Е.В. Кугушев - Курс лекций по классической механике (1156889), страница 4
Текст из файла (страница 4)
, rN ) | ∀i fi (r1 , . . . , rN , t) = 0}У нас Σt — гладкое многообразие в R3N . Из независимости связей следует, что dim Σt = dim TP Σt = 3N − k.Размерность касательного пространства (dim TP Σt ) называется числом степеней свободы системы со связями.Локальные координаты на Σt называются обобщёнными координатами положения системы (требуется также,чтобы обобщённые координаты были гладкими по времени).2.3.2. Неголономные связиНачнём с голомных связей вида f (r, t) = 0. Пусть наша система движется в соответствии со связями потраектории r = r(t). Дифференцируя соотношения для связей по времени, получаем∂f∂fṙ += 0.∂r∂t12Это дифференциальная форма записи голономных связей.
(При дифференцировании мы потеряли аддитивнуюконстанту; эта константа определяется из начального положения r0 ). Связи (функции fi ) будут первыми интегралами полученной системы ДУ.∂fТеперь рассмотрим обобщение: вместо ∂f∂r и ∂t рассмотрим произвольную k × 3N матрицу A = A(r, t) иkвектор b = b(r, t) ∈ R и наложим на систему связи в дифференциальной форме общего вида:A(r, t)ṙ + b(r, t) = 0.∂fЕсли эти связи не приводятся к форме ∂f∂r ṙ + ∂t = 0 для некоторой функции f , они называются неголономными (неинтегрируемыми).
Заметим, что для этого недостаточно, отсутствия функции f такой, что A = ∂f∂r и∂fb = ∂t : дифференциальную форму ещё можно домножать на интегрирующий множитель.2.3.3. Конёк ЧаплыгинаКонёк (твёрдое тело) движется в плоскости, в точке C есть лезвие. Конёк может поворачиваться и двигаться,но в любой момент скорость точки C должна быть параллельна лезвию.Обобщённые координаты: (x, y, ϕ) ((x, y) — координаты точки C, ϕ — угол между осью Ox и лезвием).eлезвия = (cos ϕ, sin ϕ), ортогонально ему e⊥ = (− sin ϕ, cos ϕ).
У нас есть связь hv C , e⊥ i = 0. Вспоминая, чтоv C = (ẋ, ẏ), записываем уравнение связи в дифференциальной форме:−ẋ sin ϕ + ẏ cos ϕ = 0.Докажем неголономность этой связи1 . От противного. Если бы была голономной, то она бы записываласьв видеf (x, y, ϕ) = const .(Заметим в скобках, что незамкнутости соответствующей дифференциальной формы недостаточно, ведь ещёбывает интегрирующий множитель.)Конфигурационное многообразие Σt расслаивается на поверхности уровня (соответствующие значениямf (x, y, ϕ)), и конёк не может переехать с одного уровня на другой. С другой стороны, конёк может переместиться из любого положения в любое.
Противоречие.Комментарий: здесь константа, которая выделяет поверхность уровня, определяется начальным условием(вообще говоря, голономная связь имеет вид не f = 0, а f = const, причём константа подбирается из н.у.). Покане понял, как это нормально написать — С.К.2.3.4. Виртуальные и действительные перемещенияСвязь, не зависящая от времени, называется стационарной (в дифференциальной форме: b = 0).Виртуальным перемещением в точке r в момент времени t называется вектор δr со свойством Aδr = 0. Виртуальные перемещения (в фиксированный момент t) образуют линейное пространство (в голономном случае этокасательное пространство к Σt ); его размерность называется числом степеней свободы неголономной системы.Действительным перемещением называется вектор δr со свойством Aδr + b = 0 (т.е.
скорость, которуюможет иметь система при движении в соответствии со связями). Разность действительных перемещений естьвиртуальное перемещение.Для стационарных связей виртуальные и действительные перемещения суть одно и то же.Элементарной работой силы F на виртуальном перемещении δr называется скалярное произведение hF, δri.2.3.5. Аксиома освобождения от связейПусть на систему наложены связи в дифференциальной форме:A(r, t)ṙ + b(r, t) = 0.Аксиома: можно убрать эти связи, но добавить силы R = (R1 , .
. . , RN )(r, ṙ, t) так, что движение будеттаким же. (По сути здесь постулируется, что в реальной жизни за связями стоят некоторые силы загадочнойприроды. Утверждается, что R = mi r̈i − Fi ведут себя как силы, т.е. зависят только от r, ṙ, t)«Силы» Ri называются реакциями связей.После освобождения от связей уравнения движения примут вид:mi r̈ i = Fi + Ri .1 Говорят, что в учебнике А.
П. Маркеева «Теоретическая механика» есть более понятное доказательство этого факта. Можетепопробовать заботать оттуда.13Мы запишем это в виде одного уравнения:M r̈ = F + R,где M = diag(m1 , m1 , m1 , m2 , m2 , m2 , . . . , mN , mN , mN ). Отсюда получаем, что R = M r̈ − F .Связи называются идеальными, если для любого виртуального перемещения δr имеет место hR, δri = 0(вектор R не имеет касательной к конфигурационному многообразию компоненты; элементарная работа реакцийна виртуальных перемещениях равна нулю).2.4. Принцип Даламбера – ЛагранжаТеорема 2.1 (Принцип Даламбера – Лагранжа).
Пусть связи идеальны. Кривая r(t) является действительным движением системы тогда и только тогда, когда в любой момент времени для любого виртуального перемещения δr выполняется условиеhM r̈ − F, δri = 0. Необходимость. По аксиоме освобождения от связей получаем R = M r̈ − F и далее hR, δri = 0 в силуидеальности связей.Достаточность.
Пусть на кривой r(t) в любой момент времени для любого виртуального перемещения δrимеет место hM r̈ − F, δri = 0.Напомним принцип множителей Лагранжа:Лемма 2.2. Даны k × n матрица A (k 6 n) и a ∈ Rn . Пусть для любого вектора b ∈ Rn такого, чтоAb = 0, имеем ha, bi = 0. Тогда существует λ ∈ Rk , для которого a = AT λ. Обозначим через α1 , . . .
, αk строки матрицы A. Для всех i имеем b ⊥ αi (если Ab = 0). Пусть Π —плоскость, натянутая,для любого b ∈ Π⊥ a ⊥ b. Значит, a ∈ Π, то есть для некоторогоP на α1 , . . . , αk . ТогдаTλ = (λ1 , . . . , λk ) a = λi αi , то есть a = A λ. Обозначим a = M r̈ − F , b = δr. Для любого b — виртуального перемещения (т.е.
Ab = 0) имеем ha, bi = 0.Можно применить принцип множителей Лагранжа: существует λ = λ(t), для которого a = M r̈ − F = AT λ.Итак, получилася система (здесь b — это уже не то b, что в лемме 2.2 (b = δr), а то, которое в условиидифференциальной связи):(M r̈ − F = AT λAṙ + b = 0,называемая уравнениями Лагранжа 1-го рода.Продифференцируем связи по времени: Ar̈ + g(r, ṙ, t) = 0 (в g загнали всё про младшие производные).Поскольку det M 6= 0, r̈ = M −1 AT λ + M −1 F .
Подставляем:AM −1 AT λ + h(r, ṙ, t) = 0.Покажем, что det AM −1 AT 6= 0. Для любого u ∈ Rk имеем hAM −1 AT u, ui = hM −1 AT u, AT ui. Далее, AT u 6= 0(ранг A равен k), а значит, hAM −1 AT u, ui =6 0, что и требовалось.Отсюда λ определяется однозначно: λ = −(AM −1 AT )−1 h. Значит, однозначно определяется и ускорение. Нанастоящей траектории движения тоже выполняется принцип Даламбера – Лагранжа.
Значит, r̈(t) — одно и тоже для нашей траектории и для настоящего движения. Поэтому (т.к. кривая однозначно определяется r(0), ṙ(0)и r̈(t)), наша траектория и есть действительное движение. 2.5. Идеальность связей в твёрдом телеУтверждение 2.3. Если связи твёрдого тела обеспечиваются внутренними силами, то они идеальны. Связи твёрдого тела имеют видfij = hr i − r j , ri − r j i = cij = const .Реакции Rij суть внутренние силы, значит, удовлетворяют 3-му закону Ньютона. Rij k r i − r j , Rij = −Rji .Виртуальное перемещение δr удовлетворяет условиюX ∂fij, δrk = 0.∂rkfij зависит только от r i и rj , поэтому в сумме слева останется только два слагаемых (пользуемся тем, что∂∂∂x hx, xi = 2x и ∂x hx, yi = y):h2r i − 2rj , δri i + h2rj − 2ri , δrj i = 0.14Отсюдаr i − r j ⊥ δri − δrj .Вычислим элементарную работу реакций R на виртуальном перемещении (помним, что Rij = −Rji ):XXXXXXXhRi , δri i =hRij , δri i =(hRij , δri i + h−Rij , δrj i) =hRij , δri − δrj i = 0,iij6=iji<jji<jт.к.
Rij k ri − rj ⊥ δri − δrj . Значит, связи идеальны. 2.6. Общие законы динамики для систем с идеальными связями2.6.1. Динамические переменныеPP1. Импульс i-й точки: pi = mi ṙi . Импульс системы точек: P =pi = mi ṙi . Проекцию импульса на осьOe обозначим Pe : Pe = hP, ei.2. Кинетический момент.
Пусть вектор u приложен в точке P и ещё дана точка O. Тогда по определению−−→momO uP = [OP , u] — это момент вектора u в точке P относительно центра O.→Пусть теперь дана ось Oe. Тогда по определению полагаем momOe uP = hmomO uP , −e i — момент относительно оси Oe.Момент импульса i-й точки относительно начала отсчёта (точки O): ki = [r i , pi ] (это момент вектора pi ,приложенного в точке ri , относительноP O).
PPМомент импульса системы: K = ki = [r i , pi ] = mi [ri , ṙi ].2PP mi |ṙ i |2mi |ṙi |3. Кинетическая энергия. τi =— кинетическая энергия i-й точки. T =τi =— кинети22ческая энергия системы..4. Центр масс системы точек — это точка с радиус-векторомPmi r i.rC = PmiЗаметим, что положения центра масс не зависит от выбранной системы отсчёта.2.6.2. Теорема об изменении импульсаТеорема 2.4. Пусть связи идеальны и допускают сдвиг всей системы как единого целого вдоль неподвижной оси Oe. ТогдаdPe X внеш.=Fedt(справа стоит сумма проекций всех внешних сил на ось Oe). Связи допускают сдвиг вдоль Oe, поэтому среди виртуальных перемещений есть вектор e (точнее,δr = (e, e, .
. .)). Подставим его в принцип Даламбера – Лагранжа:Xhmi r̈i − Fi , ei = 0,откудаXhmi r̈ i , ei =XhF внеш. , ei(сумма проекций внутренних сил равна нулю в силу третьего закона Ньютона).Вектор e неподвижен, поэтомуdhpi , eid= hmi ṙi , ei = hmi r̈ i , ei,dtdtпоэтомуXdPehmi r̈i , ei =,dtчто и требовалось. P внеш.В частности, еслиFe= 0, то Pe = const — это первый интеграл уравнения движения.Ясно, что для центра масс имеет место соотношение mṙ C = P (центр масс в проекции движется так же, какдвигалась бы точка массы m под действием суммы внешних сил).Пусть дана система свободных точек (связей нет). Допускается сдвиг вдоль любого направления. Применяянашу теорему к ex , ey и ez , получаемXdP=F внеш.
.dtВ лекциях тут была формула Мещёрского, но в программу она не вошла.152.6.3. Закон изменения кинетического моментаТеорема 2.5. Пусть связи идеальны и в любой момент времени допускают поворот системы как единого целоговокруг неподвижной оси Oe (точка O тоже неподвижна). ТогдаXdKe=(momO F внеш. )e .dt Система может вращаться вокруг Oe. По формуле Эйлера это означает (полагаем ω = e), что ṙ i = [e, r i ]. Условиенашей теоремы означает, что δr = ([e, r 1 ], . . . , [e, r N ]) — виртуальное перемещение. Подставим его в принцип Даламбера– Лагранжа:Xhmi r̈ i − Fi , [e, r i ]i = 0,то естьXXXhmi e, [r i , r̈ i ]i =he, [r i , Fiвнеш.
]i +he, [r i , Fiвнутр. ]i.Внутренние силы у нас встречаются парами: между точками i и j будут силы Fij и Fji , коллинеарные вектору r i − r j ,противоположные по направлению и равные по модулю (3-й закон Ньютона). Значит, [r i , Fij ]+[r j , Fji ] = [r i −r j , Fij ] = 0.Итак, второе слагаемое в правой части равно нулю (а первое — как раз то, что обещали).dРазберёмся с левой частью: [r i , r̈ i ] = [r i , r̈ i ] + [ṙ i , ṙ i ] = dt[r i , ṙ i ], откудаhmi e, [r i , r̈i ]i =ddhmi e, [r i , ṙ i ]i = he, ki idtdte— слева получили то, что хотели: dK.dtОтсюда следует, что сумма моментов сил относительно любой точки на оси Oe — одна и та же.В случаеX(momO F внеш.
)e = 0получаем первый интеграл Ke = const.Для свободной системы точек получаемXdK=momO F внеш. .dt2.6.4. Теорема об изменении кинетической энергииЕсли к i-й точке приложена сила Fi , то величина hṙ i , Fi i называется мощностью этой силы (смысл: работа за единицувремени).Теорема 2.6. Пусть связи идеальны и действительные перемещения находятся среди виртуальных (в частности,это так для стационарных связей). Тогда скорость изменения кинетической энергии равна сумме мощностей всехсил:XdT=hṙ i , Fi i.dt Пусть r(t) — действительное движение системы. Тогда вектор δr = (ṙ 1 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
