равновесия, если для всех его точек ṙ i = 0.Теорема 2.12 (условия равновесия твёрдого тела). Пусть при t = t0 скорости всех точек твёрдогоP внеш.теларавнялись нулю. Твёрдоетелонаходитсявположенииравновесияприt>tF=00 тогда и только тогда, когдаPи для любой точки OmomO Fiвнеш. = 0.PЗаметим, что выбор O при условииF = 0 несущественен, т.к. сумма моментов (легко проверить) останется той жесамой.PP Необходимость.
Твёрдое тело покоится ⇒ K = 0 ⇒momO F внеш. = 0. Центр масс покоится ⇒Fi = 0.Достаточность. Правые части уравнения движения обращаются в ноль. Значит, равновесие. 2.9. Динамика точкиСвязи будут у нас голономные: fi (r, t) = 0. Пусть сначала точка движется по кривой — система имеет одну степеньсвободы.Уравнение движения точки по прямой имеет видmẍ = F (x, ẋ, t).Рассмотрим частный случай: силы не зависят от времени:mẍ = F (x, ẋ).Общий случай системы сводится к этому выбором обобщённой координаты q на конфигурационном многообразии(кривой): r = r(q), ṙ = r ′q q̇.
Кинетическая энергияT =11m|ṙ|2 = a(q)q̇ 2 ,22где a(q) = |r ′q |2 > 0. Делаем замену переменной q −→ ξ, гдеξ=Zq pa(q) dq.q0В новых переменных a(q)q̇ 2 = ξ˙2 и T = 12 ξ̇ 2 .Теорема об изменении кинетической энергии:XXdT=hṙ i , Fi i =q̇h(r i )′q , Fi i.dtdБолее компактно, dtT = q̇Q. Здесь Q называется обобщённой силой, а q̇Q — мощность обобщённой силы.Теперь возьмём в качестве обобщённой координаты ξ.
Получим„«d 1 2˙ξ̇= ξQdt 2(разумеется, после замены обобщённой координаты с q на ξ обобщённая сила Q тоже изменится).19Итак, теорема об изменении кинетической энергии даёт нам уравнение˙ ξ¨ − Q) = 0.ξ(Если ξ̇ 6= 0, это уравнение совпадает по форме с уравнением движения точки массы 1 по прямой под действием силыQ: ξ¨ = Q.˙ Фазовая кривая — траектория системы на фазовой плоскости.Фазовое пространство — плоскость координат ξ и ξ.Ещё упростим задачу: считаем F = F (x) — не зависит от ẋ. F — достаточно гладкая функция.
Уравнение движенияимеет вид: mẍẋ = F (x)ẋ.Утверждение 2.13. F потенциальна. В качестве силовой функции сойдётZxU (x) = F (u) du.x0Из уравнения движения:ddt„mẋ22«=−dV,dtпоэтому на траекториях движения имеет место интеграл энергии T + V = h:mẋ2+ V (x) = h,2откудаẋ = ±r2√h−V.m1·m), т.е. задано векторное поле. Если ẋ 6= 0, тоВ каждой точке фазовой плоскости задан вектор v = (ẋ, ẍ) = (ẋ, − ∂V∂xи v 6= 0, т.е. в окрестности любой точки вне оси Ox поле можно выпрямить. Вне Ox v нигде не вертикален.Фазовый портрет — набор всевозможных фазовых кривых. Обычно требуется изобразить только характерные кривые.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
