Спилкер Дж. Цифровая спутниковая связь (1979) (1152062), страница 62
Текст из файла (страница 62)
12.3 приводятся аналитические выражения для коэффициентов передачи фильтров, коэффициентов передачи замкнутых систем ФАПЧ, их собственных частот, коэффициентов демпфирования и шумовых полос систем ФАПЧ 1, 2 и 3-го порядков. Лннеаризованная модель ФАПЧ наиболее часто используется при анализе ее характеристик в отсутствие шумов и при больших асличинах отношения сигнал/шум. Эта модель при данных допущениях является достаточно точной, так как по сравнению со случаем отсутствия шумов фазовые ошибки системы не превышают О,1 рад, Квазилинейные модели систем ФАПЧ.
Для того чтобы достаточно точно оценить характеристики системы ФЛПЧ при воздействии шумов, необходимо использовать ее нелинейную модель и Соответствующий математический аппарат, приведенный в 9 12.5. Однако в ряде случаев оказывается целесообразным применение квазилинейного приближения, в частности, для оценки величины, характеризующей уменьшение эффективного коэффициента усиления системы, при увеличении уровня шума.
В [57) введено понятие эквивалентного коэффициента усиления, как наиболее точного линейного приближения нелинейной функции (по критерию минимума среднеквадратической ошибки). В соответствии с этим 318 так как 2а!а =АК. Односторонняя шумовая полоса замкнутой системы ФАПЧ х» с» Ы !! х о 8 И + + Ф" "!" «~ ссл ~е + + «~ «Л З О1 О» С» э «» О» с,»" з Ы !! !! з! л$ з з сс + « з з з ! ъ + + х з !сс + а з + + з + с « э + « 8« Ра со !Р !сд и « + с» 1 316 й о 2 Й » 3 х х О «З о' х» х "1 О,З о. «' х с» з хх х Ф ел ех о „х а о а» «а л ххх хх' Ео Хх х « х х «х х х хо хо *а е* ее а а— о ,",.с 'с ех о ы ОЛ сс з Я ФАл сс + э »С з + « з з ! + з з з !сч + з ! « з + + + »« э з ! з с» з з !со + Л + о» « з !сч + „« з определением эквивалентный коэффициент усиления Кана есть величина, минимизирующая функцию Е(КЭ1пе — К„,е)'.
Если фазовая ошибка является гауссовской случайной величиной, то Кв„в= =Ке-"соз во, где Ее=сов ео и часе=о' — соответственно математическое ожидание (в данном случае смещение) и дисперсия фазовой ошибки. На рис. 12.6 приведена квазилинейная модель системы ФАПЧ, с помощью которой поясняется, что за счет коэффициента К„, эф- Рис. !2.б. Квазилинейная модель системы ФАПЧ, построенной по принципу эквивалентного усиления, зависящего от среднего значения ео и дис- персии а' фазовой ошибки. Эквивалентное ввавекне фалы на входе ЕНГ) + — оа е вцпе мов е, фективная спектральная плотность мощности шума на входе системы может увеличиваться от Но до й(о/К,„,. Таким образом, средиеквадратическая фазовая ошибка, составляющими которой являются ошибки слежения и шум, равна о о а'=~Ое(ш)~1 — Н(1(ш) вт(~+ ~ Мо ~ ~ ~Н((от)~аг(~, (12.40) г Квкв о о где коэффициент передачи замкнутой системы Н(1ш) зависит ог Квн„а 6е (ш) характеризует спектр фазо-модулированного сигвала.
В [117) показано, что существует максимальное значение параметра Кь удовлетворяющее соотношению (12.40). Для рассматриваемой модели системы ФАПЧ соответствующий уровень шума определяет порог модели. 12.4. СЛЕЖЕНИЕ ЗА ФЛУКТУАЦИЯМИ ФАЗЫ КОЛЕБАНИЯ СИНХРОНИЗИРУЕМОГО ГЕНЕРАТОРА Система ФАПЧ, используемая для слежения за несущей, должна иметь достаточно широкую шумовую полосу для обеспечения слежения с высокой точностью (среднеквадратическая фазовая ошибка о, должна быть (О,! рад). Это необходимо для получения высокой степени совпадения фаз колебаний, что обеспечивает реализацию когерентного детектирования. для заданного рпектра фазовых шумов можно определить необходимую шумовую полосу системы.
ясно, что слишком широкая полоса Вв, 3г7 приведет к существенному ухудшению характеристик системы ФАПЧ за счет возрастания уровня теплового шума, и с этой точки зрения целесообразно уменьшить В . С другой стороны, при заданной шумовой полосе В можно определить ограничения, накладываемые на спектральную плотность мощности фазовых шумов.
Эти о!раничеиня вызваны тем, что фазовые шумы есть следствие воздействия следующих шумовых компонентов: фликкер-шума, частотного белого шума н фазового белого шума. Рассматриваемый здесь шум является фазовым шумом несущего колебания на входе системы ФЛПЧ. При реализации метода удвоения частоты при восстановлении несущей (для двоичных сигналов ФМ) уровень фазовых шумов увеличивается в 2 раза, при четырехкратном умножении частоты (при демодуляции четырехпозиционных сигналов ФМ) — в 4 раза.
Пусть односторонние спектральные плотности мощности фликкер-шума, частотно~о белого шума н фазового белого шума равны соответственно 6о,()), 6о оЯ и 6о,(1). Тогда суммарная спектральная плотность мощности 6 ()) =6 ° 0+6 Д1+6 Ц~= ~ + ~,' +й, 1)0 (1240 Ошибки слежения для системы ФАПЧ вычисляются для каждой из этих компонент в отдельности. Ошибка слежения системы ФАПЧ в целом определяется выражением О а'=- )6 (1)(1 — Н(!го) о(1'=а' +а,',+а'„, (12.42) о где Н(!го) — коэффициент передачи замкнутой системы ФЛПЧ.
Тогда среднеквадратическая фазовая ошибка для систем!л ФАПЧ 2-го порядка, имеющей коэффициент затухания $=1/~' 2, будет ао .— ооН ооо о !1 — ~~>(~.)о)о+ !21(м(~,„))о о СО 4 1 К» голо„«оо Ко !' х Лх (! 2.43) 2я .) !1 — (ояо)о)о!о +2 (го/ео)о 2лщо,) 1 +о4 о о где х зов!а . Лнализ н вклад каждого из этих компонентов фазовых шумов выполняются в нижеследующих параграфах. Эффект фликкер-шума. Рассмотрим, во-первых, компоненту фазовых шумов вследствие влияния фликкер-шума, имеющего одностороннюю спектральную плотность вида 6, ()) = й,!)о при ))О. (12.44) Рассмотрим систему ФЛПЧ 2-го порядка, характеризующуюся коэффициентом демпфирования я=1/3~ 2 и ошибкой слежения ( 1 — Н (! го)(о = (12.45) 1+ (оо(<оо) 3! — шп, (! 2.46) 1 +ха 2л (12.47) дисперсия фазовой ошнбни системы ФАПЧ М гоомв о2= 1 с (П»7 е 1 4 + (ыуы )4 Е о л Спектральная платность мощности фазового шума Вид фазового шума Частотный срлнккер-шум пз Л»пз 8,714» йо )з ы2 (1!0,53)з Вт Вт 0,170 ел 1'2 3,45 Вщ Вщ Частотный белый шуи Фазовый белый шум йс, 1((л йс 1л Пусть среднеквадратическая фазовая ошибка, обусловленная влиянием флнккер-шума, ...
=-0,06 рад (12.50) Тогда да максимально допустимое значение параметра й, связано с величиной В соотношением где Н()ш) — коэффициент передачи замкнутой системы ФАПЧ; ш„ — собственная частота системы. Остаточная фазовая ошибка системы имеет дисперсию 2 (' Л» ( (ш/ыл) ) щ 1' Л»(2п) ,) )з (1+(ш7ш„)4),) .. з о о л где х Аш1ш„. Используя интеграл о хбх зс 1+х4 4 о из соотношений (12.46) и (12.47) получим о „2 .! 1+к~ 2 4 2 л л Л» пз 8,71 й» при ~ = 17)/2 (12 49) 3,55В2 В так как оз =В 40,53 рад/с, т.
е, среднеквадратическая фазовая ошибка обратно пропорциональна шумовой полосе системы. Соответствуюшне результаты приводятся в табл. 12.4. Таблица 12.4 Ошибин слежения для системы ФАПЧ 2-го порядка, имеющей козффицнент демпфирования 3=0,707 и шумовую полосу Вы=0,53ю Для односторонней шумовой полосы В =1 Гц максимальное зна- чение й, равно й, „,„,=8,19 10 4. (12.52) Вклад частотного белого шума.
Рассмотрим компоненту белого фазового шума с односторонней спектральной плотностью мощности вида ВчьЯ=йь11ь при 7) 0 (12.53) При этом остаточная фазовая ошибка для системы ФАПЧ 2-го порядка с коэффициентом демпфирования 9=1)/ 2 (12.54) Ьь2к Г хь аь2я и кь пь о, '= Йх= ьь „,) 1+„ь „„2 )т2 )т2— (12. 55) ка1 2 Ьь кь 02 1' 2 1,89 Вщ Тогда максимально достижимое (12.56) Пусть оь ь=0,05 рад 'кь составляет 1,89 т' 2 ,ь значение (12.57) (25'10 ') Вш= 6*77" 10 ьВш При величине шумовой полосы В =! Гц имеем йь=6,77 10-'. Вклад фазового белого шума.
Рассмотрим теперь компоненту фазовой ошибки за счет влияния фазового белого шума, имев>- щего одностороннюю спектральную плотность: О, Д) =-й, для 0(1<1„,„„ (12.58) где 7,„, определяется параметрами трактов промежуточной частоты модУлЯтоРа. ПРедположим, что 1;ькс»В~, т. е 1нань сУщест" венно больше шумовой полосы замкнутой системы ФАПЧ. Тогда дисперсия остаточной фазовой ошибки К сч йс ~макс о (12.59) Параметры компонент спектральной плотности мощности фазовых шумов. Спектральная плотность полной фазовой ошиб- 320 Положим, что ),„„целиком определяется полосой пропускания тракта ПЧ и равна 10' Гц. Тогда при о „=0,05 рад максимально достижимая величина и, составляет 28 ю 281о =25 10 (12.60) 1„„„, 1Оь ки является суммой спектральных плотностей соответствующих компонент фазового шума генератора, т.
е. О,О=О,.(7)+Б.,(Г)+а„а= ~; + — ",' +~,. Если каждая компонента 7г! будет такой, что среднеквадратическая фазовая ошибка о,;=0,05 рад (этот случай рассматривался выше), то в соответствии с (12.51), (12.57) и (12.60) спектр суммарных фазовых шумов при В =1 Гц определяется выражением 0ф(0 = з +, + 2,5 !О ' рад'/Гц.
(12.62) Считается удовлетворительным такой генератор, у которого реальная спектральная плотность мощности фазового шума боре и(!",) (Гг е (О. Результирующая среднеквадратическая фазовая ошибка для системы ФАПЧ о, =0,05(ф' 3) =0,0866 рад. На рнс. 12.7 в логарифмическом масштабе построены графики для компонент спектральной плотности. Анализ графиков показы- т -ЧО з* а го з -зо -ЧО $ -оо Е а -00 ч а-и Е в П о,г т,о Чо чоо моо частота, Га Рис. !2.7. Спектральнан плотность мощности различных компонент фазовых шумов генератора при использова- нии системы ФАПЧ с полосой пропускаиии 1 Гц вает, что для частот ниже 0,57 Гц определяющее влияние на характеристики системы ФАПЧ оказывает фликкер-шум, в диапазоне частот 0,57 — 16 Гц — частотный белый шум.
Точке пересечения кривых, соответствующих каждой нз рассмотренных выше компонент, соответствует ордината со значением более 3 дБ. 11 — 166 32! Если положить центральную частоту синхронизируемого генератора (о=10о Гц, то с использованием соотношения (12.62) н данных табл. 12.1 получим выражение для дисперсии (2 я)г ь (2а)г аз(Т)=-. г й з21п2+(2я)г г" + 'оо 2оог Т +(2 я)гя о г Тг !2в) г 3,19 10 (2 1 2) + 7,09 10 + ог (2в)з (2")г 2Т +2Ы' (Ф)1 (12.63) где (2а)гя з=я„(2и)гй-г=яь, (2п)гяо=й„определяемые в соответствии с (12.61) н (12;62). Таким образом, дисперсия аг(Т) = =5,32 10-4, а среднеквадратическая ошибка для парциальной частоты составляет а(Т) =2,41 10 г при !ь=)мзоо=10з Гц, Г=0,1 с.
Как было отмечено выше, влияние каскадов умножения час. таты (кратность умножения равна 2 нли 4) проявляется в увеличении дисперсии фазовых шумов соответственно в 4 и 16 раз. Обозначим спектральную плотность мощности фазовых шумов несущей на входе каскадов умножения частоты через Оорч ®. Тогда эта функция связана со спектральной плотностью бч (О, определяемой в соответствии с (12.61) соотношением бабич(1)( — 6о(~) для четырехкратного 1 умножения частоты (четырехфазный ФМ сигнал) 1 Оч оч(1) ( — Оч(1) для двукратного умножения частоты (двухфазный ФМ сигнал).
(12.64) 12.б. ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ФАПЧ В РЕЖИМЕ ЗАХВАТА ЧАСТОТЫ С УЧЕТОМ ВЛИЯНИЯ ЭФФЕКТА ДОПЛЕРА Система ФАПЧ, которую включили на слежение за синусоидальным колебанием на ее входе, может войти (а может и не !войти) в режим захвата (т. е. достичь малой стационарной фазоФой ошибки). В случае, если не обеспечивается режим захвата, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
