А.В. Фурсиков - Курс лекций по вариационному исчислению (1156151), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Ясно также, что uk → u в пространстве W . К этому определению можно подойти по-другому. Предположим, что граница области ∂Ω бесконечно гладкая. Для функций u ∈ C∞ (Ω) положим γu := u . Можно показать, что kγukLp (∂Ω) 6 C(Ω) kukW . Отсюда легко∂Ωследует, что оператор γ можно единственным способом продолжить до непрерывного оператора γ : W → Lp (∂Ω).После этого полагаемW0 := {u ∈ W : γu = 0} .(25)Опять же, примем без доказательства, что такое определение согласуется с определением, данным выше.Несмотря на то, что на лекциях определение через γ было основным, по существу использовалось исключительно определениечерез C∞0 .Тот факт, что u ∈ W0 , мы будем записывать в виде u= 0.∂ΩНапомним без доказательства ещё две теоремы:Теорема 3.11 (Неравенство Фридрихса).
Пусть Ω — ограниченная область. Тогда для любой функцииu ∈ W0 выполняется неравенствоZZ Xd ∂u pp(26)|u| dx 6 C ∂xj dx,Ω i=1Ωгде C = C(p, Ω).Теорема 3.12. Пусть Ω — ограниченная область. Тогда W компактно вложено в Lp (Ω).Компактная вложенность означает, что любая последовательность элементов W , ограниченная по норме W ,содержит подпоследовательность, сходящуюся в норме Lp . Условие компактной вложенности мы будем обозначать значком ⋐.Можно понимать условие компактной вложенности буквально. Действительно, условие W ⋐ Lp равносильно тому, что операторвложения ι : W ֒→ Lp , ι : x 7→ x является компактным.Теорема 3.13.
При p > 1 пространство W рефлексивно. Вначале вспомним, что пространство Lp рефлексивно, ибо L∗p ∼= Lq приLp всюду понимается Lp (Ω).Рассмотрим линейный непрерывный оператор∂u∂uD : W → Ld+1,u→7u,,...,.p∂x1∂xd1p+1q= 1. Далее в теореме под(27)Легко проверить, что DW замкнуто в Ld+1(это делается так же, как и при доказательстве банаховости W ).pНам надо доказать, что из любой ограниченной последовательности можно выбрать слабо сходящуюся. Пустьkuk kW < C.
Возьмем произвольный функционал F ∈ W ∗ . Положим FL (Dη) := F (η). Определение корректно,так как D инъективно. Далее, FL непрерывен, так как(28)|FL (Dη)| = |F (η)| 6 kF k · kηkW 6 C kF k · kDηkLd+1.pЗдесь мы воспользовались неравенствомZ X1/pXZ p 1/pupi dx6Cui dx.(29)Продолжим FL на всё пространство Ld+1по теореме Хана – Банаха. Поскольку (Ld+1)∗ ∼, где= Ld+1ppqd+1то найдутся функции w0 , . . . , wd ∈ Lq , такие что для всех ξ ∈ Lp имеемFL (ξ) =Z Xd1p+1q= 1,(30)wi ξi dx.Ω i=0Отсюда для всех u ∈ W имеемF (u) =Z uw0 +ΩdX∂u wi dx.∂xii=1(31)Теперь ясно, как выбрать слабо сходящуюся подпоследовательность.
Так как kuk kLp < C, то можно выбрать(1)(2)подпоследовательность uk , слабо сходящуюся в Lp . Из неё выбираем uk , такую чтои так далее. Последовательность(d+1)ukбудет слабо сходиться в W . 29(2)∂uk∂x1слабо сходится в Lp ,3.2.3. Доказательство теоремы ТонеллиРассмотрим экстремальную задачуZJ(u)=L x, u(x), ∇u(x) dx → inf,где ∇u =∂u∂u∂x1 , . . .
, ∂xdu.(32)Ω= 0,∂ΩТеорема 3.14 (Тонелли). Пусть Ω — ограниченная область в Rd и выполнены:∂L1◦ условия гладкости: L(x, u, p) ∈ C(Ω × Rd+1 ), ∂p∈ C(Ω × Rd+1 ),j2◦ условие роста: существуют α > 0, β, q ∈ (1, +∞) такие, что для всех x, u, p выполненоL(x, u, p) > α |p|q − β,q(здесь |(p1 , . .
. , pd )| =dPi=1(33)q|pi | )3◦ условие квазирегулярности: при всех x, u функция L(x, u, ·) выпукла.◦Тогда существует решение задачи (32) в классе W1q (Ω).◦ Положим X := Wq1 (Ω), A := W1q (Ω). Чтобы применить принцип компактности (теорему 3.4), нам нужнодоказать, что X — рефлексивное банахово пространство, A секвенциально слабо замкнуто, задача коэрцитивнаи что J полунепрерывен снизу относительно слабой сходимости.1◦ Рефлексивность и банаховость X были установлены ранее.2◦ Секвенциальная слабая замкнутость следует из того, что A замкнуто и выпукло (как замыкание линейногопространства, а, стало быть, выпуклого множества).3◦ Докажем коэрцитивность. Заметим, что J ограничен снизу, так как область ограничена и подинтегральнаяфункция ограничена снизу.
Далее, возьмем достаточно большое λ так, чтобы множество Lλ := {u ∈ A : J(u) 6 λ}было по крайней мере непусто. Докажем, что Lλ будет ограничено. Пусть u ∈ Lλ . Тогдаu ∈ Lλ⇔J(u) 6 λ⇔ZL dx 6 λΩ⇒⇒αZq|∇u| dx − β mes(Ω) 6 λΩZλ + β mes(Ω)|∇u| 6αq⇒qkukXΩ⇒(C + 1) λ + β mes(Ω)6. (34)αЧто касается полунепрерывности снизу относительно слабой сходимости, то её доказательство мы вынесемего в отдельную теорему, сохраняя все обозначения. Теорема 3.15. В условиях предыдущей теоремы функционал J полунепрерывен снизу относительно слабойсходимости в X. Возьмем последовательность yk ∈ X, слабо сходящуюся к yb в X. Мы хотим доказать, чтоbJ(by ) 6 lim J(yk ) =: J.(35)k→∞Вначале сделаем несколько простых замечаний.b• Переходя к подпоследовательности, можно считать, что J(yk ) → J.w• Поскольку yk −→ yb, то kyk kX < C для некоторого C > 0.• Поскольку X ⋐ Lq (Ω), переходя к подпоследовательности, можно считать kyk − ybkLq → 0.• Еще раз переходя к подпоследовательности, используя теорему Рисса, можно считать, что yk → yb почтивсюду на Ω.• Поскольку yk сходятся к yb почти всюду, то по теореме Егорова для всякого ε > 0 существует множество Eε ,такое что yk ⇒ yb на Eε , и при этом mes(Ω r Eε ) < ε.Рассмотрим множество:Fε :=1x ∈ Ω : |by (x)| + |∇by (x)| <.ε30(36)При k > k(ε), в силу равномерной сходимости, для любого x ∈ Gε := Eε ∩ Fε будет выполнено неравенство|yk (x)| < 2ε .
Далее, на множестве3(37)(x, y, p) : x ∈ Ω, |y| + |p| 6εнепрерывные функции L и Lp ограничены: |L| + |Lp | < C(ε).Обратите внимание, что здесь Lp — это производная функции L по переменным p, то есть вектор Lp =совсем не функциональное пространство.Итак, мы получили, что mes(Ω r Gε ) −→ 0 и при всехL x, yb(x), ∇by (x) < C(ε),L x, yk (x), ∇by (x) < C(ε),Рассмотрим числоγk,ε :=ZGε“∂L∂L, .
. . , ∂p∂p1dk > k(ε) и x ∈ Gε выполнены неравенстваLp x, yb(x), ∇by (x) < C(ε),Lp x, yk (x), ∇by (x) < C(ε).Lp (bx, yb, ∇by ), ∇yk − ∇by dx.”, а(38)(39)Покажем, что γk,ε → 0 при k → ∞ и фиксированномε > 0. Действительно, любая ограниченная функция ϕRзадает на X непрерывный функционал u 7→ (ϕ, ∇u). Поскольку на Gε функция Lp ограничена, а последоваGεтельность yk − yb слабо сходится к нулю, то γk,ε → 0.Рассмотрим такжеZZαk,ε :=L(x, yk , ∇by ) − L(x, yb, ∇by ) dx +Lp (x, yk , ∇by ) − Lp (x, yb, ∇by ), ∇yk − ∇by dx.Gε(40)GεПокажем, что αk,ε → 0 при k → ∞ и фиксированном ε > 0.
Первый интеграл стремится к нулю по теоремеЛебега (ибо на Gε функция L ограничена, yk → yb почти всюду). Второй интеграл имеет вид (ak , bk )L2 (Ω) , причемфункции ak стремятся к нулю в Lr по теореме Лебега (мы выбрали 1r + 1q = 1), а функции bk ограничены в Lq ,ибоkbk kLq = k∇yk − ∇by kLq 6 kyk kX + kby kX .(41)По неравенству Гёльдера,|(ak , bk )| 6 kak kLr · kbk kLq → 0при k → ∞.(42)Теперь наконец воспользуемся выпуклостью функции L(x, u, ·). Понятно, что для выпуклой функции h(·),дифференцируемой в sb, выполняется неравенство h(s) > h(bs) + h′ (bs)(s − sb).
Применяя его к L(x, yk (x), ·) иsb = ∇by (x), получим (для краткости не пишем зависимость от x):L(x, yk , ∇yk ) > L(x, yk , ∇by ) + Lp (x, yk , ∇by ), ∇yk − ∇by .(43)Добавляя и вычитая дополнительные члены, получимL(x, yk , ∇yk ) > L(x, yb, ∇by ) + [L(x, yk , ∇by ) − L(x, yb, ∇by )]+Интегрируя по Gε , получаем:Z+ Lp (x, yb, ∇by ), ∇yk − ∇by + Lp (x, yk , ∇by ) − Lp (x, yb, ∇by), ∇yk − ∇by . (44)L(x, yk , ∇yk ) dx >GεGεоткудаJ(yk ) >ZZL(x, yb, ∇by ) dx + αk,ε + γk,ε ,L(x, yk , ∇yk ) dx − β mes(Ω r Gε ) > J(by) −GεZΩrGεL(x, yb, ∇by ) dx + αk,ε + γk,ε − β mes(Ω r Gε ).(45)(46)Устремляя k к бесконечности, а ε к нулю, получим требуемое.
Подробнее, нам надо доказать, что для любогоδ > 0 найдется k0 , начиная с которого будет J(yk ) > J(by ) − δ. Возьмем δ > 0. Выберем ε > 0 так, чтобы Z δ< ,L(x,yb,∇by)dx(47) 4ΩrGε31это вроде можно сделать, поскольку функция L x, yb(x), ∇by (x) интегрируема.Замечание. Композиция гладкой функции от интегрируемой, конечно, может оказаться неинтегрируемой. Но в нашем случаефункция L ограничена снизу, так что проблемы могут быть лишь с +∞. Но поскольку yb доставляет минимум нашей задачи, тодля неё значение функционала уж точно не +∞ (например, для y ≡ 0 получится конечное значение).Комментарий Юры Малыхина к предыдущему замечанию. Саша Словеснов указал мне еще на один баг: при доказательстве теоремы Тоннели мы в комментарии пишем, что функция L(t, yb, ∇by ) интегрируема, ибо в точке минимума уж точнозначение функционала меньше бесконечности.
Однако при доказательстве теоремы существования мы вовсе не предполагаем, чтоyb — точка минимума. Мы лишь можем считать, что yk → yb, J(yk ) → inf J. Отсюда надо бы ещё вывести J(by ) < ∞.Далее, если нужно, уменьшим ε, чтобы стало β mes(Ω r Gε ) < δ4 . Для найденного ε существует k0 , такое чтопри k > k0 выполняются неравенства |αk,ε | < 4δ , |γk,ε | < δ4 . Это k0 как раз то, что нам нужно.
4. Вариационные неравенства4.1. Строго выпуклые функцииПусть X — нормированное пространство, A ⊂ X, f : X → R — собственная функция. Рассмотрим задачу(f (x) → inf,(1)x ∈ A.Теорема 4.1. Пусть A выпукло, f — выпукла и дифференцируема по Гато в xb. Тогда xb доставляет (абсолютный) минимум задачи (1) если и только если для всех x ∈ A выполненоhf ′ (bx), x − xbi > 0.(2)Установим«⇒».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
