Ипатов В. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов (2007) (1151883), страница 86
Текст из файла (страница 86)
С другой— энергетический режим (отношение сигнал — шум в ветви) в каждом из субканалов разнесения с ростом пл ухудшается. Точный теоретический анализ убеждает, что первый из этих факторов пересиливает второй. Оставим в стороне математические выводы, относящиеся к пропускной способности, с которыми можно ознакомиться в ряде источников (например, [108 — 110]), хотя, впрочем, в задачах 10.11 и 10.12 содержатся простейшие примеры на этот счет.
Что же касается выигрыша в вероятности ошибки от разнесения на передаче, его можно наглядно продемонстрировать на примере БФМ передачи по каналу с рэлеевскими замираниями. Пусть А; = ~Н,~ — коэффициент затухания амплитуды в г-й ветви разнесения со средним квадратом, нормированным как А~ = 1. Тогда при комбинировании по максимуму отношения сигнал — шум результирующее В~ отношение сигнал — шум в приемнике (см. (3.15)) д~ = 2 Аз(дз/пл) и, ~=1 согласно (2.19), условная вероятность ошибки на бит Р (А~, Аз,..., А„) при фиксированных состояниях субканалов А;, г = 1,2,...,пл Р,(А, Аз,..., А„~ ) = Я(д„). (10.34) Для получения безусловной вероятности ошибки на бит Р, нужно усреднить (10.34) по всем субканальным амплитудам А,, 1 = 1,2,...,пл, опираясь на их совместную плотность вероятности И'(Ам Аз,..., А„„).
Благодаря независимости ветвей разнесения эта плотность факторизуется в произведение пл одномерных плотностей вероятности всех амплитуд, так что Для разделения переменных интегрирования в (10.35) аппроксимируем дополнительную функцию ошибок Я(я) ее верхней границей (см. зада- (420 Глава 10. Некоторые направленая дальнейшеео проересса чу 10.13) Я(х) ( (1/2) ехр( — я2/2), и ) О, придя к результату П / ехр ~ — ' ~ И'(А1) 11Аг '=' 0 Для канала с рэлеевскими замираниями плотность вероятности И'(А;) подчиняется закону (3.12), с учетом чего 2..(~ — 2~,,г+Ъ„) '=' о Рис.
10.0. Зависимость вероятности ошибки на бит от от- ношения сигнал шум при разнесении на передаче для 1, 2, 3, 4, 5 и 6 ветвей разнесения -3 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 4(вв) Рис. 10.9 иллюстрирует поведение вероятности ошибки на бит в зависимости от общего среднего отношения сигнал — шум д для 1, 2, 3, 4, 5 и 6 ветвей разнесения. Чрезвычайно важен тот факт, что при фиксированной вероятности ошибки две ветви разнесения уже обеспечивают значительный энергетический выигрыш. Если, например, приемлема вероятность ошибки на бит не более 10 4, две ветви разнесения позволяют снизить потребную энергию излучения более чем на 15 дБ. В то же время с дальнейшим увеличением числа ветвей разнесения рост энергетического выигрыша замедляется, и, например, переход от пяти ветвей к шести сопровождается снижением излучаемой энергии лишь на 1 дБ.
Этим объясняется ограничение числа передающих антенн в ряде резльнь1х систем (например, в мобильных линиях <внизи) двумя, что расценивается как разумный компромисс между выигрышем от разнесения и сложностью оборудования. Стоит подчеркнуть, что при неограниченном увеличении числа ветвей разнесения правая часть (10.3б) стремится к (1/2) ехр( — дг/2) (см. задачу 10.14), т.е.
к верхней границе (пунктирная линия на рис. 10.9) вероятности ошибки на бит для гауссовского канала без замираний. Другими словами, увеличение числа ветвей разнесения на передаче может в пределе (по крайней мере теоретически) полностью нейтрализовать разрушительные эффекты многолучевого распространения. 10.3.3.
Пространственно-временной код с временной коммутацией Возможны разные подходы к построению пространственно-временных кодов в зависимости от модели замираний. При быстрых замираниях (см. 2 3.5) профиль многолучевого распространении столь изменчив, что значения коэффициента затухания одного и того же субканэла для двух смежных символьных интервалов независимы. В дальнейшем обсуждении будем ориентироваться на противоположный сценарий медленных замираний, полагал, что коэффициенты затухания субканалов остаются постоянными на всей длительности кодового слова.
Чтобы акцентировать нетривиальный характер задачи построения кодов, гарантирующих разделимость сигналов различных передающих антенн в приемной, начнем с простейшего примера. Пример 10.2. Пусть фиксированный мощностной ресурс Р поровну делится между пт = 2 передающими антеннами, одновременно посылающими один и тот же символ данных без каких-либо специальных мер для разделения субканзлов в приемнике (пространственно-временной код с повторением). Пусть на приеме используется единственны антенна, а коэффициенты затухания Нм Нг двух субканалов . независимые комплексные гауссовские величины с нулевым средним я равными дисперсиями.
Это в точности случай рэлеевских замираний, поскольку абсолютное значение коэффициента затухания А; = ~Нг~, г' = 1,2 имеет рэлеевскую плотность вероятности. Если Я(1) комплексная огибающая переданного сигнала, то комплексная огибающая принятого (Нг + Нг)БЯ~Я, где корень иэ двух учитывает дробление излучаемой мощности. Отсюда ясно, что два субканала образуют результирующий канал с коэффициентом затухания Н = (Нг + Нг)(~Г2, являющимся вновь гауссовской величиной с нулевым средним и той же дисперсией, что и у любого из Н;. Следовательно, амплитуда А = ~Н! распределена по рэлеевскому закону, .и результирующий канал опять оказывается каналом с рэлеевскими замираниями.
Если средние квадраты А, нормированы к единице, то и Аг = 1 . Таким образом, результирующий канал полностью идентичен каждому из субканалов, и рассматриваемый вариант использования двух передающих антенн не обещает никаких выгод в сравнении со случаем единственной антенны. Другими словами, код с повторением является вырожденным и не обеспечивает реального разнесения. ~«»»»»».»». р» «» р Как показывает пример, реальное число ветвей разнесения может оказаться меньше числа передающих антенн.
Один из наиболее важных параметров любого пространственно-временнбго кода — выигрыш от разнесения (йгвегвйд дат), т. е. фактическое число ветвей разнесения, гарантируемое конструкцией кода (см. задачу 10.15). Очевидно, разделения сигналов различных передающих антенн в приемнике можно добиться, передавая один и тот же символ данных пт антеннами по очереди, т.е. без наложения во времени. При этом одна и только одна из передающих антенн излучает сигнал в каждый момент времени, используя полный доступный мощностной ресурс. Подобная организация полностью повторяет многоабонентскую ТОМА схему, в том смысле, что сигнал каждой антенны идентифицируется своим временным положением и ортогонзлен остальным, поскольку не перерывается с ними во времени. Псотому приемник наблюдает сигналы всех субканалов не в смеси, а последовательно во времени без взаимной интерференции, Тогда, зная текущие коэффициенты затухания Н;, приемник полностью осведомлен о том, какие из субканзлов более, а какие менее надежны, и способен скомбинировать их любым подходящим способом, например, по максимуму отношения сигнал — шум.
Описанная простейшая конструкция часто упоминается как пространственно-временной код с временной коммутацией (Нте-вшйс/«ей врасе-1«те сойе). Пример 10.3. Рассмотрим снова случай двух антенн (нт = 2), передающих один и тот же символ данных, однако на этот раз с чередованием: когда первая излучает энергию, вторая пассивна и наоборот. Приемник один эа другим наблюдает сигналы двух субканвлов с коэффициентами затухания Н» и Ню искаженные аддитивным шумом мощности в~. При комбинировании по максимуму отношения сигнал — шум наблюдения суммируются с весами Н;*, «' = 1,2 соответственно, так что результирующее мощностное отношение сигнал-.шум (см. (3.15)) д~ = (Аз«+ А~~)дз/2, где д~ — полное «неэамирающее» отношение сигнал — шум по мощности на посылку данных, а двойка в знаменателе учитывает дробление фиксированной энергии посылки между антеннами.
Для идентичных субканвлов с амплитудами, нормированными к единице (А~ = 1), среднее отношение сигнал — шум по мощности будет, разумеется, тем же, что и при передаче всей энергии посылки по единственному субканвлу: д~ = 2д~/2 = дз. Однако если интерпретировать схему комбинирования как выход результирующего канала, последний уже не является рэлеевским и характеризуется меньшей вероятностью ошибки, чем рэлеевский канал с тем же отношением сигнал- шум (см. рис. 10.9). Таким образом, реально присутствуют две ветви разнесения, обеспечивающие предсказанный выигрыш, достигнутый ценой двукратного снижения скорости передачи на единицу полосы. Действительно, теперь при фиксированной скорости в бит/с каждой из антенн на передачу одного символа отводится половина длительности посылки Тг/2, что означает удвоение занимаемой полосы.
Пока- дд.д.д дд д Р -д д дд 423) зательно также сравнение с системой, имеющей две ветви разнесения на приеме (нг = 1, он = 2). Легко видеть, что, когда единственная антенна передает текущий символ в течение всей длительности посылки Т~, устройство комбинирования в приемнике обеспечивает среднее отношение сигнал-шум по мощности д~ = 2дг, т.е. на 3 дБ выше, чем при разнесении на передаче, при одинаковых энергиях на символ. Причина энергетических потерь разнесения на передаче по сравнению с разнесением на приеме уже неоднократно обсуждалась и состоит в расщеплении общей фиксированной энергии между передающими антеннами. Пространственно-временные коды с временной коммутацией исключительно просты, однако их максимальный выигрыш от разнесения пт оплачивается пропорциональным расширением полосы (при фиксированной скорости), а также прерывистостью передачи, т.
е. увеличением пик-фактора сигнала. Тем самым существует серьезная мотивация к поиску пространственно-временных кодов, реализующих выигрыш от разнесения, несмотря на временное перекрытие сигналов разных передающих антенн. Одна из важнейших конструкций такого типа, сочетающая чрезвычайную простоту с потенциальной эффективностью, рассматривается ниже. 10.3.4. Пространственно-временной код Аламути Схема кодирования, предложенная в [Ш), использует две передающие антенны, не требует расширения полосы и обеспечивает максимально возможный для двух антенн выигрыш от разнесения па = пт = 2. Пусть Ьа и Ь1 — два последовательных символа данных, стоящие на четной и нечетной временной позициях соответственно и принадлежащие некоторому фиксированному модуляционному алфавиту (<дэМ, КАМ и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
