Спилкер Дж. Цифровая спутниковая связь (1979) (1152062), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Выражение для фазовой ошибки при применении узкополосного ограничителя имеет вид 1437в1 Р(е)= 2 е )1+ ~l 2 созе[1+ +ег1()/ — созеЛе"" ' '), (12.136) где а/2 — отношение сигнал/шум, пересчитанное к .полосе 2В тракта промежуточной частоты. Выражение (12.136) может быть упрощено для больших значений отношения сигнал/шум в в — ва ег1х==)е ' г1/ж1 —, х))1. (12.137) о В этом случае плотность вероятности фазовой ошибки (12.136) асимптотически эквивалентна плотности вероятности фазовой ошибки для системы ФАПЧ: Р(е) = созе(е пи" ') ж Р 2 и~а — а вне (12.138) )' 2 и/а 2 Таким образом, при больших отношениях сигнал/шум и одинаковых величинах шумовых полос статистические характеристики сравниваемых систем одинаковы.
Одно из основных преимуществ системы ФАПЧ вЂ” ее способность отслеживать изменение параметров сигналов в широком диапазоне изменения их несущих частот, вызванного, в частности, доплеровским смещением частоты н нестабильностью частот передатчика и гетеродинов приемника при обеспечении малого значения В„,. Узкополосный ограничитель, с другой стороны, должен иметь достаточно широкую полосу пропускания, чтобы обеспечить захват сигнала, имеющего доплеровское смещение частоты. Другим преимуществом системы ФАПЧ является простота технической реализации устройств, имеющих малые В, для достижения которых в узкополосных ограничителях возникает необходимость применения высокодобротных избирательных систем.
Дисперсия фазовой ошибки системы ФАПЧ. Используя выражение (12.134) для Р(е), получим соотношение для дисперсии фазовой ошибки синхронизируемого генератора системы ФАПЧ 1-го порядка: ог 1 С авовв ~ е'е с(е. 2и 1в (а),) Применяя разложение в ряд с помощью формулы Якоби — Энгра, перепишем это соотношение к виду 342 1 !оЬ ( )г-п)'г„( ) )а 2н!а(а) .,) — н гг=у и = — +4вг ( ) "() з+ ~ !() й дисперсия оз, максимальна при а=О и равна при этом от=па/3=3,29 рад'. (12.139) Пагоощоющио гпоииию Опгоуо огиибиа Рлс.
12.19. Типовое изменение фазовой ошибки во времени 343 На рис. 12.18 построены графики зависимости дисперсии фазовой ошибки от отношения мощности шума к мощности сигнала для случая, когда оза — — 1/а. Срьбв слежения синхро- йб низируемых по фазе генераторов. Срыв слежения син- ъ хронизируемых по фазе генераторов системы ФАПЧ имеет место, когда величина ~ д' Г ,динамической фазовой ошибки )е! )2п.
Это явление ил- ао люстрируется на рис. 12.19, где показан случай, когда и оу величина фазовой ошибки щ ' превышает значение 2п в у/а момент 1 = 1ь при условии, что ее начальное значение а- огииошгииг гигиап/шую е (0) = О.
Определим плот- Рис. !2.!В. Зависимость дисперсии фазовой ность вероятности б/ (е, 1), ошибки системы ягйпч от отношения сиг- характеризующую статисти- нал/шум на входе (по мощности): туеекие характеристики фа- — точное значение; — — — при линейзовой ошибки (ее случайные ной модели траектории) на интервале ее изменения, где не наблюдается срыв слежения. На рис. 12.19 поясняется характер изменения этой плотности вероятности во времени.
Так как при наличии шумов по истечении определенного времени процесс срыва слежения обязательно будет иметь место, то для (12.143) (12.! 44): Т=~ — 1 ~ Ш=.— (ф(1)! +~ф(1)й, (12.145) Ж ~е где последнее равенство получено в результате выполнения интегрирования по частям. Так как ф(0) =1 и ф('1) ни при каком значении аргумента 1 не превышает соответствующего значения функции т Нем (в противном случае второй интеграл имеет бесконечно большую величину), имеем ф(1) ~" =О.
Тогда в соответствии с (12.143) и (12.145) ~о среднее время до срыва слежения будет определяться как 0 л ел Т=~ф(т)й=~е(т ~ д(е, 1)с(е. о о — )л Определим интеграл вида (12.146) Я(е) с 4)д(е, 1) ог', 344 (12. 147) интеграла от плотности вероятности справедливо соотношение ел ~ д(е, 1)йе-~0 при 1-+ оо.
(12.140) — 2л Плотность вероятности д(е, 1) должна удовлетворять уравнению Фоккера — Планка (12.122) = — (АКз(п ед(е, У)]+ ' ', (12.141) д1 де 4 дее где начальным условием является д(е, 0) =б(е). Для определения среднего значения величины 1, положим, что значения е=2п; — 2п соответствуют поглощающим границам.
Таким образом, граничными условиями являются д(2п, 1)=д( — 2п, г)=0 для всех й (12.142) Вероятность того, что точка, перемещающаяся по случайной траектории, не поглощена, равна ел 0 < ф(1) - ") д(е, 1)йе < 1. Соответственно вероятность срыва слежения составляет Ф(4) а 1— — ф(1). Вероятность срыва слежения на интервале (й 1+де), или вероятность первого достижения границ на этом же интервале тогда равна 1нп ф(~1 — 4 «+а~) дФ д4 = — й = — — й.
(12.144) ес-о о Е ш от Среднее время до срыва слежения Т или среднее время достижения границ определяется путем усреднения параметра 1 по тогда Т= ) Я(е)4(е, где Я(2п) =Я( — 2и) =О. (12.148) Выполняя интегрирование уравнения Фоккера — Планка (12.141) по параметру /, получим уравнение для (,) — е(/=д(е, со) — 4/(е, 0) = — (АКяпеЯ(е))+ — ' де )ее Ке де Я (е) д1 — ' ' де 4 де 2 о о (е) (12.149) Интегрируя в свою очередь обе части уравнения (12.149) по е, получим С вЂ” и(е) =АКяпе(;1(е)+ — ' УВКВ дО(е) 4 де (12.150) 345 где и — единичная ступенчатая функция; С вЂ” постоянная интегрирования.
Используя методику интегрирования дифференциального уравнения, приведенную в 12061, получим решение дифференциального уравнения 1-го порядка: е я еез В Я(е)=Ре ""+ ) е ""'"[С вЂ” и(х))4(х, (12.151) У где а л 4А'/Л', АК =- АВ/Уо В, отношение сигнал/шум для замкнутой цепи; у ь Уе /(2/4 =4 В /а величина, пропорциональная спектральной плотности шума. Используя граничные условия (12.148) и полагая Р=О и С= 1/2, в соответствии с (12.!51) получим е еа ВОВ Е Я(е) = ) е ""'") — — и(х)) 4(х. (12.152) 1 2 — 2Л Вид функции (1/2) — и(х) поясняется графически на рис. 12.20а.
Тогда (12248) преобразуется к виду ол 2л е 1 Г Г Г! Т= ~ Яе)В/е= — ) е(е ) ехра(созе — созх) ) — — и(х)~г(х= 2т .),) ) 2 — 2Л вЂ” 2л — 2л 2л ел 1 — ~ б е) ехра(созе — сов х) е(х. (12.153) 2т — 2л е Методика интегрирования и области интегрирования поясняются иа рис. 12.20б. Используем далее для экспоненциальной функции произведения двух аргументов разложение вида и е ""=яо(а)+2~~у ( — 1)" я'„(а)созна, (12.154) л 1 интегрирование которого должно осуществляться на интервале ( — 2л, 2л). Тогда в соответствии с (12.154) в (!2.153) только ин- т- ги е Е н-е перененнпн г денннннн япиаЮн Рис. !2.20. К графическому интегрированию Я(а) в виде вы- ражения (12.162): а — вид функции 1/2 — и(х); б — область интегрирования а) теграл от то(а) имеет ненулевое значение, и выражение для среднего времени до срыва слежения имеет вид 2л тл 2 2 1 с Г и )о(л) (2л)а л~л)о(о) Т= — )г(в~ 1оа(а)г(а= — — = ж у,),) О т 2 2Вю о е лаа е евк т л евв (12.155) т.
е. для больших значений отношения сигнал/шум (а)>1) имеем ТВ ж — е~ 4 Таким образом, среднее время до срыва слежения возрастает по экспоненциальпому закону с параметром 2а. Этот факт имеет важное значение в цифровых системах связи, в которых явление срыва слежения приводит к ошибочному приему отдельных символов. Результаты экспериментального исследования приема двухфазных и четырехфазных ФМ сигналов при использовании для их обработки систем ФАПЧ показывают, что среднее время, в течение которого имеет место срыв слежения, составляет (2 — 3)т, где т — постоянная времени системы ФАПЧ. При приеме двухфазных ФМ сигналов это соответствует отношению сигнал/шум )16 дБ [3441.
.Если система ФАПЧ имеет достаточно узкую шумовую полосу, то это приводит к неправильному приему нескольких символов и вызывает возникновение пакетов ошибок. 12Л. КВАЗИКОГЕРЕНТНЫИ ПРИЕМ ДВУХФАЗНЫХ ФМ СИГНАЛОВ Материал предыдущих параграфов был посвящен определению и анализу плотности вероятности фазовой ошибки системы ФАПЧ. Ниже оценивается влияние фазовой ошибки на качество восстановления несущего колебания и величину вероятности ошибочного приема символа. В частности, определяется вероятность ошибки для двухфазной ФМ цри использовании приемника с со- 346 гласованным фильтром в случае, когда фаза опорного колебания известна не полностью и характеризуется некоторой плотностью вероятности, которую можно связать с плотностью вероятности фазовой ошибки системы ФАПЧ.
Пусть на входе приемника при приеме двухфазных ФМ сигналов наблюдается аддитивная смесь сигнала и белого гауссовского шума: з(!)+и(!)=Рл2А(!)з!п(ше(+8)+п(!), (12.156) где А(!) = +А — информационный дискретный параметр, а а('!) — шум, имеющий нулевое среднее значение и одностороннюю спектральную плотность мощности !«7О. Предположим, что нреюиоитор о е дшодноо" ри ° оюон ее доли ннмл синдаиод он! л теашссв« д.о« олорнае нерезонно Рис. !2.2!. Функциональная схема различения сигналов с двухфазной ФМ при наличии фазовой ошибки «р .
Скорость иерелачи символов !в=«)Т; Ру — решающее устроаства г т с[и о б(! — н) = Л!е Т 2 ( 12. 159) О О 347 сигнал детектируется с помощью опорного колебания при наличии фазовой ошибки «р (см. рис. 12.2!). Представим шум в виде и (!) =- 3т 2 п,„(!) з! и (ше г+ 8+ «р,) + + ) 2 пса (!) соз («О, ! + 8+ «ре), (12. 157) где п„(!) характеризуется односторонней спектральной плотностью Лгс. Обеспечивая интегрирование сигнальной и шумовой компонент и взятие выборок через интервал времени Т, равный длительности элементарного символа, получим на выходе для АС д)=-ьА т -';т тгьт ге = ~ [А сон«ус+ пол (!)1 Й = АТсоз «ра+ ~ п,„(!) с[1, (12.158) тт е, где величина фазовой ошибки «р,('!) практически постоянна на интервале ('го !«всТ); !« — момент времени, соответствующий началу элементарного символа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
