Спилкер Дж. Цифровая спутниковая связь (1979) (1152062), страница 42
Текст из файла (страница 42)
9.16. Здесь мощность выходного РЛ рррульЮуруЮЮОя уррбяяя Мрряярряь Лбб,дбю т10 губ ч70 т70 а00 Ф Рис. 9.11. Спектр входного сигнала, представляющего собой сумму узкополосных непрерывных сигналов, разделенных по частоте. Один на аигналон выключен, следовательно, а спектне входного сигнала нмеетс» «щель» полезного сигнала и мощность продуктов нелинейности показаны для случая, когда на вход поступают два равных сннусондальных сигнала.
Узкополосный гауссовский шум на входе. Рассмотрим действие на входе гауссовского шума и рассчитаем для этого случая линейную составляющую н компоненты нелинейных искажений. Предположим, что спектр гауссовского шума на входе такой, какой показан на рис. 9.17. Этот спектр может представлять собой спектр 213 Рис.
9.10. Заввснмость мощности сигнала на выходе кусочно-лннейного ограничителя от мощности сннусондального сигнала на входе. Выходнан мощность сигнала иорминована относительно максимальной выходной мощности ограничител» с ощ ' "а 10 .~„-00 66 Рб ~~к 07 0 Рис, 9.10. Типичные измеренные в ЛБВ мощность на выходе —— н мощность продуктов искажений 3-го порядка — — — — в зависимости от уровня возбуждении прн двух сннусондальных сигналах равной амплитуды на входе. Прн мощности на выходе на 1 дБ меньше номинальной (НВМ) (не пиковой) мощность продуктов искажений на,!4 дБ меньше мощности одного сннусондального сигнала н на 17 дБ меньше полной мощности на выходе Р+(щ)=~хе "йх+с~е ™дх.
о с Обозначим у й 1сх, тогда интегралы упрощаются Р (1с)= — — [е о(у+1)~ ~ + — е =- — [1 — е (ств+1)1+ + о«о о и ая (9.35) суммы большого числа разделенных по частоте сигналов. Если один канал выключить, то в спектре входного сигнала появится «щель». Продукты искажений, вызванные нелинейностью усилителя ретранслятора или ограничителя, однако, попадут частично в эту щель спектра выходного сигнала усилителя.
Соотношение между мощностью нелинейных продуктов искажений в этой щели и мощностью сигнала в такой же полосе частот определяет отношение сигнал!шум в данном канале [81, 445). Метод преобразований для нелинейных устройств. Метод преобразований, используемый при анализе нелинейных устройств, при гауссовском шуме на входе, детально обсуждается в ряде работ [109'].
Здесь этот метод только кратко описывается для получения энергетического спектра искажений. Двустороннее преобразование Лапласа нелинейной характеристики 1(х) можно записать в виде о Ъ Р(и)= ~ [(х)е "дх+~[(х) е "с(хйР+(1с)+Р (щ) — О о для действительных щ)0. (9.33) Таким образом, нелинейная характеристика 1(х) может быть выражена через ее же преобразование 0 1(х) = — [ Р((о) е' сЬ, (9.34) 2я где Р(1с) =.Р+(«с) +Р (в); а и — мнимая компонента и. В качестве примера, для кусочно-линейного ограничителя это преобразование будет + — е (9.36) Поскольку ) (х) является нечетной функцией аргумента х, то компоненты преобразования связаны между собой как Р-(1с) = =Рэ( — 1с), и Р(1в) =Рч.(1с) — Р+( — гс) =(е ' — е+ )йсо.
(9.37) Следовательно, для 1с=и, т. е. для оси мнимых чисел передаточная функция кусочно-линейного ограничителя будет о'4о о ~со 51пю Р (1 о) =- 21 ., — = 21 —, (9.38) Для предельного ограничителя при единичной амплитуде выходного сигнала 1(х) =вднх, тогда 214 й! к=о Из (9.39) и (9.41) можно показать, что корреляционна~ функция для нечетных функций )(х) содержит только нечетные значения й и может быть выражена как й! (, ) ~1 йг и бй й" е! (9.42) ь=! !т — нечетное где йь а — ( Р (! о ) (! о)" е о " гг ~Ь.
(9.43) =2я 3 — е Для четных функций,1(х) берутся только четные значат!ия й. Однако эти корреляционные функции не представляют интереса поскольку они не дают компонент в основной полосе часто'г. Для кусочно-линейного ограничителя последовательность коэффициентов с нечетными значениями я ее о 2я,! о' 2я — е» вЂ” е 2я о т в а Р (1 о) = 1!пт — — яв 2!/о для о (( 1/с. 2! 5!и ео е-а нн Корреляционная функция выходного сигнала.
КорреЛяционная функция выходного сигнала нелинейного устройства с характеристикой г(!) =Цх(1)) выражается с помощью вышеописаа!Пых преобразований следующим образом: )1е(т)=Е()(х!)) (хт+,))=~ — ) ОР(1о,)Р(!от)с(о,доя Х 'тчЕ~е'"нс+!еент+т1 =( ! ) ~~Р(!о)Р(1о) С(!о, !о )с(гт сЬ, (939) где С(ЬП !ог) — совместная характеристическая функция входного сигнала, а х! Лх(1).
Для стационарных гауссовских сигналов с дисперсией аг эта характеристическая функция может 6ыть получена в виде С(!о, !о„)=ехр~ — (о',+о,') — Л(т)ото,~, (940) где Я(т) =Е(х!х!ее) — корреляционная функция входного сигнала. Эта экспоненциальная функция может быть разложена в степенной ряд (9.47) 2 Р и где ег1х= — ) е й. о Для малых значений х полиномы Эрмита Я,(х) ж 2х, Я,(х)= — 12х, Я,(х) ж120х, Я~ (х) ж (2х) ( — 1) ~" п~' (=') Таким образом, корреляционная функция выходного сигнала кусочно-линейного ограничителя согласно выражениям (9.42), (9.46) и (9.48) представляется в виде суммы (9.49) (9.50) х а, при /с нечетном, 216 — ( ( — 1)(ь — зпз(~2с~ и . (сф )с(/ (944) яо ) — Ф где /=оп/)Г 2.
Полиномы Эрмита Я (х) могут быть определены как решения интегралов (для и нечетного) [61 х ( — 1)'" имгйп2хЫ/. (9.45) Второй интеграл в (9.45) получен с помошью соотношения соз(2х/ — ии/2) =з(п 2х/( — 1) (и — 1)/2 для нечетных значений и. Следовательно, выражения для /сь в (9.44) могут быть переписаны с подстановкой и=/с — 2 и х=с/ У 2о: Ь=2( )( ) ( ' 3Г )о-,( )— е тсь — а(с /у 2о) (9 46) У и 2'" П /2 оа Полиномы Эрмита часто выражаются в виде производных Яс"„(х) =( — 1)" 2"~'е" — (е "), ох й' (х) = — е" ег1х, (9.48) р»!+! (, ) ~)/йо / и 4~ о!!(2!+!) !=! Л2 ( с ) 2»! (9.51) Х вЂ” '~ с з'+'В (Е'р(0) С<й), о (9.52) где коэффициенты С(й) определяются как С(й) = ~ — )~ ( — )1 2» С(1)= 1, С(3)=3/4, С(5) = 5/3.
(9. 53) Следовательно, можно представить й-ю степень корреляционной функции входного сигнала через его компонетгты в основной поло- се — =р (т) С(й) соз!опт+ гармонические чгаены, й — нечетное. )с~ (т) « о~" (9.54) Приведем конечные результаты для корреляционной функции «мягко»-ограниченного и предельно-ограниченного гауссовского сигнала.
Результирующая характеристика «вход-выход» для такого ограничителя (неполосового) в(и) =ег1 —" а )гехр(: ~с(г. ос У2пос ) (, 2ао / ' ос Пусть среднеквадратнческое значение входного сигнала о; обозначим а=ос/о, а корреляцио|нную функцию входного сигнала р,. Тогда корреляционная функция выходного сигнала будет агсмп ( р, /(!+ а)1 агсмп [! ) ( ! -(- а)1 2(7 (9. 55а) где используется подстановка 1=2( — 1 для Й нечетных. Определим корреляционную функцию входного узкополосного сигнала как /с(т) =о',р(т)сов!опт для )т~ - 2п/!оо Тогда члены яь(т) =о'хрх(т)созьп!ст представляют мощное гь выходного сигнала основной частоты 2п!ав Рс ь ~ р (т) соз (сост) соз (со»т) Д т = р (О) х 2я о Для предельного ограничителя о»ой и а=О.
Тогда корреляционная функция выходного сигнала для г(1) =вднх® 14451 2 р„(т) = — агсз!и р . я (9.55б) 24+! (. ) Вл2 1 ) '1)г 2е Х (21 + 1)! 22! 1 р,(т)=р(т)ЕГ(2( ' )+ — Е ' ' ~~~ 1=! х (21+ 1)! и(1-~- иг ' с р,(т)=р(т)ег(2 ( 1+ — е 'Ч~ ~~~~ ~ г'2е/ я 1=! Л (!+1)! 2" полезный сигнал нелинейные исиаження (9.56) Отношение первого слагаемого в (9.56), получаемого при т=О, ко второму слагаемому дает отношение сигнала к полным искажениям. Это отношение не учитывает спектрального распределения продуктов искажений, как было описано для гауссовских сигналов в предельном ограничителе.
Тем не менее отношение является полезным и может быть записано из (9.56) в виде Рс,иыи Я е' !и ег(Я(сД'2е) Рс.иыл Ь ~ я'„,()с,— ) ч, р П (1 + 1)! 24' где Рн,„в — полная мощность нелинейных продуктов, а Рс иыи мощность выходного сигнала. Отношение спектральных плотностей. Отношение спектральной плотности сигнала к спектральной плотности продуктов нелинейности представляет собой истинное отношение мощностей сигнала и искажений для индивидуальных непрерывных узкополосных сигналов и должно быть рассчитано с учетом ограниченности полосы входных сигналов.
Положим, что входной сигнал имеет гауссовскую спектральную плотность мощности. Корреляционная функция такого входного сигнала равна р(т) =е "'*. Отношение спектральных плотностей сигнала и продуктов искажений в середине полосы 218 (9.5?) Корреляционная функция вьйходного сигнала в основной полосе. Используя определение С(я) в (9.53), получим корреляционные функции в основной полосе в (9.51) )гй(т) Д о2!р,(т) соз й4ес, где ой — мощность входного сигнала. Функция р,(т) может быть выражена через составляющие полезного сигнала и компоненты нелинейных искажений: получим путем преобразования (нулевая расстройка частоты) функции р""'(т) из второго члена выражения (9.бб) СФ О 2 1+г — ! ( 21+г (т) с(т ! (' )г 21 1-)- 1 для р (т) = ехр ( — сета).
(9.58) Следовательно, отношение спектральной плотности продукта искажений (2(+!)-го порядка к спектральной плотности сигнала в центре полосы равно (1"Г' 2(+ !. Обратная величина отношения мощности продуктов искажений к мощности сигнала на выходе или отношение мощностей сигнала и продуктов искажений на централь- "..г 0 и д1 сг ч а 1г 0 г 0 й г/0 г0 1У 10 0 1аггб 1 У Рис. 9.18. Характеристики кусочно-линейного огра. ничителя при гауссовском сигнале на входе: с1п— отношение уровня ограничения к действующей величине входного сигнала; а — нормированная мощность выходного сигнала; б — отношение мощности выходного сигнала к спектральной плотности продуктов искажений 9.7.
НЕЛИНЕННЫЕ ИСКАЖЕНИЯ ПРИ ПРОХОЖДЕНИИ МНОЖЕСТВА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ПРЕДЕЛЬНЫИ ОГРАНИЧИТЕЛЬ Пределвный ограничитель. Пусть на вход предельного ограничителя поступает ряд сигналов с угловой модуляцией и шум. Всю эту совокупность можно записать в виде х (!) = ~ А; соз (ог! Г+ <р, (!)) + и (!), (9.60) г=! где каждый из сигналов не зависит от других. Корреляционные функции сигналов равны Я„(т), а шума )с (т). Мощность шума равна /1 (0)=аг. Для ограничителя с характеристикой у=вднх корреляционная функция выходного сигнала, как было показано в 1235, 414), равна О о О Л,(т) = ~)' о=о ,=о т„=о йг /1 (т)...);( и где е А — коэффициент Неймана /1 если пг = О 1 12, если пгФО 1 цнентов (9.61) и ряд коэффи- В (А х) " с( (9 62) а )1тго! (т) — коРРелЯционнаЯ фУнкциЯ пРоцесса Рс2соз пгсгсо,.( ! +Рг(1) 1 220 ной частоте /о получается путем суммирования этих спектральных плотностей продуктов искажений: ! г1~'2!+1 а! гп!1+!)!2" Р2!+1 (9.59) 4 эс! (с!У 2 а) эсз(с/У 2 а) 2о ~/3 3(2го) TЗ Это отношение представлено па рис.
9.18 в зависимости от величины с/а. Заметим, что для предельного ограничителя с/а- О, отношение сигнал/шум на выходе уменьшается до минимума, равного приблизительно 9 дБ. Доминирующее влияние вызывают продукты искажений 3-го и 5-го порядков, что соответствует первым двум членам в знаменателе (9.59). Однако при уменьшении выходной мощности на 3 дБ отношение сигнал/шум увеличивается до 17 дБ. Для простого примера, когда на вход предельного ограничителя поступают два одинаковых синусоидальных сигнала без шума, выходной сигнал полосового ограничителя представляет собой просто колебание, выделяемое из прямоугольной волны (т. е. ~-!), промодулированное по фазе с разностной частотой.
Таким образом, отношение мощностей продуктов искажений вида (2,1), (3,2), ... к мощности одного из двух сигналов основной частоты на выходе оказывается равным ' з„/а, = 1/9, з„/з, = 1/25, зм/аа = 1/49, (9.63) а продукт искажений 3-го порядка зщ меньше основного сигнала на 9,54 дБ. В более общем случае выходной сигнал ограничителя содержит продукты искажений вида соз [т, О,(/) =Е т,О,(/) ~ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
