Спилкер Дж. Цифровая спутниковая связь (1979) (1152062), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Определим шумовую компоненту п =п,„созО,+п„з(пО,=/2(п,, и„, 0,)=пье(п„„, и„). (12.100) Для того чтобы выразить совместную плотность вероятности р('п„ пь, 02) через плотность вероятности р(п,„, и, 02), предположим, во-первых, что параметр О, независим от п,„и и„. Это допущение справедливо, когда шум на входе системы является белым, а система ФАПЧ представляет собой малоинерционное звено и не является источником существенных задержек сигналов. Таким образом, имеем р(п,„, и„, О,) =р(и,„, и„) р(02) Ввиду того что п,„и и,„есть гауссовские независимые случайные величины, для совместной плотности вероятности справедливо соотношение — ( л2 +л2 )/2Ф р(п.л, и„, О,)=, е '" " р(О,). (12.101) (У ая в)' ния с(/з!!.
При этом дифференциальное уравнение для фазы синхронизируемого генератора имеет вид зон (О = —.з =Кто(з) [АКзз!пе(1)+Капе(1)], (12.104) где в — фазовая ошибка. Введем эквивалентный коэффициент усиления К а К1КзКз, тогда приведенное дифференциальное уравнение упрощается: О, = и О, = КР (з) [А з!п и + и,]. (12.105) Следует заметить, что в приведенных выражениях отсутствует параметр 1, что обусловлено необходимостью упрощения формы за'писи. Так как фазовая ошибка в а 01 — Оз и в=01 — Озо можем записать дифференциальное уравнение для фазовой ошибки: в=Ох — КР(з) [Аз!па+а,].
(12.106) Это уравнение определяет зависимость производной фазовой ошибки от производной фазы О, принимаемого колебания, величины фазовой ошибки а и шума и,. Нелинейная модель системы ФАПЧ, статистическая динамика которой описывается дифференциальным уравнением (12.106), представлена на рис. 12.16. Рас- аа нам Рис. !2.1б.
Нелинейная модель синхронизируемого по фазе генератора при воздействии шумов: З вЂ” оценка аначеннн фазы сматривая конкретный пример, положим Р(з)=1 и 0~=0. При этом для фазовой ошибки справедливо нелинейное дифференциальное уравнение 1-го порядка: в = — К[А з!п в+ лн]. (12.107) Определение Оз при малом и и произвольном Оь Предположим, что фазовая ошибка мала, т. е. [е[«п/2. Тогда и!па е, и вместо уравнения (12.105) имеем линейное дифференциальное уравнение О,= О,=КР(з) [А(О,— О)+лн], (12.108) или в операторном виде для Оз АКР (з) + з ! А (12.109) Коэффицггент передачи замкнутой цепи регулирования [см. (12.33) ] // ( ) АКР (з) АКР(н) -(-з 337 (12.110) (12.11 Ц ьс +) Кл,(с)с(с.
(12.1 14) о Так как л,ььйс(0,"оо), т. е. имеет гауссовскую плотность вероятности и характеризуется нулевым математическим ожиданием и дисперсией по, т. е. л,(!) =О, то имеем Л е = — КА Л с яп е. (12.115) В соответствии с (12.112) для диспврсии фазовой ошибки Ле~ по- лучим гьс с ьс '1 с (Ае)с= ~~ ес(с = ] — К(Аз!пе+л,)с(т~, (12.116) о о .а шумовая полоса в соответствии с данными табл. 12.3 СО Вш — — ~ ] Н (1 ос) ]о с(с'= —. 4 о Таким образом, уравнение (12.109), записанное в операторном виде, упрощается О, Н(з)~Ос+ л н характеризует линеаризованную модель системы ФАПЧ при малых значениях фазовой ошибки.
Раслределение вероятности е. Как показано ниже, статистиче'ская динамика системы ФАПЧ при воздействии на ее вход белого гауссовского шума достаточно точно моделируется марковским процессом. Так как изменение во времени плотности вероятности любого марковского процесса описывается уравнением Фоккера— Планка, будем использовать уравнение (12.95).
Определим условные моменты фазовой ошибки как А (е) =]пп — Ав и А,(е) =11ш(Ле)'. ьс-о ьс я-о Тогда уравнение Фоккера — Планка, описывающего изменение во времени плотности вероятности фазовой ошибки е, будет иметь вид дС де 2 део = — ]Ас(е) р(е, !)]+ — — ]Ао(е) р(е, !)]. (12.1!3) Если коэффициент передачи фильтра системы Р(з)=! и начальная частотная расстройка Ос=0, то исходя из (12.106) и изменив порядок выполнения операций интегрирования и статистического усреднения, получим выражение для среднеквадратической фазовой ошибки для достаточно малого интервала усреднения сьс: ьс ьс А е ь ] е с(! = ] ] — КА яп о+л,] с(( = — КА (з!п е) А с + о о (Д е) с = (КА) о (Д 1)' япо в+ 2К А Д ! з!п е ~ и, (!) с!с + о ьсьс +К' ) ') п„(1)и,(и)с((с(и.
(12.117) о о Так как и,(!) является белым шумом, то корреляционная функция этого процесса определяется как и,(!)п,(и) =)с„(1 — и) = — '6(( — и) (12.118) в предположении, что 1о существенно больше шумовой полосы системы ФАПЧ, а шумовая компонента в (!2.1!7) ьсьс ьсьс (де)о ь Ко~ ~ п,(Е)п,(и) ЖсХи=Кс ~ ~ — об(У вЂ” и)с(с'с(и= о о о о ьс Ко ссс =К Г м (!=к — Уд. 2 2 о (12.1!9) Таким образом, среднеквадратическое значение фазовой ошибки, определяемой в соответствии с (12.117), (Д е) ' = (К А Д 1) ' яп' е + — ' Д 1.
2 (12.120) С учетом соотношений (12.112), (12.1!5) и (12.120) для условных моментов получим выражения А, (е) = — КА яп е и А, (е) = К'Жо/2, (12.121) Таким образом, уравнение Фоккера — Планка преобразуется к виду — = — [)с(е, !)КАз!пе)+ — КсЖо — р(е, с), (12.122) др(о, С) д . 1 дс дС до 4 дес где сомножитель япе означает периодичность функции по отношению к аргументу е. На рис. 12.17 иллюстрируется изменение плотности вероятности р(е, !) во времени в соответствии с уравнением Фоккера †План (12.122). Моды плотности вероятности имеют место при значениях фазовой ошибки, кратных 2п, так как функция, определяемая в соответствии с (12.122), периодична относительно е.
Эти моды характеризуют явление срыва слежения. Определение р(е) е установивсиелсся режиме. В установившем.ся режиме рассматривают плотность вероятности р(е) для всех возможных значений е, в том числе для тех,когда имеет место явление срыва слежения (режим вхождения в синхронизм наблюдасеься для значений 2пп). Для получения аналитического выраженна для этой плотности вероятности следует пренебречь неодно- 339 значностью вследствие периодичности фазовой ошибки и рассматривать при этом плотность вероятности вида Р(е) л ~~ р(е+2пп). И= — а Так как функция, определяемая в соответствии с уравнением Фоккера — Планка является пернодичной относительно е, то в предпо- (12.123) Оаооааа ошоаоа о лсо,аа> Рис.
/2. / 7. Типовое изменение плотности вероятности Р( е, /) во времени (12.127) ложении, что р(е) является решением уравнения (12.!22), можно заключить, что Р(е) также является решением этого же уравнения. Следует заметить, что Р(е) имеет период 2п рад. Ограничиваясь интервалом — п<е(п и полагая граничные условия Р(п)=Р( — и) и ~Р(е)а(е=1, — и а также учитывая то, что в установившемся режиме (/-о-со) др/д/- О, (12.125) преобразуем (12.!22) к виду Уо Ка да Р (е, /) д (Р (е, /) КА Нп е) при /-о.
со. (12.126) 4 два де Интегрируя это уравнение по е, получим — = — Р(е, /) КАз!не+С„ л/одв дР(е, /) 4 де где Со — постоянная интегрирования. Определим отношение сигнал/шум, пересчитанное к полосе пропускания замкнутой цепи регулирования системы ФАПЧ как Аа А Ро ал (12.128) /Ча (КА/4) д/о Вш Рш 340 где Р, — мощность сигнала на входе системы; КА/4 — шумовая полоса В замкнутой цепи регулирования; Р,„— мощность шума в пределах полосы В . Тогда дифференциальное уравнение (12.127) упрощается 1472ь]: дР(е, 1)/да= — Р(а, 1) аз)па+С. (12. 129) Найдем решение этого дифференциального уравнения для граничных условий Р(н) =Р( — и) (12.
130) и постоянной Сь — — О. Тогда для плотности вероятности из (12.129) получим Р ( ) В весов е (12.131) Р(е) ж е "'ч, сс)~ ~1, У2 и/а (12.135) анализ которого показывает, что фазовая ошибка имеет плотность вероятности, близкую к гауссовской с дисперсией 1/а=о,'. Фазовая ошибка при использовании узкополосного ограничителя. Оценивание фазы несущего колебания при наличии шума на входе может быть также выполнено с помощью каскада, представляющего собой последовательное соединение полосового фильтра и узкополосного ограничителя. Ниже приводятся результаты сравнения плотностей вероятности фазовых ошибок для системы ФАПЧ и схемы, использующей узкополосный ограничитель, 341 Определим постоянную В из условия нормировки ) Р(а) де=1.
Подставляя (12.13!) в (12.132) и выполняя интегрирование, имеем В ~е"'"'с(а=1=В [2п1ь(а)). (12.133) — л Таким образом, В=1/2п1ь(а). Плотность вероятности фазовой ошибки системы ФАПЧ. Используя (12.131) и (12.133), получим выражение для фазовой ошибки е в установившемся режиме для системы ФАПЧ 1-го порядка 1.' а Р (е) = е""", (12.134) 2 я )0 (а) Для больших значений эквивалентного отношения снгнал/шум на входе системы а справедливо приближенное соотношение 1ь (а) ж е"/ )т 2 и а. Тогда плотность вероятности фазовой ошибки определится из приближенного равенства .при наличии на входах аддитивной смеси синусоидального колебания и гауссовского шума.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
