Спилкер Дж. Цифровая спутниковая связь (1979) (1152062), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Для того чтобы избежать перегрузки по крутизне при (-разрядной ДМ с равномерным квантованием, величина р должна быть не менее 8 8 и ак !вФ/(д зп 1вввпв 4вв (4 27) пк вк(2! — 1) (2 — 1) )кЗ)д (2 — 1) Р ЗРл Знаменатель выражения (4.26) может быть записан в виде Ф й(р) а йв(0)+2~~ )св()вТ)з(по — "= и=-! Рл — — +4 рв г1вг( ехр(1 — !(1 — з(пс — )!)!8(пс — ж к и и и = — ', +4~'ЕЕ'" ,Х вЂ” пв — 3)к (п)вЯв)в ) Х ехр, " (2' — 1)' л ~ з(пс — (4.28) (4п)в 2 3 3 Рл Если кс )) 1, то выражение (4.28) можно упростить 1.)(р) ж — +4рв ~~ ехр[ " ( ) ~ в)пс — ° (4.29) 3 пв ~ 32 и, к и Исследуем поведение этого ряда при больших значениях 1. Знаменатель выражения (4.26) в этом случае )к(р) ж р",3 при условии, что (2' — 1)')) 32 или 1 > 3.
(4.30) В случае двоичной ДМ (1=1) отрицательной корреляцией в членах К,()вТ) выражения (4.28) нельзя пренебрегать и приближенное выражение для отношения сигнал/шум принимает вид С/Шьнч ж 2( — ) )св (4.31) 88 где рта=Ли — нормированная скорость следования двоичных элементов при одноразрядной ДМ. Таким образом, отношение сигнал/шум изменяется пропорционально /сз„а не /таа, как это имеет место в отсутствие выходного сглаживания (4.4). Эта пропорциональность отношения сигнал/шум третьей степени скорости передачи соответствует результатам [1141 для входного синусоидального сигнала с частотой /о при ширине полосы канала /и,„, и скорости следования символов /.
При ДМ с одинарным интегрированием Ясно, что при низких частотах синусоидального сигнала (/о<< « / аис) это отношение может быть больше, чем в случае гауссовского входного сигнала. Приближенное выражение для отношения сигнал/шум (в области значений 1)3) при нормированной частоте дискретизации /т', можно получить из (4.26) и (4.30) В ХЛ (21 1)а Нормированная скорость передачи символов ат,=(итд. Следовательно, отношение сигнал/шум может быть выражено как Этот результат впервые был получен Ван де Вегом 1462]. Отметим, что и здесь применение фильтра нижних частот приводит к пропорциональности 1сз„а не иса,„как это имеет место в (4.8).
Пропорциональность квадрату Я, имеет место в отсутствие сглаживающей фильтрации на выходе. В случае входных сигналов типа белого шума значения коэффициента улучшения качества передачи, равного (2' — 1) и/1з, 1)3, при различных значениях 1 даны ниже: Число разрядов на отсчет 1 1 2 3 4 Коэффициент выигрыша (2' — 1) а/1а ! 1,0 1,125 1,82 3,52 Отметим, что для гауссовских сигналов незначительное улучшение получается при переходе от двоичной ДМ к двухразрядной ДИКМ.
4.4. СРАВНЕНИЕ ШУМА КВАНТОВАНИЯ ПРИ ДЕЛЬТА-МОДУЛЯЦИИ И ИКМ На рис. 4.6 приведено отношение сигнал/шум на выходе для некоторых типов квантования, в том числе для двоичной ДМ с учетом и без учета сглаживающей фильтрации для 1-разрядной 86 С/Шфнч ж2 ~ — ~) )газе если С/Шфнч ) 10 дБ ~4л / (4.34) При Р,)4 применение сглаживающего фильтра любого типа дает существенный выигрыш в отношение сигнал/шум по сравнению с отсутствием сглаживания. Для сравнения приведены результаты для 1-разрядной ИКМ с частотой дискретизации 1д=21 „„, (при отсутствии сглаживающей фильтрации). Отношение сигнал1шум для ИКМ (см.
выражение (3.9)1 для случая гауссовского сигнала (без учета перегрузки) (4.35) 6с!!2 8' где 2'6=8ок, так называемый «критерий 4о», 11д=211м„„и Я,= =11д/21мккс. Отметим, что для входных сигналов 'типа белого шума ИКМ обеспечивает более высокое значение отношения сигнал(шум, нежели ДМ, например при ггс=-8 выигрыш в отношении сигнал/шум в случае ИКМ равен 18 дБ. С другой стороны, дельта-модуляция 'может оказаться лучше для большинства реальных входных сигналов, когда спектр не является равномерным, и между отсчетами имеется сильная корреляция.
Гауссовский сигнал с убывающим спектром. Белый шум, ограниченный по частоте до,1,.„и пропущенный через )гС-фильтр, является примером сигнала с неравномерным, .«иебелым» спектром и часто используемым представлением телевизионного сигнала. Такой ограниченный по частоте сверху спектр может быть записан как ! агс!я (1максДс ) (1 + 1а ) 0 ~ 1 ) 1мскс, (4.37) где 1„— ширина спектра по уровню 3 дБ. Пусть частота среза 1мск =8п1« или 1„=1 скс18п. Тогда корреляционная функция такого сигнала [3391 87 ИКМ с равномерным квантованием. Предполагается, что входной сигнал является гауссовским с прямоугольным энергетическим спектром, ограниченным сверху частотой 1м„к,. Корреляционная функция такого сигнала рд =з(пс2п1мкксрТ. Результаты построены согласно выражению (4.4), когда сглаживающая фильтрация отсутствует, и по выражению (4.21) в случае использования идеального ФНЧ для гауссовского входного сигнала с корреляционной функцией рм.
Отношение сигнал1шум определялось в зависимости от нормированной скорости следования символов )г,=- =1д121 „,. Отметим, что в случае ДМ при отношении С)Ш >9 дБ нет существенной разницы между сглаживающей фильтрацией идеальным фильтром нижних частот и оптимальным фильтром (4.18). В этой области й (Т) (и/2) е о — ыо) Т) соасымакс) Т! + Я (ымакс! Т ~ — ат/2) о„ гг/2 /о//мако га <я амана ша =2п/а, шмакс=2п/макс', Б((х) — интегральный синус; созе асов х/х. Результирующее качество передачи для двоичной ДМ со сглаживающей фильтрацией показано на рис.
4.6, Отметим, что при А' )2 из-за наличия корреляции между отсчетами в случае сигнала с убывающим энергетическим спектром (после/хС- фильтра нижних частот) отношение сигнал/шум увеличивается прцмерно на 14 дБ по сравнению со случаем белого шума со спектром такой же ширины. Это относится к пиковому значению отношения сигнал/шум, когда проявляются одновременно и шумы дробления и шумы перегрузки по крутизне, а величина шага квантования выбрана оптимальным образом. Для рассматриваемого вида сигнала при Р,(6 простейшая двоичная дельта-модуляция обеспечивает лучшее качество, чем ИКМ. Сравнение /-разрядных ИКМ и ДИКМ при передаче гауссовских сигналов, Сравнить свойства /-разрядных ИКМ и ДИКМ при наличии сглаживающей фильтрации в входных сигналах типа гауссовского белого шума можно на основе классических работ Ван де Вега (462] и Беннета (39]. Эти результаты показа- гв а 4 б Гб ба бб Рис.
4.1 Сопоставление многоуровневой ДМ (ДИКМ) ( — ) и ИКМ ( — — — ) по зависимости отношения сигнал/шум от нормированной скорости следоаания лаоичных символов в тракте передачи йа=(/а/2/мака при передаче белого шума с равномерным спектром для случая выходной сглаживающей фильтрации при помощи ФНЧ И62) 88 ны на рис. 4.7. Отношение сигнал/шум для ИКМ приведено для заданных значений числа двоичных символов на отсчет. Оно увеличивается при возрастании скорости следования двоичных символов (частоты дискретизации) примерно на 2 — 3 дБ/октава вследствие уменьшения корреляции между квантованными отсчетами и последующей фильтрации в ФНЧ.
Отметим, что зависимости для ИКМ на рис. 4.7 построены для заданных фиксированных значений отношения числа символов на отсчет 1 при изменении частоты дискретизации, тогда как на рис.4.6 кривые даны для неизменной частоты дискретизации при некоррелированных отсчетах, и переменном количестве символов на один отсчет 6 Ясно, что при дискретизации с минимальной частотой прн некоррелированных отсчетах //д=2/ „,) ИКМ имеет преимущество в 6 дБ по сравнению с ДМ. Однако при увеличении частоты дискретизации ДИКМ и ДМ могут обеспечить более высокое качество передачи сигналов. 4.5.
ШУМ ПЕРЕГРУЗКИ ПО КРУТИЗНЕ ПРИ ДЕЛЬТА-МОДУЛЯЦИИ До сих пор мы полагали, что скорость изменения входного сигнала не превышает максимальной крутизны дельта-модулятора и что шум дробления является доминирующей компонентой шума квантования. Оценим теперь другую компоненту шума квантования — шум переходных процессов, протекающих при перегрузке дельта-модулятора по крутизне 1339].
Рассмотрим двоичную ДМ с частотой дискретизации / и при,ращением аппроксимирующего напряжения 6. Пусть на вход дельта-модулятора поступает гауссовский сигнал х(/) с энергетическим спектром б(/). Перегрузка по крутизне может возникнуть, когда крутизна входного сигнала превышает максимальную крутизну дельта-модулятора: йх/й л х' > 6/д.
(4.39) Начало интервала перегрузки по крутизне определим как момент го, когда крутизна входного сигнала равна максимальной крутизне дельта-модулятора х'(/,) =х', А6/д и г,= — х,=х(/д), т. е. входной сигнал х и выходное напряжение г равны между собой в момент /„ но далее они расходятся. Пренебрегая ошибками дробления, будем считать время непрерывным.
К концу интервала перегрузки по крутизне, в момент времени /н входной и выходной сигналы вновь оказываются равным~ хд = з1 = хо+ (/д — /д) 6 /д = хо + (/д — /д) х,. (4. 40) Выброс шума в интервале перегрузки п(1) г х(/) з(/) х(/) (хо (/1 /о)хд1 с х(/) (хд+АЯ /о < / < /м (4.41) где /,— /,=А — длительность этого конкретного события перегрузки по крутизне (рнс. 4.8). Энергия шума в данном выбросе 89 е.
" ~ па Я дг (4.42) с, На интервале перегрузки разложим сигнал х('г) в степеннбй ряд по 1 в окрестности точки х,: Рис. 4.8. Перегрузка по крутизне в канале с ДМ: х(1) — входной сигнал; х(1) — выходной сигнал с ограниченной крутизной; Л=б — Ге — длительность выброса перегрузки — разности между х(1) и г(1) (1 — Го) хе (à — 1о) хе х(1) =хо+(1 — 1а)х'+ ' + ' +... (4.43) а 21 ' 31 Поскольку х,=хе+Ьх'е прн 1=1ь степенной ряд (4.43) можно записать как дах дах ха=хе+Лх'=ха+Ах'+ — + +...
(4.44) о о 21 З1 При Л«1 пренебрежем членами четвертого порядка и выше, т. е, Л'хем"/41 и т. д., а затем решим (4.44) относительно длительности интервала перегрузки: Л ж — 3 х",1ха'-. (4.45) Вероятностные свойства входного гауссовского сигнала. Обозначим производные гауссовского сигнала )ь=х'(1), т)=хм(1), $= =х"'(1). Тогда совместную плотность вероятности этих случайных величин можно записать в виде [383*] 1 ра ча ($+иап — „'р) ~ Р(р, т), й)= ехр '(2п)зМУВ, и ~ 28а 28 2ВВ (4.46) где В„а ( (2п)')"+зби())с(( н В й В,В,— Взь Иными словами, кое эффнциенты В„являются характеристиками ширины спектра сигнала.
Отметим, что при единичной мощности входного сигнала хВ,=(2п)зе)з, где ).ф — эффективная ширина спектра, определяемая выражением (4.4). Среднее значение х'"е при заданном значении х'е это Е(хе'н)х'с) = — Ьзх'е/Ве, а среднеквадратическое значение третьей производной хелм равно ) В/Во. Если значение первой производной х'е в точке перегрузки столь велико, что Е(хетч)х'е) больше по сравнению со среднеква- 90 (4.48) Энергия выброса шума.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
