Лекции 13-14. Методы решения нелинейных уравнений (1153088)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

ЛЕКЦИИ 13-14МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ10.1 Метод дихотомииЦелью решения системы нелинейных уравнений является вычислениебазисных интенсивностей 0 q для каждого контура q . В качестве базиснойобычно выбирается дуга контура q , выходящая из узла с наименьшимномером i .Анализ соотношений (9.16) и (9.20) показывает, что каждое нелинейноеуравнение в области допустимых решений представляет собой монотонновозрастающую функцию. Вид зависимости n (  ) для первого нелинейногоуравнения примера 9.5 представлен на рис. 10.1.4n31431Рис.

10.1 Зависимость n от λНа рис 10.1 цифрам "1", "3", "4" - соответствуют номера узлов первогоконтура, которые описываются слагаемыми в соотношении (9.21). Знаком обозначена вся правая часть первого нелинейного уравнения.Для решения системы нелинейных уравнений используемметод дихотомии, называемый также "метод проб".итеративныйДля этого представим соотношение (9.20) в канонической форме:f ( q ) = nq -nkiqiq,(10.1)Каноническая форма нелинейного уравнения (10.1) изображена на рис. 10.2.Решению уравнения соответствует равенство: f (  q ) = 0.*f(q)nq*qB(q0)min iiE(q0)(началоинтервала)(конецинтервала)(q,s)Рис. 10.2 Каноническая форма нелинейного уравненияВоснову процедуры решения нелинейного уравнения положены следующиеусловия:1) Если корень уравнения лежит между  =  B B +  E )/2}.и  =  E , то вычисляют f {(Если f {(  B +  E )/2}.имеет тот же знак, что и f (  B ), то присваивают  B = (  B + E )/2 , а  E не изменяют и повторяют процедуру вычисления f (  q ).Если f {(  B +  E )/2}.имеет тот же знак, что и f (  E ), то присваивают  E = (  B + E )/2 , а  B не изменяют и повторяют процедуру вычисления f (  q ).Расчет продолжается до тех пор, пока на шаге s будет достигнуто условие: qs = | fгдеs 1(  q ) - f s (  q )| / f s 1 (  q ) <,- заданная точность вычислений.Ответственным является шагграничных величин: sB0 иs = 0, на котором назначаются значенияsEo .Для рассматриваемого типа нелинейных уравнений для каждого контура qцелесообразно принимать:sB0 =0; и sEo =min i , где  i  q.Пример 10.1.

(см.рис. 9.10) Для контура q = 1, n1=3; 1=1 1/s;3=4 1/s; 4=3 1/s , ) для контура q = 2; n2=4; 2=2 1/s; 3=4 1/s; 4=3 1/s .Точность вычислений  = 6%По соотношению (9.11) вычисляемi:1=0,67; 2=0,75; 3=0,86;4=0,86 .Последовательно для каждого контура q и каждого шага s вычисляем: B (q,s),  E (q,s), f(q,s),  q (s):s=0s=1B(1,0)=0; E(1,0)=1;B(2,0)=0; E(2,0)=2 ;1(1)=0,5; 2(1)=1; f(1,1)=1,26; f(2,1)=1,22 ;B(1,1)=0,5; E(1,1)=1; B(2,1)=1; E(2,1)=2 ;s=21(2)=0,75; 2(2)=1,5; f(1,2)= -10,75; f(2,2)= -22,2;B(1,2)=0,5; E(1,2)=0,75; B(2,2)=1; E(2,2)=1,5;s=3 1(3)=0,62; 2(3)=1,25; f(1,3)=-0,09; f(2,3)=-0,94;B(1,3)=0,5; E(1,3)=0,62; B(2,3)=1,0; E(2,3)=1,25;s=4 1(4)=0,56; 2(4)=1,13; f(1,4)=0,72; f(2,4)=0,22;B(1,4)=0,56; E(1,4)=0,62; B(2,4)=1,13; E(2,4)=1,25.С заданной точностью  = 6% получаем, 1 = 0,59 1/s, 2 = 1,19 1/s.10.2 Метод тангенсов для решения нелинейных уравненийВ настоящее время до реализации ВС можно только примерно предсказатьеё будущую производительность, но организация, принимающая решение опостроении сети, желает получить определённые гарантии качества, так каксоздание ВС требует определённых затрат.Поэтому всё большой интерес проявляется к моделированиювычислительных сетей, так как это позволяет рассчитать затраты на построениеВС до закупки оборудования и оптимально распределить средства.

Так женеобходимо помнить, что каждая организация обладает своей спецификой, иаппаратные средства нужно подбирать под конкретные цели и задачи. Обычнов таких случаях используют хорошо зарекомендовавшие себя решения, но этоне всегда приводит к должному результату.При проектировании ВС разработчику на различных этапах необходимогенерировать варианты проектных решений, рассчитывать функциональныехарактеристики для каждого варианта вычислительной сети. Для повышенияточности определения функциональных характеристик вычислительной сетинеобходимо использовать большое число параметров математической модели,которая описывает функционирование ВС.

Это усложняет расчётныесоотношения и увеличивает объём вычислений. Преодолеть отмеченныетрудностиможнопосредствомсозданиякомплекснойсистемыавтоматизированного проектирования вычислительной сети.В настоящее время имеется широкая гамма отдельных методик, каждая изкоторых позволяет определить свой, достаточно узкий набор функциональныххарактеристик вычислительной сети.Учитывая, что основные требования пользователь ВС предъявляетвременным характеристикам, которые являются основной оценкой качествафункционирования, для определения производительности используется методконтуров, который позволяет определять именно эти параметры ВС.При применении метода контуров для расчета параметров одной изтрудоемких задач (особенно для ВС большой размерности) является решениенелинейных уравнений.При достаточно большой загрузке сети методы дихотомии не обеспечиваютполучение гарантированного решения нелинейных уравнений, так как взнаменателе каждого слагаемого могут входить неизвестные интенсивностипотоков заявок и диапазон области допустимых решений не являетсяпостоянным.

Автором предложен метод тангенсов, который гарантируетсходимость при решении системы нелинейных уравнений.Этапы определения производительности вычислительных сетей, которыерассмотрены в предыдущем разделе предусматривают в соответствии сметодом контуров составление и решение систем линейных и нелинейныхуравнений.Нелинейные уравнения являются частью аналитической модели исоставляются для каждого контура. Совместное их решение позволяетопределить базовые интенсивности 0 для потоков всех контуров сети.Основой составления уравнений является условие, что в установившемсярежиме количество сообщений в одном контуре не изменяется и равно суммематематических ожиданий сообщений в каждом узле данного контура.Тогда, в соответствии с (9.20), для каждого контура можно записать нелинейноеуравнение (10.2): = ∑ при , , = / ( − ),где –количество сообщений в одном контуре, – интенсивность поступления сообщений, - интенсивность обслуживания сообщений в узле.При расчёте характеристик замкнутых систем необходимо использоватькоэффициент ограниченности очереди:Формулировка задачиТаким образом, имеем систему из Q уравнений, ( = ̅̅̅̅̅1, ) с Q неизвестными0базисными интенсивностями .Целью решения нелинейных уравнений является вычисление базисныхинтенсивностей 0 .Решение системы нелинейных уравнений выполняется в 2 этапа.Решение системы нелинейных уравнений выполняется в 2 этапа.На первом этапе для первого уравнения принимаем:0 = 0=1 для всех = ̅̅̅̅̅1, и выполняем решение этого уравнения пошаговым0(1)методом тангенсов и находим для (1)-ой итерации значение =1 ’Далее, для каждого q-го уравнения подставляем фиксированные значения:0(1)0(1)0(1)=1 =2 =−1 для уже найденных интенсивностей, принимаем0(1)0(1)0(1)для всех не вычисленных интенсивностей и находим= +1 = = 0(1)итерации значение .Вычисления 1-го этапа производятся для всех Q уравнений.Второй этап начинается после того как вычислены значения всех0(1)0(1)0(1)интенсивностей 1 , 2 , .

При решении каждого уравнения на каждой0(2)последующей итерации определяется значение интенсивности соответствующей итерации, при этом значения остальных интенсивностейрассматриваются как фиксированные, численно равные значениям последнихитераций этих интенсивностей.Для решения каждого нелинейного уравнения будем использовать пошаговыйметод тангенсов. Для этого представим каждое нелинейное уравнение (10.2) вканонической форме:() = − ∑1 (10.3)Каноническая форма нелинейного уравнения (10.3) изображена на рис (10.3).Решению соответствует корень уравнения при ( ) =0Рис.

10.3 Каноническая форма нелинейного уравнения1) Решение одного уравнения пошаговым методом тангенса:(0)Начальной точкой итеративной процедуры (шаг s=0) является точка =0, вкоторой ( ) = ; (см. рисунок 10.4).(0)На шаге s = 1 из точки ( )= проводим линию (1), наклон которойопределяется коэффициентом −1 , равным отношению к ().(0)(0)()Для s=0, = 0 ; ( ) = ; = (min ||) /2 , где – интенсивность обслуживания сообщений в i-м узле,| |- количество контуров в i-м узле, - количество сообщений в i-м контуре.На каждом s-м шаге этого этапа алгоритма используются соотношения (10.4и 10.5)()(−1) = (−1)Δ(−1)+ Δ(−1)= (10.4)(−1) ()(10.5)В результате вычислений возможна ситуация выхода из зоны допустимыхрешений, признаком этого является значение ( ) < 0.()В этом случае необходимо применять коррекцию :(((−1- если ( ) < 0, то ( ) = ((()(−1)- если ( ) ≥ 0, то = ()(−1)) и = .Сходимость метода контуров поясняется рисунком 10.4Рис. 10.4 Пояснение сходимости итеративной процедуры/2;(10.6)2 Решение системы уравнений2.1 Принимаем0(0)=1=0(0)=2(min ||1 )⁄= … =.2Далее решаем все уравнения в соответствии с п.

1, и находим:0(1)0(1)0(1)=1 , =2 , =3 ,…….2.2 Последовательное решение каждого уравнения:0(1)0(2)- берём уравнение для первого контура фиксируем 0=2 = =2 …. и ищем =1в соответствии с п. 1;0(1)- берём уравнение для второго контура фиксируем 0=1 = =1 ….0(2)=2и ищемв соответствии с п. 1;- продолжаем для всех контуров выполнять итерации2.3 Циклически выполняем п.

2.2 пока не будет достигнута точность .()Условие окончания цикла:() −()100% < Алгоритмы метода представлены на рис.10.5 и 10.6В блок "начальные установки" входит, нахождение минимума из всехвозможных интенсивностей обслуживания, что является ограничением по  длянахождения первого тангенса.Далее проверяем, для всех ли уравнений из системы найдено решение,- если для всех, то надо проверить достигyнута ли требуемая точностьрешения, если да – то конец решения, если нет – то решаем заново;- если не для всех, то находим  для следующего уравнения, при этомизменяется только , соответствующее данному уравнению, остальные фиксируются.При решении одного уравнения, сначала вычисляется первый тангенс поформуле: tg ni,min(  i )который численно равен на начальному значениюкоэффициента К, определяющий крутизну первого шага( tg  K ).1Начало2начальные установки3Нет4НетДаcontur <contur_countf=065точностьдостигнута прирешении всехуровнений?НетДа7Расчёт нелитейныхуровненийResult_l [contur]Redult_frase [contur]contur = contur + 1Нет8Да(result_l res_l_old) / result_l< 0,05910res_l_old = result_lf=111КонецРис.10.5 Алгоритм метода тангенсов.Далее рассчитывается  по формуле   ss 1F (s 1 ),Kгде s-1 – значение, полученное на предыдущем шаге.Да()По полученному  рассчитывается значение функции ( )Далее идёт проверка, не нарушены ли границы, в которых должно бытьрешение, т.е.

должно выполняться условие 0 < F(s) < ,если нарушаются границы, то К увеличивается в два раза, и посравнению со значением предыдущего шага, наклон прямой становиться в двараза круче. Далее шаги производятся с новым углом наклона.При достижении указанной точности расчёт одногопрекращается и происходит переход к следующему уравнению.уравненияАлгоритм расчёта одного нелинейного уравнения (блок 7) приведён на рис.10.6.1Начало2вычисление новой по tg3вычисление значенияфункции5Нетнарушеныграницы?Да7Нет6достигнутаточность?расчёт нового tg =_oldf() = f(_old)Да8КонецРис 10.6 Алгоритм расчёта одного уравненияПример 10.2В качестве примера рассмотрим простую ВС с тремя узлами и двумязамкнутыми контурами.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций