Меркулов В.И., Дрогалин В.В. Авиационные системы радиоуправления. Том 2 (2003) (1151998), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Развороты, противострельбовые маневры и ускорения, вызванные турбулентностью атмосферы, рассматриваются как возмущения нормальной траектории. В работе [18) исследованы четыре математические модели ускорения ВЦ в инерциальной СК применительно к задаче оптимального управления и оценивания координат, скорости и ускорения цели при наведении высокоманевренных тактических ракет малой дальности. Наиболее сложной из этих моделей является модель ускорения ВЦ на основе марковского процесса второго порядка, а простейшей — модель с нулевым ускорением цели. В моделях [18, 24, 41, 42) не учитывается, что в общем случае ВЦ совершает сложное движение относительно ЛА с некоторыми линейными относительной и переносной скоростями.
Получим математическую модель относительного движения ВЦ и самолета в траекторной СК применительно к задаче оптимизации обработки информации в ИВС при определении координат и параметров движения цели. При этом воспользуемся подходом к разработке моделей относительного движения ЛА, который применяется в задачах межсамолетной навигации [73). 13.1.1.
МОДель ДВижениЯ В03ДУшнОЙ Цели В тРАектОРнОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ При получении модели движения ВЦ будем использовать следующие прямоугольные правые СК: нормальную земную СК ОаХя т'яЕ, нормальную СК ОХя'т'яЕя и траекторную СК ОХьУ~УА [рис. 13.1). 278 Рис.
1ЗЛ При решении задач перехвата и уничтожения ВЦ начало нормальной земной СК Оа совмещается с пунктом наведения или с некоторой условной (опорной) точкой на поверхности Земли. При математическом описании динамики полета в атмосфере земные СК (в том числе СК ОаХяУ,,У,) обычно считаются инерциальными, а Земля принимается плоской, т.е. осуществляется пренебрежение вращением местной вертикали при движении ЛА. При таких допущениях вектор абсолютной скорости движения центра масс ЛА заменяется на вектор земной скоростиУм а вектор абсолютной угловой скорости на вектор угловой скорости относительно нормальной земной СК (земной угловой скорости) [39]. Направление осей ОсХя, ОсЕа неизменно относительно Земли и выбирается в соответствии с задачей.
Например, оси ОаХа и ОсЕа могуг ориентироваться по касательным (соответственно к географическому меридиану на север и к географической параллели на восток), проходящим через точку Оо. Ось Оауа направлена вверх по местной вертикали. Нормальная СК ОХаУ„Ея — это подвижная система координат, начало которой О обычно совмещается с ЦМ ЛА, ось ОУа направлена по местной вертикали, а оси ОХа, ОЕя — в соответствии с задачей, в частности, параллельно осям нормальной земной СК (прн относительно небольших расстояниях между точками Оа и О). Начало траекторной СК ОХьУьЕь совмещено с ЦМ ЛА, ось ОХг совпадает с направлением вектора земной скорости Чь а ось ОУь лежит в вертикальной плоскости, перпендикулярной плоскости ОХяЕа и проходящей через ось ОХь. Ось ОУь обычно направлена вверх от поверхности Земли.
Ось ОУ~ направлена вправо от оси ОХь и всегда параллельна местной горизонтальной плоскости Земли (плоскости ОХ„7а). Использование траекторной СК позволяет достаточно просто задавать вектор абсолютной (земной) скорости Уь движения ЛА, так как он направлен вдоль оси ОХ„. В этой СК наглядно представляются радиусы кривизны траектории движения ЛА в горизонтальной и вертикальной плоскостях. Направление осей траекторной СК относительно нормальной СК определяется углом пути (курса, рыскания) чг и углом наклона траектории О. Угол чг — это угол между осью ОХа нормальной СК и направлением вектора путевой скорости У„ЛА— проекции вектора Уь на плоскость ОХ,,Е,„а угол Э определяется между плоскостью ОХ,я.а и вектором Уь (рис.
13.2). Положение ВЦ (точка Ц) и самолета (точка 0) в нормальной земной СК ОаХаУ,,Ея определяется векторами Д„и Д, (рис. 13.1). Относительное положение цели характеризуется вектором Д, так что выполняется векторное соотношение (13.1) 279 Рис. 13.2 У„(1)= Ъ'„(1) Ь т',е(1), (13.2) где У„(1) =дДа(1)/й — вектор земной скорости ВЦ, те.
вектор абсолютной скорости движения точки Ц; У„(1) = дД,(1) / й — вектор земной скорости самолета, т.е. вектор абсолютной скорости движения точки О; У,е(1) = дД(1)/б1 — вектор скорости сближения ВЦ с самолетом, определяемый в СК ОеХ,УяУ., (абсолютная производная вектора Д(1)). Далее воспользуемся правилом дифференцирования векторов, согласно которому абсолютная производная да(1)/й вектора а(1), заданного своими проекциями а„(1), а (1), а,(1) на оси подвижной (вращающейся) СК, равна сумме относительной (локальной) производной да(1)/ж вектора а(1) и векторного произведения угловой скорости Й(1) подвиясной СК на этот вектор (16): — = а(1) = — + й(1) ха(1), сна(1) .
сна(1) Й ц1 (13.3) 280 С самолетом связана его траекторная СК ОХьуьЕм вращающаяся вокруг ЦМ самолета относительно нормальной СК ОХ,УяЕя с угловой скоростью Й(1) Продифференцировав по времени левую и правую части векторного соотношения (13.1)„получим Ч„(с)= Чь(с)+Ч„(с)+ (1)хД(с). (13.5) Выразим абсолютное ускорение точки Ц через составляющие ускорений в СК ОХсУь2м применив правило дифференцирования (13.3) к векторам в правой части соотношения (13.5).
В результате после ряда преобразований абсолютная производная вектора скорости точки Ц будет описываться следующим уравнением: бЧц(1) бЧ„(1) с(Д(1) = Чц(1) = " +й(1) х Ч„(1)+ + 2й(1) х Ч„(1)+ Й " Й с11 + х Д(1) + й(1) х[й(1) х Д(1)1. с)й(1) Й (13.6) Векторное уравнение (13.6) можно представить в виде а„(с)=а, (с)+а„„(с)+а„„(с), (13.7) где ац (1) с)Чц (1) I с$1 н а~~ (1) с(Чц (1) l с$1 абсолютное и относительное ускорения точки Ц; ац, (1)= " +й(1)хЧ„(1)+ — хД(1)+й(1)х(й(1)хД(1)!в с)Ч„(1) ай(1) '"р Й Й полное переносное ускорение точки Ц; а „,р (1) = 2й(1) х Ч„(1)— поворотное или кориолисово ускорение.
Векторные уравнения (13.7) и (13.6) могут быть также получены с использованием теоремы Кориолиса о сложении ускорений (! 6). Из (13.7) следует, что относительное ускорение а~ 1ц(!) ац(с) вц~р(с) а~~р(с) (13.8) 281 где а(с)=а„(с)1+а„(с))+а,(с)1с; 1, ), 1с — орты подвижной СК; символ "х" означает операцию векторного произведения. Согласно правилу дифференцирования (13.3) абсолютная производная вектора Д(с) имеет вид Д(1) = Ч,(1)+й(1)хД(1), (13.4) где Ч„(с) = с1Д(с)/бс — вектор относительной скорости точки Ц; (с)— вексор угловой скорости вращения траекторной СК относительно СК ОХИ,,Е„,.
Подставив (13.4) в выражение (13.2), получим Представим векторы а„(!) и а,.„,(!), а также векторы, входящие в выражения для ускорений а„„.„(!) и а„„,(!), в виде разложений по ортам !, ], !с СК ОХ!у!Ум В результате получим следующие векторные соотношения: ач(!)=а „(!)~+ач„(1)]+а„,(!)!с, а я(1) = !)Ч,(1)/!)! = Ч„„(!)!+ Ч„(!)]+ Ч,к(1))с, где Чл~(!) = !)Ч <(1)/!)1, (/=х,у,г); У (!)=Ч (1)!+Ч „(1)3 ьЧ (1)!с; Д(1)=Д.,(!)гьДг(!)у~Д,(!)1с; Ч„,(!) = Д„ (!); Ч „ (1) = Д„ (1); Ч (1) = Д, (1); (! 3.9) Л~ь(!)/!(! = Ч„(!)1; й(!) =оэ„(!) ьч-ю„(!)] ч.ю,(!) !с; оз2(1) /!)! = а„„(!)!+ а„(!)]+ а„я(!)К, где а„„(!) = Й„(!), а,„„(!) = Й„(!), а„,(!) = Й,(1) — проекции вектора углового ускорения а (!) на оси траекторной СК.
Кроме того, применим правило координатного представления к векторным произведениям, входящим в выражения для ускорений а „(!) и а„.,р(!). Согласно данному правилу, например, векторное произведение й(!)хД(!) с использованием проекций данных векторов на оси СК ОХ!у!2„может быть представлено в виде определителя )с й(!)хД(!) =с)е оз„(!) оз„(1) го,(!) =[!о„(!)Д,(1) — оз,(!)Д„(1)]!+ Д„(1) Д (1) Дя(1) +[Сея(!)Д„(1)-ГО„(1)Д,(1)]]+[ОЭ„(!)Ду(!) Гпу(1)Д (1)]й (13 10) В результате координатного представления в (13.8) векторных произведений с учетом соотношений (13.9) и выполнения ряда преобразований для проекций относительного ускорения ВЦ получим следующую систему дифференциальных уравнений: 282 Д„(1) = Ч,„, Д„(1,) = Д„,; Ч„„(1) =а„„вЂ” ׄ— (а„„+в„в,)Д, +(а, — в„в„)Д„+ +(в~+в~)д„-2в„Ч +2в,Ч„, Ч, (со)=Ч,„о, Дг(1) =Ч, Дт(со) =Дго' (133 1) Ч, (1)=а„„вЂ” в,ׄ— (а„,+оз„со )Дх+(а „вЂ” со„в,)Д,+ +(в~+в~)Д„-2в,Ч „+2в„Ч, Н„„(со)=Ч„„о, Д,(1) = Ч, Д,(со) =Д,о; Ч (1) =а„, +в„Ч„-(а„„+в„в,)Д„+(а„„-со„в,)Д„+ +(вз+вз)Д,-2вхЧ +2в,Чж, Ч (со)=Ч„,.
а (1)=О, а„„(со)=а а„(1) =О, а„„(со) =а„„о; а (1) =О, а (со) =а„,о. (13.12) Что же касается математических моделей для проекций векторов угловой скорости и углового ускорения на оси траекторной СК, то их получение на практике представляет большие трудности. Поэтому целесообразно воспользоваться принципом распределения информации (37). Параметры (Чь(с),...,а (с)) могут быть измерены (вычислеиы) в ИВС.
Если известны математические модели погрешностей измерения 283 Для упрощения записей в правых частях уравнений (13.11) опушен аргумент и Из анализа уравнений (13.11) следует, что для получения модели относительного движения ВЦ и самолета необходимо располагать данными о земной скорости самолета, ее производной, а также об угловых скоростях и угловых ускорениях, характеризующих вращательное движение траекторной СК. Кроме того, необходимо задаться гипотезой о характере изменения во времени проекций вектора абсолютного ускорения точки Ц на оси СК ОХьУьЕн Простейшей является гипотеза о равенстве нулю этих проекций. Согласно более сложной гипотезе предполагается, что проекции вектора абсолютного ускорения точки Ц на оси СК ОХИ'ьУь не равны нулю и постоянны во времени, т.е.
(вычисления) данных параметров, описываемые дифференциальными (разностными) уравнениями, то согласно принципу распределения информации в уравнения (13.!1) вместо истинных значений параметров (Чь(!),...,а (!)) подставляются разности между измеренными (вычисленными) значениями параметров и погрешностями их измерения (вычисления). Например, вместо угловой скорости ю„(!), входящей во второе уравнение системы (13.11), необходимо подставить оэ„„(!)-бсо„(!), где оз„„(!) — измеренное значение угловой скорости, а Йо„(!) — погрешность ее измерения.
Дополнив преобразованную систему (13.! 1) дифференциальными уравнениями (! 3.12) и уравнениями, описывающими погрешности измерения (вычисления) параметров (Чь(!),...,а„(!)), получим математическую модель относительного движения ВЦ и самолета в траекторной СК. В этой модели в качестве переменных состояния будут выступать параметры (Д„.(!),Ч, (!),а,„(!),...,а„.,(!)), а также погрешности (бЧ~(!),...,ба (!)) в совокупности с дополнительными параметрами, используемыми для их описания.
При этом измеренные значения параметров Чм(!) и Ч ь„(!) будут играть роль детерминированных управляющих воздействий, а параметры (оз„„(!)...а„„(!)) — известных функций времени при переменных состояния. Использование принципа распределения информации позволяет решить проблему априорной неопределенности в задании параметров (Чь(!),...,а„(!)). Однако, получающаяся при этом модель относительного движения ВЦ и самолета является громоздкой и достаточно сложной для практической реализации в силу своей нелинейности, нестационарности н большой размерности (более девяти переменных состояния). Данная математическая модель может быть упрощена, если пренебречь погрешностями измерения (вычисления) параметров (Чь(!),...,а (!)) ввиду их малости. Низкий уровень погрешностей измерения (вычисления) данных параметров в современных ИВС достигается благодаря реализации в них алгоритмов оптимальной (субоптимальной) комплексной обработки навигационной информации.
Получаемая в этом случае математическая модель относительного движения ВЦ и самолета становится линейной и описывается девятикомпонентным вектором состояния х' =[Д„Чя„аа„Д„Ч„„аау Д, Чл, ач.,!. Располагая измеренными (вычисленными) значениями параметров Д,, Д„и Д„а также статистическими моделями и соответствующими статистическими характеристиками погрешностей их определения, можно приступать к синтезу оптимальных (субоптимальных) алгорит- 284 мов оценивания координат и параметров движения ВЦ в непрерывном (дискретном) времени. Значения Д„, Д„и Д., и статистические характеристики погрешностей их определения могут быть вычислены по данным измерений БРЛС, функционирующей в РНП, и навигационных измерителей угловых координат ИВС. Анализ полученной после сделанных упрощений математической модели относительного движения ВЦ и самолета в траекторной СК ОХьУьХь (несмотря на отмеченные ранее преимущества использования данной системы координат) показывает, что она по-прежнему остается достаточно сложной для практической реализации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
