Е.В. Кугушев - Курс лекций по классической механике (1156889), страница 3
Текст из файла (страница 3)
ωабс = ωотн + ωпер. Возьмём в твёрдом теле две произвольные точки A и B. По теореме о сложении скоростей получаем:v A абс = v A отн + v A перv B абс = v B отн + v B пер .Запишем формулу Эйлера:−−→v B абс = v A абс + [ωабс , AB]−−→v B отн = v A отн + [ωотн , AB]−−→v B пер = v A пер + [ωпер , AB]Отсюда получаем, что для всех A, B−−→[ωабс − ωотн − ωпер, AB] = 0,поэтому ωабс − ωотн − ωпер = 0, что и требовалось. 1.3.5. Цепочка подвижных систем координатПусть теперь у нас есть n + 1 систем координат (0, 1, . .
. , n) и бедная точка, которая во всём этом беспорядкевсё-таки движется. Пусть v n — скорость этой точки относительно n-й системы, а v i (i = 0, . . . , (n − 1)) —переносная скорость (i + 1)-й системы относительно i-й. Тогда (это можно доказать индукцией по n, применяяна каждом шаге теорему о сложении скоростей)v абс = v 0 + v 1 + .
. . + v n−1 + v n .Если же вместо точки у нас движется целое твёрдое тело, то имеет место аналогичная формула для угловыхскоростей:ωабс = ω1/0 + ω2/1 + . . . + ωn/n−1 + ωТТ/n .81.4. Углы и кинематические формулы Эйлера1.4.1. Углы ЭйлераПредупреждаю сразу: картинку мне рисовать лень — С.К.Пусть у нас есть неподвижная система координат Oxyz и твёрдое тело с неподвижной точкой O, в котороевморожена (подвижная) система координат Oξηζ.Считаем, что Oζ 6k Oz (иначе наступит вырождение — об этом позже). Тогда плоскости Oxy и Oξη пересекаются по некоторой прямой, называемой линией узлов (обозначение: Oi, единичный направляющий вектор —ei ).
Угол ψ от Ox до Oi называется углом прецессии, угол θ от Oz до Oζ — углом нутации, а угол ϕ от Oi доOξ — углом собственного вращения. Вместе эти три угла называются углами Эйлера.Углы Эйлера (в невырожденном случае) однозначно определяются по положению твёрдого тела. Верно иобратное: положение твёрдого тела однозначно определяется углами Эйлера. Дело в том, что система Oξηζполучается из неподвижной тремя поворотами (I = Oxyz):1. вокруг Oz на ψ: получаем Oi .
. . z = II;2. вокруг Oi на θ: получаем Oi . . . ζ = III;3. вокруг Oζ на ϕ: получаем Oξηζ = IV.1.4.2. Кинематические формулы ЭйлераЕсли твёрдое тело движется, то углы Эйлера суть функции времени. ω — тоже функция времени. На самомделе ω(t) = f (ϕ, ψ, θ, ϕ̇, ψ̇, θ̇). Наша цель: найти p,q и r в разложенииω = peξ + qeη + reζ .Имеем:ω = ωII/I + ωIII/II + ωIV/III .Каждый переход есть просто вращение, поэтомуωII/I = ψ̇ez ;ωIII/II = θ̇ei ;ωIV/III = ϕ̇eζ .Осталось разложить ez и ei по eξ , eη , eζ . Это делается так: ei = cos ϕeξ − sin ϕeη , ez = cos θeζ + sin θ sin ϕeξ +sin θ cos ϕeη (аналитическая геометрия, 1-й курс).Собирая всё вместе в ω, получаем кинематические формулы Эйлера:p = ψ̇ sin θ sin ϕ + θ̇ cos ϕq = ψ̇ sin θ cos ϕ − θ̇ sin ϕr = ψ̇ cos θ + ϕ̇2.
Динамика2.1. Аксиомы ньютоновой механики2.1.1. Принцип детерминизмаЗамкнутая система — это система материальных точек, на движение которых не влияет ничто извне (напрактике небольшими силами пренебрегают).Принцип детерминизма: движение замкнутой системы точек однозначно определяется их начальнымиположениями и скоростями.Пусть у нас есть n точек с радиус-векторами r1 (t), . .
. , rn (t). Обозначим r = (r1 , . . . , rn ). Тогда принципдетерминизма запишется в виде:r(t) = Φ(r(t0 ), ṙ(t0 ), t0 , t).Найдём ускорение:r̈(t) =∂ 2Φ(r(t0 ), ṙ(t0 ), t0 , t).∂t2Полагая t0 = t, получаем:∂2Φ(r(t), ṙ(t), t, t) = f (r(t), ṙ(t), t).∂t2Движение системы описывается системой ОДУ 2 порядка:r̈(t) =r̈ = f (r, ṙ, t).9Если выполнены условия существования и единственности решения (f достаточно гладкая), то это уравнениедаст нам однозначную зависимость от t.
Таким образом, принцип детерминизма можно переформулировать так:система описывается системой ОДУ 2 порядка.2.1.2. Принцип относительности Галилея1. Существует инерциальная система отсчёта (координат и времени). Именно в ней верен принцип детерминизма.2. Всякая система, движущаяся поступательно, равномерно и прямолинейно относительно инерциальной, времяв которой течёт с той же скоростью (сдвиг на константу), что и в инерциальной, сама является инерциальной.3. Законы механики одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта, то есть если у нас в одной инерциальной˙ t̃), то f = f˜.системе r̈ = f (r, ṙ, t), а в другой r̃¨ = f˜(r̃, r̃,Преобразования, сохраняющие инерциальность (и, следовательно, законы механики), имеют вид(r̃ = Ar + b + v 0 tt̃ = t − t0(A — ортогональная матрица, первое равенство рассматривается по каждой компоненте r в отдельности) иобразуют галилееву группу преобразований.
Мы постулируем, что законы механики (функция f ) инвариантныотносительно этих преобразований. Если взять другую группу, получим другую механику.Следствия из принципа относительности:1. «Силы» (правые части уравнения движения) не зависят от времени. Действительно, рассмотрим преобразование Галилея с A = E, b = v 0 = 0 и некоторым t0 . Получим:f (r, ṙ, t) = f (r, ṙ, t − t0 ).Это имеет место для всех t0 ∈ R. Полагая t0 = t, получаем требуемое.2. f зависит только от взаимного расположения точек (т.е. величин ri − rj , а не самих ri ). Действительно,положим A = E, v 0 = 0, b — произвольный вектор.
Тогдаf (r, ṙ) = f (r + b, ṙ),что и требовалось.3. f зависит только от разностей скоростей, а не самих v i . Полагаем A = E, b = 0, v 0 — некоторый вектор.Частные случаи:1. Изолированная точка (N = 1 — замкнутая система из одной точки). f = f (0, 0) = const. Далее, Af = f длялюбой ортогональной матрицы A, значит f = 0. Уравнение движения изолированной точки:r̈ = 0.Получили первый закон Ньютона.2. Замкнутая система из двух точек.r̈i = fi (r1 − r2 , ṙ1 − ṙ2 )(i = 1, 2, f = (f1 , f2 )).Пусть силы не зависят от скоростей: f = f (r1 − r2 ).
Тогда для любой ортогональной матрицы A имеемAf (r1 − r2 ) = f (A(r1 − r2 )). Полагая A матрицей поворота вокруг r1 − r2 , получаем, что Af (r1 − r2 ) = f (r1 − r2 )(поскольку A(r1 − r2 ) = r1 − r2 ). Значит, f k r1 − r2 : силы направлены по линии, соединяющей точки.В связи с этим постулируется ещёТретий закон Ньютона: сила действия равна силе противодействия (f1 + f2 = 0). Такие силы называютсявнутренними.2.1.3. Принцип суперпозиции силОбычно уравнение движения домножают на масштабирующий коэффициент mi и получаетсяmi r̈i = Fi (r, ṙ, t).Fi называется силой, действующей на i-ю точку. Принцип суперпозиции сил утверждает, что существует такойкоэффициент mi > 0, называемый массой точки, что если в первой системе на точку действует сила F1 , а вовторой — F2 , то в объединении этих систем на неё будет действовать сила F1 + F2 .102.2. Вывод формулы для гравитационной силы из законов КеплераРассматривается движение планеты вокруг Солнца (действием других тел пренебрегаем).
Точку, где находится центр Солнца, обозначим S, где центр планеты — P . Из опыта Кеплер в своё время вывел следующиезаконы:I. Движение планет — периодическое по эллипсам с одним из фокусов в центре Солнца.−→II (закон площадей). За равные промежутки времени вектор SP заметает сектора одинаковой площади.III. Пусть T — период движения, a — большая полуось эллипса. Тогдаa3= constT2(одна и та же для всех планет).Выведем из этих законов ньютоновскую формулу притяжения.Пусть в момент времени t0 планета находилась в перицентре (точке, где эллипс пересекается с той избольших полуосей, которая проходит через S; точка, где пересекает эллипс другая большая полуось, зовётся−→апоцентром). Обозначим через S(t) площадь сектора, заметаемого вектором SP за время от t0 до t.В силу второго закона Кеплера Ṡ = c/2 = const.
С другой стороны, S можно записать в полярных координатах (r, ϕ) с центром в центре Солнца:S(t) =ϕ(PZ ) r(PZ )r drdϕ =00ϕ(PZ )r21dϕ =220Ztr2 ϕ̇ dϕ.t0Отсюда c = 2Ṡ = r2 ϕ̇. Всюду на эллипсе r 6= 0, поэтому можно делить:c,r2ϕ̇ =откудаdtr2= .dϕcВспомним формулу для ускорения в полярных координатах:r̈ = (r̈ − ϕ̇2 r)er + (rϕ̈ + 2ṙϕ̇)eϕ = (r̈ − ϕ̇2 r)er +1 d 2(r ϕ̇).r dtНо r2 ϕ̇ = c = const, поэтому второе слагаемое равно нулю, иr̈ = (r̈ − ϕ̇2 r)er = f er .Сила направлена вдоль радиуса и равна f = r̈ − ϕ̇2 r. Вычислим f . Имеемf = r̈ − ϕ̇2 r = r̈ −Далее,c2.r3dd dtd r2==· ,dϕdt dϕdt cоткудаddϕиd2dϕ211r2ṙ−= 2 ṙ ·=rrcc 1d ṙr̈ r2r2 r̈−=== 2 .rdϕ cc ccОтсюдаr̈ =следовательно,c2 d2r2 dϕ2c2c2f = r̈ − 3 = − 2rr1−,rd2dϕ2 11+.rrВспомним уравнение эллипса в полярных координатах:r=p1 + e cos ϕ(e ∈ (0, 1) — эксцентриситет).11Из этого уравнения11 e= + cos ϕ;rp pДалееf =−c2r2d2dϕ2 1e= − cos ϕ.rpe1 ec2− cos ϕ + + cos ϕ = − 2 .pp pprИтак, мы получили формулу для ускорения:r̈ = −c2er .pr2Ускорение направлено к Солнцу и обратно пропорционально квадрату расстояния.
Осталось разобраться сконстантой µ = c2 /p.Для эллипса у нас есть формула p = b2 /a (b — малая полуось, a — большая полуось). Отсюда µ = c2 a/b2 ,c = 2Ṡ. За период T заметётся весь эллипс: 2S(T ) = 2πab = cT . Поэтомуc=2πab;Tµ=3c2 a2a=4π.b2T2Но в силу третьего закона Кеплера a3 /T 2 не зависит от планеты, а значит, и µ для всех планет одна и та же.Отсюда получаем (второй закон Ньютона), чтоF = mP r̈ =−µmP,r2где mP — масса планеты. Это и есть формула ньютоновского притяжения.Закон Ньютона (постулат): так устроено взаимодействие между любыми двумя телами (эта формула носитобщий характер).
Кроме того, Ньютон постулирует, что µ = mS γ, где γ — мировая константа.2.3. Учение о связях2.3.1. Голономные связиУ нас есть система точек r1 , . . . , rN . Связями мы называем условия, накладываемые на эту систему уравнениямиfi (r1 , . . . , rN , ṙ1 , . . . , ṙN , t) = 0(i = 1, . . . , k)Если функции fi не зависят от скоростей, соответствующие связи называются голономными или геометрическими.Простейший пример системы с голономными связями — твёрдое тело. Там связи имеют видkrj − rl k2 − cjl = 0(всегоN (N −1)2соотношений).Связи называются независимыми, если fi функционально независимы, то есть ранг матрицы∂fi∂rjмакси-мален (равен k).Наши голономные связи в каждый момент времени t задают конфигурационное многообразие (конфигурационное пространство)Σt = {(r1 , . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
