Канащенков А.И., Меркулов В.И. Авиационные системы радиоуправления. Том 1 (2003) (1151993), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Ошибки в исходной информации возникают в результате неточности измерений и дальнейшего преобразования в цифру или из-за невозможности представить необходимую величину конечной дробью. В первом случае — это ошибки датчиков и ошибки преобразователей, во втором — ошибки представления констант. Характер влияния ошибок измерения на точность решения задачи (точность результатов вычислений) не зависит от того, какой численный метод применен для ее решения.
Однако, численный метод может определять используемые коэффициенты (константы), погрешности которых сказываются на результирующей погрешности вычисления и, кроме того, сам численный метод вычисления в общем случае имеет ошибку (ошибку ограничения), величина и характер поведения которой зависит от числа используемых членов разложения; функций, используемых для разложения; порядка метода (при численном решении дифференциальных уравнений) [2б] и т.д. При выборе метода вычисления особое внимание нужно уделять вопросам устойчивости (в том числе и частичной неустойчивости) численного процесса.
И, наконец, поскольку ЦВМ работает с конечным количеством значащих цифр, при вычислениях будут возникать ошибки округления. Ошибки реализации численных алгоритмов будут рассмотрены ниже (5.3.3.) Дискретный характер решения задач во времени (см. рис. 5.8) и последующее восстановление непрерывного сигнала у(~) привносит свои ошибки. Дискретная информация (последовательность чисел в т. Б на рис. 5.8), поступающая в ЦВМ, обрабатывается по некоторым алгоритмам за конечное время, определяемое временем ее решения задачи и воз- 145 5.3.2.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ В АРиФметических устРОЙстВАх и РегистРАх пРОцессОРОВ Динамический диапазон и точность вычислений цифровых вычислителей зависят как от разрядности чисел в используемой системе счисления, так и от типа арифметики, примененной в процессоре. Двум арифметическим формам записи вещественных и целых чисел — обычной и показательной в процессорах соответствуют две формы представления численных данных в двоичной системе счисления: с фиксированной точкой [ФТ) и плавающей точкой [ПТ). Данные целого типа [целые двоичные числа) представляются в процессорах только в форме с ФТ. Данные вещественного типа могут представляться в форме с фиксированной или плавающей точкой. В системах с фиксированной точкой в этом случае используется нормирование обрабатываемых данных таким образом, чтобы все арифметические операции выполнялись с числами х, по абсолютному значению меньшими единицы: 0 <)х)<1.
[5.21) 146 можными прерываниями решения задачи более срочными, после обработки которых решение приостановленной задачи может быль продолжено. В результате в системе обработки возникают задержки (запаздывания), которые в первом приближении могут быть приняты постоянными, хотя в общем случае задержка меняется от такта к такту. Запаздывание приводит к ошибкам, а в замкнутых системах - может привести к неустойчивости. Задача преобразования дискретного сигнала в непрерывный сводится к формированию непрерывного сигнала у[1) (т. Г на рис.
5.8) в интервалах времени между поступлениями дискретных значений по предшествующим данным. Эта задача представляет собой задачу экстраполяции, закон которой может быть представлен в виде полинома Б- ой степени. Выходную величину у[1) экстраполятора Я-го порядка на текущем интервале между дискретными значениями можно представить уравнением Я у(1) = у[п,01= 2'.ат[п]0т, 0<0<1, у=о где Π— относительное время текущего интервала, а коэффициенты оч[п] изменяются от интервала к интервалу. Следует отметить, что экстраполятор привносит свои ошибки.
Ошибки экстраполяции и запаздывания будут рассмотрены п. 5.3.4. В этом случае число содержит ш=Ь+1 двоичных разрядов. Старший разряд служит для представления знака, остальные для представления дробной части. Регистр, содержащий ш=Ь+1 двоичных разрядов, позволяет представить 2 отличающихся по абсолютному значению чисел с шагом 2 ь и ь удовлетворяющих условию (5,21) в диапазоне (5.22) Если результат арифметической операции выходит за верхний предел неравенства (5.22), происходит переполнение регистра, приводящее к искажению результата. Переполнение может произойти только при операциях сложения и вычитания. В отсутствие переполнения операция сложения выполняется точно (без ошибок). В операциях умножения чисел, удовлетворяющих (5.21), переполнение возникнуть не может, поскольку произведение чисел, меньших 1, также всегда меньше 1.
При умножении возникает ошибка округления, величина которой зависит от способа округления. Обычно ошибку округления стараются сделать симметричной и при использовании Ь значащих разрядов максимальная абсолютная ошибка округления Г удовлетворяет неравенству Представление числа х в форме с плавающей точкой основано на записи числа в виде (5.23) х =(+)т)ч т, где ч — основание системы счисления, р — мантисса (правильная дробь), Т- порядок (целое число). Диапазон представления чисел в форме с ПТ существенно больше, чем в случае представления чисел с ФТ. Переполнение разрядной сетки при выполнении операций над числами практически отсутствует.
Однако сами арифметические операции являются более сложными по сравнению с операциями над числами с ФТ, поскольку действия выполняются как с мантиссами, так и с порядками. Наиболее простые в реализации и быстродействующие цифровые процессоры используют представление чисел с ФТ. На этом принципе строится большинство спецвычислителей и ряд цифровых сигнальных процессоров (Р3Р).
147 Представление чисел в форме с ПТ используется в цифровых системах, когда требуется большая точность реализации алгоритма и большой динамический диапазон обрабатываемых чисел. Результат выполнения любой арифметической операции в общем случае требует округления. Под округлением понимается ограничение последовательности значащих цифр записи числа тем или иным способом. Если действительное число х запишем в виде: х=)т 2т, 05<Ц<1, то любая из четырех арифметических операций с плавающей точкой даст в результате число «у», которое можно представить в виде двух слагаемых у=)ь 2т+д 2т ь. Здесь р 1сохраняемая часть) имеет Ь значащих цифр и лежит в диапазоне между 0,5 и 1, а 8„(отбрасываемая часть) — между 0 и 1.
Округленный результат у запишется тогда в виде соотношения 126) Ц 2т, еслиЦ<0,5, !у1= Ц 2т+2т ь, еслибы>0,5, то есть максимальная абсолютная ошибка округления Р, составляет Ц< —.2т ~. 2 5.3.3. ОшиБки РеАлизАЦии числеииь1х АлгоРитмов Погрешность результата решения произвольной задачи на БЦВМ включает в себя три основных составляющих, которые обусловлены ошибками входных данных 1ошибками аргументов), ошибками приближенных численных методов и инструментальными ошибками (обычно ошибками округления). Погрешности, порождаемые различными источниками, влияют друг на друга довольно сложным образом, однако часто удается представить ошибку ршультата вычисления как линейную комбинацию ее отдельных составляющих. В ряде частных случаев это сделать довольно просто.
Например, погрешность выполнения на ЦВМ оператора хту, где х и у — числа, а )г — некоторая операция, может быть представлена как линейная комбинация преобразованных входных ошибок и инструментальной ошибки. Так 148 как при вычислении приходится оперировать с приближенными числами х* и у*, а не с х и у, а вместо операции К часто выполняется некоторая псевдооперация К* (возникает инструментальная ошибка), погрешность результата вычисления можно представить в виде разности хКу — х*К*у"=(хКу — х*Ку*)+(х*Ку* — х*К*у*). Заметим, что х* и у* — числа и к ним можно применять операцию К, так что х*Кув будет вполне определенным числом. Разность, стоящая в первой скобке правой части равенства, есть переходящая погрешность, обусловленная входными ошибками, а во второй скобке — зарождающаяся погрешность (инструментальная ошибка), обусловленная видом выполняемой операции.
Погрешность произвольного вычисления зависит не только от ошибок входных данных, представления каждого числа, инструментальных ошибок, но и от порядка, в котором следуют друг за другом операции. Следовательно, погрешность результата вычисления может быть достаточно точно определена только при известном машинном алгоритме, по которому выполняется данное вычисление, и архитектуре вычислительной машины, на которой оно выполняется. Задачи, которые должна решать ЦВМ, первоначально представляются в виде формульных зависимостей (математических алгоритмов). Затем производится выбор численных методов решения задач, после чего разрабатываются машинные алгоритмы (вычислительные схемы). При выполнении этих этапов работ необходимы оценки точности реализации численных алгоритмов.
Естественно, что предварительные оценки погрешностей могут отличаться от действительных и в дальнейшем должны быть уточнены при окончании работ по построению машинных алгоритмов. Однако получение таких оценок в процессе создания машинных алгоритмов необходимо для получения достаточно эффективных процессов вычислений, обеспечивающих решение задач с заданной точностью при стремлении минимизировать общее количество операций и объем памяти. Такой подход особенно важен при построении самолетных и ракетных систем управления. Преобразование входных ошибок алгоритмов В общем случае алгоритм функционирования системы управления самолетом представляет собой некоторую совокупность функциональных операторов, порядок выполнения которых определен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
