Пестряков Б.В. Шумоподобные сигналы в системах передачи информации (1973) (1151884), страница 35
Текст из файла (страница 35)
При этом могут быть ложные обнаружения, на проверку которых будет затрачнваться время. Очевидно, что среднее время, затрачиваемое на эти процедурыт(в случае, если пропуск имел место), будет состоять из времени Т, (до следующего момента «заполнения» фильтра сегментом) и дополнительного времени на проверки, среднее значение которого равно'(Б, — 1) Р (Г,/0)Т,. Таким образом, это время будет равно !1 + (Б, — 1) Р (Г,/О) ! Т,. Но это время будет затрачиваться в том случае, когда пропущен один сегмент. Для того чтобы определить общие затраты времени за счет пропусков, нужно найти среднее число пропущенных сегментов.
Вероятность того, что первый сегмент будет пропущен, а поиск закончится при приеме второго, равна !1 — Р (Г,,'с)!Р (Г,/с). 173 пх обследовании отклик фильтра определяется действием шума н боковых выбросов функции взаимной корреляции сегмента и сигнала. Назовем их «шумовыми».
Между двумя любыми «сигнальными» значениями задержки расположено (Б, — 1) «шумовых», если в сигнале с базой Б, для поиска на первом этапе выделяется только один сегмент. Как уже указывалось, поиск может окончиться только прн «снгнальном> значении задержки. Поэтому, если будет известно, сколько в среднем сигнальных значений задержки будет просмотрено ( и пропущено) до окончания поиска и сколько в среднем проверок будет сделано при ложных обнаружениях на первом этапе перед просмотром каждой сигнальной задержки, то можно будет определить среднее время поиска.
Число «шумовых» значений задержки, которое должно быть просмотрено перед первой обследуемой сигнальной задержкой, будет случайным, так как поиск начинается в случайный момент времени. В среднем число таких значений задержки будет равно приблизительно Б,/2, а среднее время, затрачиваемое на них, равно Т,/2.
Так как при каждой шумовой задержке ложное превышение порога может произойти с вероятностью Р (Г,/О), а каждое ложное обнаружение влечет за собой проверку, то среднее число проверок до первой просматриваемой (обследуемой) сигнальной задержки будет равно 0,5Б,Р (Г,/О). Среднее время, затрачиваемое на проверки, будет равно 0,5Б,Р (Г,/0)Т,. Таким образом, средние затраты времени перед просмотром первого обследуемого значения сигнальной задержки будут равны: Вероятность того, что будут пропущены и первый и второй сегменты, а поиск закончится при приеме третьего, равна [1 — Р (Г,/с))2Р (Г,/с) и т.
д. Вообще, вероятность пропуска 1 сегментов до окончания поиска (правильного приема сегмента) равна [1 — Р (Г,/с)Р Р (Г,/с). Если учесть всю последовательность пропусков, то для среднего числа сегментов, пропущенных до окончания поиска, получим величину [1/Р (Г,/с) — 1[. Поэтому общие затраты времени за счет пропусков будут равны и, (А,Т,5 = [1 + (Б, — 1) Р (Г,/0)[ И/Р (Г,/с) — ЙТ,. (5.5.2) Необходимо также учесть, что при просмотре последней обследованной сигнальной задержки производится последняя проверка, которой поиск заканчивается. Поэтому среднее время поиска будет равно т, (Т„) = и, Я,Т„) + т, (Ь,Т„) + Т,. (5.5.3) Окончательно для среднего времени поиска имеем т, (Т,) = 0,5 [1 + Б,Р (Г,/О)) Т, + Н/Р (Г,/с) — 1) [1 + (Б, — 1) Х ~ Р (Г /О)[ Т, + Т,. (5.5.4) Обычно база Б, равна сотням и тысячам, поэтому Б, — 1 ж Б,, В этом случае 7п1 (Тп) Н/Р (Гс/с) — 1[ [1 + БьР (Гс/О)[ Тв + Тз (5.5.5) или в безразмерных величинах — 1~ [1+ Бв Р(Гс/О)[+ 1 (5 5 6) Т, [ Р(гс/с) Для иллюстрации процедуры поиска рассмотрим случайную реали зацию процедуры двухэтапного поиска, изображенную на рис.
5.5.2. На рис. 5.5.2, а дано условное изображение сигнала з (1) с базой Бв и сегмента с (/) с базой Ь; на рис. 5.5.2, б показан отклик на выходе фильтра, согласованного с сегментом (после детектора), У,„(/) и значение первого порога П,; на рис. 5.5.2, в изображена траектория поиска для случая, когда произошло ложное обнаружение при обследовании задержки, соответствующей третьему временнбму интервалу 8, и началась проверка. В этот интервал времени, согласованный с сегментом, фильтр был выключен, Проверка показала, что обнаружение было ложным и с задержки, соответствующей 14-му интервалу (/4), поиск продолжался с включенным фильтром.
Переход к 14-му интервалу времени после проверки обусловлен тем, что сигнал условно принят состоящим из 10 элементов (тБ, = 10) и занимает 10 дискретных интервалов времени. Как видно из рисунка, возможность обнаружения сегмента в момент б была упущена пз-за проверки, а при обследовании сигнальной задержки /б из-за действия помех отклик 174 не достиг порога и сегмент был пропущен. Поэтому поиск не закончился, а было начато обследование следующих задержек.
При обследовании шумовых задержек 17 — 25, как показано на рисунке, ложных превышений уровня порога не было, а прн сигнальной задержке 26 произошло правильное превышение порога и после последней проверки, занявшей время 7'„поиск закончился (рис. 5.5.2, б, г). В выражение (5.5.6) входят вероятности ложной тревоги и правильного обнаружения для сегмента Р (Г,/О) и Р (Г,/с), которые прн заданном отношении энергии сигнала к плотности мощности шума и заданной базе сегмента Ь зависят от уровня порога П,.
Можно выбрать величину порога таким образом, чтобы среднее время поиска при задан- р сер ласл/5! 1сл/р! б/ г! Рис. 5.5.2. ных Б„Е, н Л'„было минимальным. Рассмотрим наиболее важный для практики случай приема сигнала со случайной фазой на фоне белого нормального шума. Найдем зависимость среднего времени поиска от порога П, (илн, что более наглядно, зависимость от Р (Г,/О)).
При заданных Е,ПЧ„, Б, и Ь можно найти отношение Е,/й/„, где Е, — энергия сегмента, и, воспользовавшись выражениями, приведенными в гл. 2, вычислить Р (Г,/с), задаваясь различными значениями Р (Г,/О), т. е., по сути дела, различными значениями порога П,. Найдя Р (Г,/с) н зная Р (Г,/О), из (5.5.6) можно найти т„(Т„)/Т,. На рис. 5.5.3 в качестве иллюстрации приведены результаты расчета для Б, =- !023 и различных значений Ь и Е,//б„. Из рисунка видно, что существует значение Р(Г,/О) (и порога П,), при котором достигается минимум т, (Т„)/Т,.
Рассмотрим зависимость минимального среднего времени поиска (т. е. среднего времени поиска в оптимальной системе) от различных параметров системы. На рис. 5.5.4 приведена зависимость минимального среднего времени поиска (т, (Т )/Т,)„„„от величины базы сегмента Ь для различных значений базы сигнала Б, и различных отно- 175 шений Е,(М„. В расчетах длительность проверки во всех случаях выбиралась такой, чтобы прн вероятности ложной тревоги, равной 10-', вероятность правильного обнаружения была не меньше 0,999. гол Рис.
5.5.3. тг(гс ! 7~ гпп гоп лЮ ем ЛЮ 5 Рис. 5.5зи Из рисунка видно, что при малой базе сегмента небольшое ее увеличение приводит к резкому уменьшению среднего времени поиска. Из рисунка также видно, что при часто встречающихся параметрах системы и использовании базы Ь, позволяющей создать для сегмента 176 согласованный фильтр, рассматриваемый метод позволяет получить существенный выигрыш по сравнению с последовательным, «пошаговым», поиском (в десятки раз), для которого среднее время равно т, (Т„) ~~ В,Т,)2; при этом сложность аппаратуры возрастает ненамного.
'»аким образом, двухэтапный поиск с использованием согласованного фильтра имеет явное преимущество по сравнению с последовательным в части времени поиска и по сравнению с многоканальными беспоисковыми схемами в части значительного упрощения аппаратуры. 5.5.3. Функция распределения и дисперсия времени поиска Время поиска во многих случаях будет намного превышать среднее значение. Причины этого следующие. Могут наблюдаться случаи, когда ложные обнаружения повторятся в нескольких интервалах времени, предшествующих приему сегмента фильтром, и при их проверке будут пропущены моменты, когда сегмент дает выброс на выходе согласованного с ним фильтра, а затем произойдет пропуск и снова несколько ложных обнаружений.
Очевидно, что время поиска при этом во много раз превысит Т,. Получение точных выражений для функции распределения случайного времени поиска (или хотя бы для дисперсии этого времени) связано со значительными математическими трудностями. Однако для получения первого приближения можно воспользоваться следующими соображениями. Из теории массового обслуживания известно, что если при выполнении той или иной операции используются «пробы» и отыскивается через эти «пробы» и их «проверку» правильное решение, то случайное время, затрачиваемое на операцию, обычно имеет распределение, близкое к экспоненциальному, при разных законах распределения времени «проб» и «проверок». Экспоненциальное распределение полностью описывается одним параметром: средним значением, которому равно и среднеквадратичное отклонение. Классическим примером такого рода является поиск неисправностей в радиоаппаратуре.
Очевидно, что при двухэтапном поиске также выполняется множество проб, которые затем проверяются. Поэтому следует ожидать, что время поиска будет иметь распределение, близкое к экспоненциальному. В случае дискретного времени аналогом экспоненциального будет геометрическое распределение. Некоторым обоснованием этого утверждения могут служить следующие рассуждения. Поиск может закончиться только при тех условиях, что в момент прихода на вход системы очередного сегмента, во-первых, открыт согласованный фильтр и, во-вторых, с вероятностью Р (Г,/с) произойдет правильное обнаружение сегмента. Эти события являются независимыми, поэтому вероятность окончания поиска при попадании на вход системы очередного )ьго сегмента равна Р„«Р (Г«/с), где Р„;— вероятность того, что в момент прихода / сегмента система «свободна» от проверки. Если предположить, что вероятность Р„ з не зависит от номера сегмента, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
