Лекции 3-4. Расчет кратчайших древовидных структур произвольной конфигурации (1153083)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

ЛЕКЦИИ 3-4РАСЧЕТ КРАТЧАЙШИХ ДРЕВОВИДНЫХ СТРУКТУР ПРОИЗВОЛЬНОЙКОНФИГУРАЦИИ.3.1. Расчет кратчайшей древовидной связной сетиЗадача определения структуры древовидной конфигурации, которую решилПрим Р. К. [16] может быть сформулирована следующим образом.̅̅̅̅̅Задано: множество узлов { }, i = 1, проектируемой сети и полный графсвязей , которыми могут быть соединены узлы сети.

Требуется определитьдревовидную связную сеть, которая имеет наименьшую суммарнуювзвешенную длину.Математическая формулировка задачи отыскания кратчайшей связывающейсети, соединяющей N узлов, может быть записана в следующем виде: = min ∑=1 ∑=1 (3.1)где — взвешенная, например, соотношениями (2.4) - (2.6) длина связимежду i -м и j-м узлами; = {1, если ∈ }0, если ∉ (3.2) — искомые булевы переменные.Задача, определенная соотношениями (3.1), (3.2), относится к классулинейных задач с целочисленными булевыми переменными и может бытьрешена одним из методов исследования операций.Однако решение поставленной задачи наиболее эффективно может бытьосуществлено с использованием алгоритма Прима А.К.

[16]. В основуалгоритма построения кратчайшей связывающей сети положены два принципа:А. Всякий изолированный узел соединяется с ближайшим соседом(ближайшим соседом рассматриваемого узла является тот, которыйнаходится от рассматриваемого на расстоянии, не большем, чем любойдругой узел).Б. Всякий изолированный фрагмент соединяется с ближайшим соседомкратчайшей дугой (изолированный фрагмент — это подмножество узлов,связанное дугами, но не охватывающее всех заданных узлов.Рассмотрим подробнее процедуру расчета, реализующую алгоритм Прима.1. Начало расчета, описание всех переменных.2.

Ввод исходных данных N – количество соединяемых узлов;М – матрица взвешенных расстояний размерностью N X N, в которой элементы = ∞; Q= 0 – значение целевой функции; Ф = {0} - список узлов, входящихво фрагмент; ‖ ‖= 0 - матрица результатов расчета структуры.̅̅̅̅̅3. Просматривая исходную матрицу М по строкам и столбцам = 1,̅̅̅̅̅ = 1, , определяем минимальную дугу ,4. Заносим в список Ф узлов, входящих во фрагмент, номера узлов k,l,соответствующих индексам строк и столбцов найденного элемента .Элемент матрицы = = 1. Вычисляем текущее значение целевойфункции Q = Q+ .5.

Вычеркиваем из исходной матрицы М те столбцы , которые вошли всписок Ф узлов, входящих во фрагмент, и получаем скорректированнуюматрицу 1 .6. Из скорректированной матрицы 1 выделяем строки, номера которыхвходят в список Ф. Просматривая указанные строки поэлементно,находим минимальный элемент .7. Заносим в список Ф узлов, входящих во фрагмент, номер столбца l,найденного минимального элемента , соответ-ствующих значениям = = 1.

Вычисляем Q = Q+ .8. Если число элементов |Ф|, записанных в списке Ф узлов, входящих вфрагмент, равно числу узлов N , то переходим к п. 9, если |Ф|< N , то к п.5.9. Вывод результата расчета матриц Х и значения целевой функции Q.Несмотря на простоту, процедура позволяет отыскать решение,обеспечивающее достижения глобального оптимума, что корректно доказано в[16].Пример 3.1. По п.п.

1 и 2 задана исходная матрица М размерностью 5х5:123451 ∞ 37 29 75 782 37 ∞ 21 61 42M= 3 29 21 ∞ 49 524 75 61 49 ∞ 575 78 42 52 57 ∞3. 23 =21.4. Ф={2,3}; 23 = 23 =1; Q=21.5. Вычеркиваем 2- и 3-й столбцы матрицы М и получаем 1 .6. 31 =29.(минимальный элемент 2- и 3-й строк матрицы).7.

Ф={2,3,1}; 31 = 13 =1; Q=50.8. |Ф| = 3, переходим к п.5.5’. Вычеркиваем 1-3-й столбцы М.6’. 25 =42.7’ Ф={2,3,1,5}; 25 = 52 =1; Q=92.8’ и 6’’. 34 =49……7’’. Ф={2,3,1,5,4}; 34 = 43 =1; Q=141.8 и 9. Результат1 2 3 4 51 0 0 1 0 02 0 0 1 0 1X=3 1 1 0 1 04 0 0 1 0 05 0 1 0 0 0Рассмотренная процедура позволяет получить за конечное число шаговкратчайшую связанную сеть, причем принцип А реализуется на 3-м и 4- мшагах, а шаги 6-8 реализуют принцип В.Приведенный пример носит иллюстративный характер. Разобранные папрактике структуры имеют большую размерность, однако для определениякратчайшей древовидной структуры приведенная процедура может бытьуспешно использована.Самоконтроль знанийКонтрольные вопросы1.

Привести вербальную постановку задачи определения кратчайшей связнойсети (КСС).2. Как в математической постановке задачи определения кратчайшей связнойсети учитывается требования связности и древовидности?3. Какие варьируемые переменные используются в математической модели икак они представлены в алгоритме решения4. Почему в матрице взвешенных расстояний М принимается = ∞ ?5.

Сформулируйте и поясните, в чем состоят достоинства и недостаткиалгоритма Прима?.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций