А.В. Фурсиков - Курс лекций по вариационному исчислению (1156151), страница 3
Текст из файла (страница 3)
В самом деле, функционалы f и g однозначно определяются равенствамиhf, xi = hF, (x, 0)i ,hg, yi = hF, (0, y)i ,(42)что и требуется. 1.2.2. Факторпространства нормированных пространствЗамечание. Линейным подмногообразием линейного топологического пространства X мы будем называтьмножество, замкнутое относительно сложения и умножения на скаляры. Подпространством мы будем называтьзамкнутое (уже в топологическом смысле) линейное подмногообразие.Определение. Рассмотрим линейное пространство X и его линейное подпространство L ⊂ X. На множествах вида x + L = {x + l : l ∈ L} естественным образом вводится структура линейного пространства. Этопространство называется факторпространством X по L и обозначается X/L.Теорема 1.6.
Пусть X — нормированное пространство, L ⊂ X — его подпространство. Тогда X/L тожеявляется нормированным пространством с нормойkx + LkX/L := inf kx + lkX .l∈L(43) В силу замкнутости для x ∈/ L имеем: kx + Lk = inf kx − (−l)k = ρ(x, L) > 0. Проверим неравенствоl∈Lтреугольника:k(x + L) + (y + L)k = inf kx + y + l0 + l1 k 6 inf kx + l0 k + ky + l1 k = kx + Lk + ky + Lk .(44)l0 ,l1 ∈Ll0 ,l1 ∈LОднородность нормы очевидна. Таким образом, X/L — нормированное пространство. Теорема 1.7.
Если X — банахово пространство, L ⊂ X — подпространство, то X/L — также банаховопространство. Пусть xn + L ∈ X/L — фундаментальная последовательность. Покажем, что она сходится. Выберемподпоследовательность xnk + L, такую, что1xn+ L − (xnk + L) < k .k+12(45)′Но ясно, что для любогочто kx′ k 6 2 kx + Lk. Поэтому мы можем выбрать ′x найдется x 2∈ x + L, такой,′′′xnk ∈ xnk + L, так что xnk+1 − xnk < 2k . Тогда xnk сходятся к некоторому x.
Ясно, что xnk + L = x′nk + Lсходятся к x + L. 1.2.3. Ещё несколько теорем функционального анализаЛемма 1.8 (О правом обратном). Пусть X и Y — банаховы пространства, A : X → Y — линейныйнепрерывный сюръективный оператор. Тогда существуют отображение M : Y → X и константа C, такиечто A ◦ M = idY и при этом kM (y)k 6 C kyk при всех y ∈ Y .Замечание. Заметим, что отображение M не обязано быть линейным и непрерывным!9e := X/ Ker A.
Пусть π : X → Xe — естественная проекция, π : x 7→ x + Ker A. По теореме о Обозначим Xe: Xe → Y , такой что Ae ◦ π = A (простогомоморфизме однозначно определён биективный линейный оператор Ae + Ker A) := Ax).полагаем A(xe непрерывен. Мы можем сопоставить каждому элементу xe вектор ϕ(eПокажем, что оператор Ae∈Xx) ∈ Xтак, чтобы xe = ϕ(ex) + Ker A (то есть π ◦ ϕ = idXe ) и kϕ(ex)k 6 2 kexk.
Тогда Aeex = kAϕ(ex)k 6 kAk · kϕ(ex)k 6 2 kAk · kexk .(46)AAAAXππππϕϕϕϕX/ Ker AYeeeeAAAAРис. 2. Диаграммаe = 0 по построению, Im Ae=Y иXe банахово по предыдущей теореме, то, по теореме Банаха,Поскольку Ker Ae−1 : Y → X.e Теперь положим M := ϕ ◦ Ae−1 . Тогдасуществует обратный (линейный непрерывный) оператор Ae◦π ◦ϕ◦Ae−1 = Ae ◦ id e ◦Ae−1 = idY ,A◦M =AX −1 −1 e y 6 2Ae · kyk ,kM (y)k = ϕ(Ae−1 y) 6 2A(47)что и означает непрерывность. Напомним (без доказательства) теорему из функционального анализа:Теорема 1.9 (Вторая теорема отделимости). Пусть X — нормированное пространство, A ⊂ X —выпуклое замкнутое множество, x0 ∈/ A. Тогда существует гиперплоскость, разделяющая A и x0 , то естьнайдётся такой ненулевой функционал f ∈ X ∗ , что(48)sup hf, xi < hf, x0 i .x∈AОпределение. Пусть X — нормированное пространство, A ⊂ X. Аннулятором множества A называетсямножествоAnn A = A⊥ := {f ∈ X ∗ : hf, xi = 0 при всех x ∈ A} .(49)Теорема 1.10 (О нетривиальности аннулятора).
Пусть X — нормированное пространство и L ( X —собственное подпространство в X. Тогда Ann L 6= 0. Рассмотрим x0 ∈/ L. Применяя вторую теорему отделимости, выберем f ∈ X ∗ так, что sup hf, xi < hf, x0 i.x∈LЯсно, что f 6= 0. Покажем, что f ∈ L⊥ . Действительно, если hf, x′ i =6 0 для некоторого x′ ∈ L, тоsup hf, xi > sup hf, λx′ i = +∞,x∈L(50)λ∈Rчто и требуется. Чтобы не опираться на незнакомую теорему отделимости, можно доказать нетривиальность аннулятора по-другому.
Возьмемv∈/ L и на подпространстве Lin hL, vi зададим функционал f формулой hf, λv + li = λ. Далее продолжим его на всё пространство Xпо теореме Хана – Банаха.Лемма 1.11 (О замкнутости образа). Пусть X, Y , Z — банаховы пространства, A : X → Y , B : X →→ Z — линейные непрерывные операторы, Im A замкнуто в Y , B Ker A замкнуто в Z. Пусть Dx := (Ax, Bx).Тогда множество Im D замкнуто в Y × Z.Обозначим Ye := Im A.
Подпространство Ye банахово, как и всякое подпространство банахова пространства. Очевидно, что A : X → Ye — эпиморфизм. По лемме о правом обратном существует отображениеM : Ye → X, такое что A ◦ M = idYe и kM yk 6 C kyk. Пусть (y, z) ∈ Im D. Значит, найдётся последовательностьxn , такая что lim Axn = y ∈ Ye , lim Bxn = z. Положим ξn := M (Axn − y). Тогдаkξn k = kM (Axn − y)k 6 C kAxn − yk → 0.(51)Поэтому z = lim Bxn = lim B(xn − ξn ).
Теперь рассмотрим множество R = {Bx : Ax = y}. Ясно, что еслиAx = Ax′ = y, то Bx − Bx′ = B(x − x′ ) ⊂ B Ker A, откуда R = Bx0 + B Ker A (где x0 — некоторый вектор), а,значит, замкнуто. Заметим, чтоA(xn − ξn ) = Axn − AM (Axn − y) = Axn − (Axn − y) = y,10(52)откуда B(xn − ξn ) ∈ R, значит, z ∈ R = R. Поэтому существует x ∈ X, такой что Ax = y и Bx = z, то есть(y, z) ∈ Im D. Теорема 1.12. Пусть X и Y — банаховы пространства, A : X → Y — линейный непрерывный сюръективный оператор. Тогда (Ker A)⊥ = Im A∗ .
Включение ⊃ устанавливается легко: если f ∈ Im A∗ , то f = A∗ g, и для любого x ∈ Ker A мы получаемhf, xi = hA∗ g, xi = hg, Axi = hg, 0i = 0,(53)откуда f ∈ (Ker A)⊥ .Обратно, пусть f ∈ (Ker A)⊥ . Рассмотрим оператор D : X → Y × R, заданный по формуле Dx = (Ax, hf, xi).По лемме о замкнутости образа Im D замкнут, но (0, 1) ∈/ Im D. Значит, аннулятор множества Im D содержитненулевой функционал F . Так как F ∈ (Y × R)∗ , то найдутся g ∈ Y ∗ и λ ∈ R, такие чтоhF, (Ax, hf, xi)i = hg, Axi + λ hf, xi = 0при всех x ∈ X.(54)Покажем, что λ 6= 0. Предположим противное. Тогда при всех x будет hg, Axi = 0, а значит (в силу сюръективности A), при всех y ∈ Y будет выполнено hg, yi = 0, откуда g = 0, и потому F = 0. Противоречие.Итак, можно поделить на λ, поэтому получаем явное выражение для f : 1 11(55)hf, xi = − hg, Axi = − hA∗ g, xi , то есть f = A∗ − g ∈ Im A∗ ,λλλчто и требовалось доказать.
1.2.4. Производная в нормированных пространствахПусть X и Y — нормированные пространства, U ⊂ X открыто, f : U → Y , x ∈ U .Определение. Говорят, что функция f дифференцируема по Гато в точке x, если существует линейныйнепрерывный оператор Λ : X → Y , такой что при всех h ∈ Xf (x + λh) = f (x) + λΛh + o(λ).(56)Оператор Λ называется производной по Гато и обозначается fΓ′ (x).Замечание. В данном выше определении допущена некоторая вольность, и формально оно неверное.
Постарайтесь обнаружить её самостоятельно.Определение. Говорят, что f дифференцируема по Фреше в точке x, если существует линейный непрерывный оператор Λ : X → Y , такой чтоf (x + h) = f (x) + Λh + o(h).(57)Оператор Λ называется производной по Фреше и обозначается f ′ (x).Определение. Говорят, что f строго дифференцируема в точке x, если существует линейный непрерывныйоператор Λ : X → Y , такой что для любого ε > 0 найдётся δ > 0, такое что при всех x1 , x2 ∈ U , для которыхkxi − xk < δ (i = 1, 2), имеемkf (x1 ) − f (x2 ) − Λ(x1 − x2 )k < ε kx1 − x2 k .(58)Нетрудно проверить, что оператор Λ во всех трёх определениях определён однозначно.Ясно, что строгая дифференцируемость влечёт дифференцируемость по Фреше, а та, в свою очередь, влечетдифференцируемость по Гато.
Обратные импликации неверны, как показывают функции((1, x21 = x2 6= 0,x2 , x ∈ Q,(59)f (x1 , x2 ) =g(x) =0,x∈/ Q.0, иначе,Из первого примера также видно, что существование производной по Гато в точке не влечёт даже непрерывностифункции в этой точке.Теорема 1.13 (О производной композиции). Пусть X, Y, Z — нормированные пространства, U ⊂ X,V ⊂ Y — открытые множества, x ∈ U , y ∈ V , f : U → Y , g : V → Z, f (x) = y.1) Пусть функция g дифференцируема по Фреше в точке y.
Если функция f дифференцируема по Гато(Фреше) в точке x, то функция g ◦ f дифференцируема по Гато (Фреше) в точке x.2) Если функции f и g строго дифференцируемы в соответствующих точках, то функция g ◦ f строгодифференцируема в x.Доказательство остается в виде упражнения.11Пусть, как и ранее, X и Y — нормированные пространства, U ⊂ X открыто, f : U → Y .Теорема 1.14 (О конечном приращении). Пусть f дифференцируема по Гато во всех точках U , пусть[x1 , x2 ] ⊂ U . Тогдаkf (x2 ) − f (x1 )k 6 sup kfΓ′ (x)k · kx2 − x1 k .(60)x∈[x1 ,x2 ]По теореме Хана – Банаха существует функционал y ∗ ∈ Y ∗ , такой чтоky ∗ k = 1 и hy ∗ , f (x2 ) − f (x1 )i = kf (x2 ) − f (x1 )k .(61)Введём обозначение ∆x := x2 −x1 и x(t) := t(x2 − x1 ) + x1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
