А.В. Фурсиков - Курс лекций по вариационному исчислению (1156151), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Банахово пространство называется рефлексивным, если X ∗∗ = X, точнее, если для всякогоx ∈ X ∗∗ существует x ∈ X такой, что для всех x∗ ∈ X ∗ выполнено hx∗∗ , x∗ i = hx∗ , xi.Поверим (без доказательства) в следующую теорему:Теорема 3.3. Пространство рефлексивно тогда и только тогда, когда из любой ограниченной последовательности можно выбрать слабо сходящуюся.∗∗Определение. Множество A ⊂ X называется секвенциально слабо замкнутым, если для любой последоваwтельности {xn } ⊂ A из условия xn −→ x следует x ∈ A.Определение.
Функция f называется полунепрерывной снизу относительно слабой сходимости, если выполнены следующие эквивалентные условия:w(i) для любого xb ∈ X и любой последовательности {xn } −→ xb выполнено f (bx) 6 lim f (xn ),24(ii) для любого λ ∈ R множество Lλ f секвенциально слабо замкнуто,(iii) множество epi f секвенциально слабо замкнуто.Доказательство равносильности (i) — (iii) остается в качестве упражнения.Пусть X — банахово, A ⊂ X — подмножество, f : X → R — функция. Рассмотрим задачу(f (x) → inf,(3)x ∈ A.Определение. Задача (3) называется коэрцитивной, если найдется λ ∈ R, для которого множество Lλ :=:= {x ∈ A : f (x) 6 λ} непусто и ограничено.Теорема 3.4 (Принцип компактности).
Пусть X — рефлексивное банахово пространство, f — полунепрерывна снизу относительно слабой сходимости, A — секвенциально слабо замкнуто и задача (3) коэрцитивна. Тогда эта задача имеет решение: существует xb ∈ A такой, что f (bx) = inf f (x).x∈AВозьмём λ, для которого Lλ непусто и ограничено. Обозначим µ := inf f (x) ∈ [−∞, λ]. В случае µ = λx∈Aможно взять любое xb ∈ Lλ . Пусть µ < λ. Выберем {xn } ⊂ A : f (xn ) → µ.
Поскольку {xn } ⊂ Lλ , а Lλ ограничено,wто из {xn } можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность xnk . Пусть xnk −→ xb ∈ X. Тогда xb ∈ A,f (bx) 6 lim f (xnk ) = µ, откуда f (bx) = µ. Теоремы, подобные только что доказанным, особенно удобно применять в выпуклом случае.3.1.2. Некоторые факты выпуклого анализаПусть X — линейное пространство. Напомним без доказательства некоторые факты:• Сумма видаkPj=1αj xj называется выпуклой комбинацией точек xj ∈ X, если αj > 0 и• Множество всевозможных выпуклых комбинаций точек AnXoXconv A :=αi xi : xi ∈ A, αi > 0,αi = 1kPαj = 1.j=1(4)является наименьшим выпуклым множеством, содержащим A.
Это множество называется выпуклой оболочкой A.• Пусть X — нормированное пространство. Если A выпукло, то и A выпукло.wТеорема 3.5 (Мазур). Пусть X — нормированное пространство, {xn } ⊂ X, xn −→ xb. Тогда найдетсяnPпоследовательность выпуклых комбинаций yn =αj,n xj , сходящаяся к xb.j=1 Обозначим C := conv {xn }. Множество C выпукло как замыкание выпуклого множества. Нам надодоказать, что xb ∈ C. Если xb∈/ C, то, по второй теореме отделимости (теорема 1.9), существует x∗ ∈ X ∗ , для∗∗которого sup hx , xi < hx , xbi.
Но это невозможно, ибо hx∗ , xn i → hx∗ , xbi. CСледствие 3.1. Если A ⊂ X выпукло и замкнуто, то A секвенциально слабо замкнуто.nPw Пусть xn ∈ A, xn −→ xb. Построим выпуклые комбинации yn =αj,n xj , yn → xb. В силу выпуклостиj=1имеем yn ∈ A, в силу замкнутости xb ∈ A. Следствие 3.2. Если f выпукла и полунепрерывна снизу, то f полунепрерывна снизу относительно слабойсходимости. Возьмём λ ∈ R. Множество Lλ f выпукло и замкнуто, а значит, секвенциально слабо замкнуто. 3.2. Применение принципа полунепрерывностиНапомним в очередной раз, что T = [t0 , t1 ].3.2.1. Теорема Тонелли и некоторые контрпримерыРассмотрим простейшую задачу вариационного исчисленияZt1 J(x) = L(t, x, ẋ) dt → inf,t0x(t0 ) = x0 , x(t1 ) = x1 .25(5)Мы будем искать решение этой задачи в классе Соболева Wq1 (T ). Напомним, что этот класс состоит изабсолютно непрерывных на отрезке T функций, производная которых лежит в Lq (T ).
Норма в Wq1 задаетсяравенствомZt1qqqkxkW1 (T ) := |x(t)| + |ẋ(t)| dt.(6)qt0Теорема 3.6 (Тонелли). Пусть выполнены:1◦ условия гладкости: L ∈ C(T × R2 ) и при всех t, x функция L(t, x, ·) ∈ C1 (R),2◦ условие квазирегулярности: при всех t, x функция L(t, x, ·) выпукла,3◦ условие роста: существуют α > 0, β и q > 1 такие, что L(t, x, p) > α |p|q + β. Тогда существует решение задачи (5) на множестве A = x ∈ Wq1 (T ) : x(ti ) = xi , то есть существуетxb ∈ A, для которого J(bx) = inf J(x).AМы не будем доказывать эту теорему, тем более что позже будет доказано более общее утверждение. Заметимлишь, что доказательство теоремы Тонелли состоит в сведении ее к общей теореме (пусть X — рефлексивное банахово пространство, функция f полунепрерывна снизу, множество A секвенциально слабо замкнуто, и задача{f (x) → inf, x ∈ A} коэрцитивна; тогда эта задача имеет решение). При этом условие 2◦ нужно для полунепрерывности, условие 3◦ — для коэрцитивности.
Разберём несколько примеров, показывающих, что условияполунепрерывности, секвенциальной слабой замкнутости и коэрцитивности существенны.Пример 2.1. (Больц)Z1 J(x) = (ẋ2 − 1)2 + x2 dt → inf,(7)0x(0) = x(1) = 0.Будем искать решение в пространстве X := W41 (0, 1). Ясно, что J(x) > 0 для всех x, но дляxn (t) =Zt(8)sgn sin(2πnτ ) dτ,0как легко проверить, J(xn ) → 0. Покажем, что выполнены все условия, кроме полунепрерывности функции.В нашей задачеA = {x ∈ X : x(0) = x(1) = 0} .(9)Чуть позже мы докажем неравенство |x(0)| 6 C kxkX для всех x ∈ X. Из этого неравенства следует, чтомножество A замкнуто. Действительно, если xn ∈ A и xn → x, то |x(0)| = |x(0) − xn (0)| 6 kx − xn k → 0. Далее,поскольку множество A выпукло, то оно секвенциально слабо замкнуто.Теперь покажем коэрцитивность.
Для λ = 1 множество {x ∈ A : J(x) 6 1} непусто (так как содержит ноль)и ограничено: для x ∈ A имеем (все интегралы по отрезку [0, 1]):Z422ẋ − 2ẋ + 1 + x dt 6 1 ⇔ZZ⇒ẋ4 dt 6 2ẋ2 dtZẋ4 − 2ẋ2 + x2 dt 6 0 ⇒ZZ!1⇒ẋ4 dt 6(4 + ẋ4 ) dt2⇔Zẋ4 dt 6 4⇒kxkW4 6 С .1(10)Переход, отмеченный «!», верен в силу неравенстваabR 6 12 a2 + b2 , а последняя импликация верна в силуR 4неравенства Фридрихса (теорема 3.11) в A: x dt 6 C ẋ4 dt.Нам осталось доказать неравенство |x(0)| 6 C kxkX . Докажем общее утверждение, предварив его леммой.Лемма 3.7.
Справедливо неравенствоa + b 6 2(ap + bp )1/p .(11) Пусть, для определённости, a > b > 0. Тогда (a + b)p 6 2p ap 6 2p (ap + bp ), и остаётся только возвестиэто неравенство в степень 1p . Утверждение 3.8. Имеет место неравенство |x(0)| 6 C(p) kxkW1 для всех x ∈ Wp1 (0, 1).pВозьмем гладкую функцию ϕ(t), изображённую на рис.
3.2610131 t23Рис. 3. Функция ϕ(t)Поскольку x(0) = −R10ddt (xϕ) dt,то (далее все интегралы по отрезку [0, 1], интегрируем по t):Z Z1/p Z1/q Z1/p Z1/qpqpq|x(0)| = ẋϕ + xϕ̇ 6|ẋ||ϕ|+|x||ϕ̇|6"Z#1/p Z1/pZ1/pZ!pppp6 C(p)|ẋ|+|x|6 2C(p)|ẋ| + |x|= 2C(p) kxkWp1 , (12)что и требовалось доказать (переход «!» обусловлен предыдущей леммой). Замечание. Иногда эту теорему называют теоремой о сужении на граничную точку отрезка.Пример 2.2.
(Вейерштрасс) Положим T := [0, 1].Решение «естественно» искать в классеW :=J(x) =Z10t2 ẋ2 dt → inf,(13)x(0) = 0, x(1) = 1.2kxkWx ∈ AC(T ) ::=Z10(t2 ẋ2 + tx2 ) dt < ∞ .(14)Замечание. Не следует путать класс W с пространством Соболева.В силу условия x(1) = 1 очевидно, имеем J(x) > 0.1t1nРис. 4. Последовательность функций xn (t)В то же время, для последовательностиxn (t) =(nt, 0 6 t 61, t > n11n,(15)(см. рис. 4) будет J(xn ) → 0.
Значит, наша задача не имеет решения. Покажем, что выполнены все условия,кроме секвенциальной слабо замкнутости множества A := {x ∈ W : x(0) = 0, x(1) = 1}.Установим коэрцитивность. Положим W0 := {x ∈ W : x(1) = 0}. Докажем, чтоZ11tx dt 622Z1t2 ẋ2 dt(16)00для всех x ∈ W0 . Действительно,x(t) = −x(t)2 6Z1ẋ(τ ) dτ = −Z1! Z1ttdττ2tZ1t1τ ẋ(τ ) dτ,ττ 2 ẋ(τ )2 dτ!1−t=tZ1t271−tτ 2 ẋ(τ )2 dτ 6tZ10(17)τ 2 ẋ(τ )2 dτ.Подставляя полученную оценку для x2 в доказываемое неравенство, получаемZ12tx(t) dt 60Z10(1 − t) dtZ11τ ẋ(τ ) dτ =222Z1τ 2 ẋ(τ )2 dτ.(18)00Теперь заметим, что A ⊂ W0 + 1, откудаnZ1non3ox ∈ A : J(x) 6 1 ⊂ x + 1 ∈ W0 + 1 :t2 ẋ2 dt 6 1 ⊂ 1 + x ∈ W0 : kxkW (T ) 6,2o(19)0и коэрцитивность доказана.Полунепрерывность снизу функционала J следует из его выпуклости по ẋ (подробности см.
ниже в доказательстве теоремы Тонелли).Пример 2.3. (Гармонический осциллятор)ZT J(x) = ẋ2 − x2 dt → inf,0x(0) = 0, x(T ) = 0.(20)В данной задаче T — фиксированное число, большеебудем искать вклассе W21 (0, T ). Выпуклость π. Решение1по ẋ гарантирует полунепрерывность. Множество x ∈ W2 (0, T ) : x(0) = x(T ) = 0 является секвенциально слабо замкнутым (как и в примере Больца).
Однако условие коэрцитивности не может быть выполнено, ибо дляxn (t) = n sin 2πtT будет J(xn ) → −∞.3.2.2. Пространства СоболеваПовторим основные факты про пространства Соболева, известные нам из курса УРЧП.∞Пусть Ω — область в Rd . Обозначим C∞0 (Ω) := {ϕ ∈ C (Ω) : supp ϕ ⋐ Ω} — пространство основных функций.∞∞Также обозначим C (Ω) := C(Ω) ∩ C (Ω).
Чтобы обойти длинное определение обобщённых функций, дадимследующееОпределение. Функция v ∈ L1 (Ω) называется обобщённой производной функции u ∈ L1 (Ω) по переменной∂u), если для всех ϕ ∈ C∞xi (обозначение: v = ∂x0 (Ω) выполненоiZZ∂ϕvϕ dx = − udx.(21)∂xiΩΩОпределение. Классом Соболева Wp1 (Ω) называется пространство∂uWp1 (Ω) := u ∈ Lp (Ω) :∈ Lp (Ω) для всех i = 1, . .
. , d ,∂xiнаделенное нормойkukpW1 (Ω)p:=ZΩНапомним без доказательства теорему:Теорема 3.9. C∞ (Ω) плотно в Wp1 (Ω).(22)d X ∂u p|u| + ∂xi dx.p(23)i=1Определение. Классом Соболева функций, нулевых на границе, называется замыкание множества C∞0 (Ω)◦в пространстве Wp1 (Ω). Обозначение: W1p (Ω).◦Далее для сокращения записи (в этом параграфе) обозначим W := Wp1 (Ω), W0 := W1p (Ω).Теорема 3.10. Пространство W банахово.k Пусть последовательность uk фундаментальна в W . Тогда uk и ∂u∂xj фундаментальны в Lp . Значит,uk → u в Lp при k → ∞,ZΩ∂uk∂xj→ vj в Lp при k → ∞. При этом для любой ϕ ∈ C∞0 имеемZZZ∂uk∂ϕ∂ϕvj ϕ dx = limϕ dx = − limukdx = − udx,k→∞k→∞∂xj∂xj∂xjΩΩ28Ω(24)откуда следует, что vj =∂u∂xj .Значит, u ∈ W .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
