А.В. Фурсиков - Курс лекций по вариационному исчислению (1156151)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М. В. ЛОМОНОСОВАМеханико-математический факультетКурс лекций повариационному исчислениюЛектор — Андрей Владимирович ФурсиковIV курс, 7 семестр, поток математиковМосква, 2006 г.Оглавление1...................44456899991112131414161616172.Задачи оптимального управления2.1. Задача Лагранжа . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2. Задачи оптимального управления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3. Доказательство принципа максимума . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181820213.Теоремы существования3.1. Полунепрерывность . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1.1. Принцип компактности . . . . . . . . . . . . .3.1.2. Некоторые факты выпуклого анализа . . . .3.2. Применение принципа полунепрерывности . . . . .3.2.1. Теорема Тонелли и некоторые контрпримеры3.2.2. Пространства Соболева . . .

. . . . . . . . . .3.2.3. Доказательство теоремы Тонелли . . . . . . ........2324242525252830Вариационные неравенства4.1. Строго выпуклые функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2. Задача с препятствиями . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3. Пространство H −1 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .323232344.Вариационное исчисление1.1. Введение. Классические задачи вариационного исчисления .

. . . . . . . . . . . . . . .1.1.1. Примеры задач вариационного исчисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.2. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера – Лагранжа1.1.3. Решение задачи о брахистохроне . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .1.1.4. Задача Больца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2. Общая теория . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.1. Некоторые факты линейного функционального анализа .

. . . . . . . . . . . .1.2.2. Факторпространства нормированных пространств . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.3. Ещё несколько теорем функционального анализа . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.4. Производная в нормированных пространствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.5. Оператор Немыцкого . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.6. Теорема Люстерника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.7. Теорема о касательном пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.8. Принцип Лагранжа для гладких задач с ограничениями типа равенства . .

. .1.3. Выпуклые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3.1. Выпуклые функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3.2. Постановка выпуклой задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .1.3.3. Теорема Куна – Таккера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2..................................................................................................................................................................................................................................................................................................ВведениеПредисловиеОт наборщикаВ данных лекциях всё ещё возможны опечатки, если заметите, пишите мне на jura05@narod.ru или DMVN(dmvn@mccme.ru). В некоторых местах я чуть-чуть отклонялся от лекций (например, я не требую ∂Ω ∈ C∞ илидаю другое определение H −1 , или видоизменяю формулировку некоторых теорем), впрочем, кое-где это былонеобходимо.

Петитом выделены мои комментарии.Про литературу: она вся относится к частям 1 и 2. Я лично использовал [Г], иногда более подробную [АТФ](которую, кстати, рекомендовал лектор). Замечу, что [ГТ] отличается от [Г] наличием одной дополнительнойглавы, написанной Тихомировым. Про части 3–4 лектор сказал, что они взяты из одной главы книги [ТФ], ещёне вышедшей в печать.Я выражаю благодарность Диме и Мише (DMVN) за TEX-ническую и моральную поддержку, а также исправление опечаток.Юра МалыхинОт редакцииЭто постэкзаменационная редакция данного опуса, версия 1.1. Пока не исправлен глюк в доказательстветеоремы Тонелли.

Подробности см. в комментариях к тексту доказательства.Мы благодарим Алексея Басалаева и Игоря Яковлева за обнаружение опечаток.Последняя компиляция: 1 августа 2006 г.Обновления документа — на сайтах http://dmvn.mexmat.net,http://dmvn.mexmat.ru.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.Условные обозначения и соглашения• C(X) — пространство непрерывных функций f : X → R с чебышёвской нормой.• Ck (X) — пространство функций f : X → R, у которых k-я производная непрерывна. В качестве нормыберётся сумма чебышёвских норм производных всех порядков от нуля до k.• Ck (X; Y ) — пространство непрерывных функций f : X → Y , у которых k-я производная непрерывна. Вкачестве нормы берётся сумма чебышёвских норм производных всех порядков от нуля до k.• AC — пространство абсолютно непрерывных функций.• Значок A ⋐ B означает, что A — компакт, содержащийся в B.• Переменная в нижнем индексе у функции подразумевает частное дифференцирование по этой переменной.Частная производная по вектору — это вектор из частных производных по его компонентам.Литература[АТФ][ГТ][Г][ТФ]Алексеев В.

М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.Галеев Э. М., Тихомиров В. М. Оптимизация. Теория, примеры, задачи. М.: УРСС, 2000.Галеев Э. М. Оптимизация. Теория, примеры, задачи. М.: УРСС, 2002.Тихомиров В. М., Фурсиков А. В. Теоремы существования. Электронная библиотека МехМата.31. Вариационное исчисление1.1. Введение. Классические задачи вариационного исчисления1.1.1. Примеры задач вариационного исчисленияСначала рассмотрим некоторые задачи, являющиеся задачами вариационного исчисления.Задача 1.1 (Изопериметрическая задача, задача Дидоны).

Имеется веревка фиксированной длины l.Требуется огородить ей максимальную площадь. Вариант: огородить максимальную площадь у берега моря(прямолинейного), если концы веревки фиксированы. Математически последняя задача записывается в виде:ZT0x(t) dt → supпри условии−T0ZT0 p1 + ẋ(t)2 dt = l.(1)−T0Задача 1.2. Имеется эллипс с полуосями a и b, и фиксирована точка (x0 , y0 ). Требуется найти точкиэллипса, наименее и наиболее удаленные от (x0 , y0 ).22 (x − x0 ) + (y − y0 ) → inf (sup),22(2) x + y = 1.a2b2Задача 1.3 (Задача о брахистохроне).

Имеются две точки A и B, соединённые жёлобом, по которомускатывается шарик. Надо найти форму жёлоба, при которой шарик скатывается по нему за минимальноевремя (ответ: циклоида, другое название: брахистохрона1). Введём координаты так, что начальная точка Aимеет координаты (0, 0), а конечная точка B — координаты (x0 , y0 ). Пусть жёлоб имеет форму графикаRBфункции y = y(x). Тогда время скатывания будет равно T = √ ds . Получаем задачуA2gy(x) Zx0 p1 + (y ′ (x))2 dxp→ inf,2gy(x)0y(0) = 0, y(x0 ) = y0 .(3)Задача 1.4 (Транспортная задача). Пусть имеется n складов и m магазинов.

На i-м складе находитсяai единиц товара, в j-й магазин нужно привезти bj единиц товара. Пусть dij — стоимость перевозки единицытовара из i-го склада в j-й магазин. Требуется обеспечить товаром все магазины и минимизировать расходына перевозку. Пусть xij — количество товара, перевозимое из i-го склада в j-й магазин. Получаем задачу n mXXdij xij → inf,i=1j=1mXxij 6 ai ,j=1nXxij = bj .(4)i=1Следующие две задачи относятся к оптимальному управлению.Задача 1.5 (Простейшая задача быстродействия). По прямой движется точка единичной массы.Положение точки в момент времени t обозначим через x(t).

Начальные условия x(0) = x0 , ẋ(0) = v0 . Наложимусловие |ẍ(t)| 6 1. Требуется найти траекторию, у которой x(T ) = ẋ(T ) = 0 для некоторого T > 0, и приэтом время T минимально.Задача 1.6. Тело движется в среде с сопротивлением. Найти оптимальную форму тела, то есть такую,чтобы сопротивление среды было минимальным.1Впереводе — «кривая наискорейшего спуска».41.1.2. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера – ЛагранжаЗдесь и далее в первой главе мы будем использовать обозначение T := [t0 , t1 ].Рассмотрим задачуZt1 J(x) := L t, x(t), ẋ(t) dt → extr,t0x(t0 ) = x0 , x(t1 ) = x1 .(5)Предполагается, что L(t, x, ẋ) ∈ C1 (T × R2 ), x(t) ∈ C1 (T ).Определение.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций