Ипатов В. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов (2007) (1151883), страница 81
Текст из файла (страница 81)
(10.6) в=1 Подстановка этого равенства в (10.3) при к = 1 дает К г~ =А~5~+,') Аьбу,рю+пм (10.7) т где п~ = ( п(с)в~(1)й — шумовой отсчет на выходе первого коррелято- о по Ь разность двух других членов: 2ЬСв — ЬСССЬ~ = шах(2ЬСг — ЬСССЬ ). (10.5) ь В отсутствие перенасьпцения СРМА (К < 1н', см. ~ 7.2) сигнатуры могут составлять ортогонзльный ансамбль, так что ри = 6и и С = 1к, К где 1к — — единичны К х К матрица. Тогда ЬСССЬ~ = 2 А~~ не зал=1 висит от битового профиля. При этом, как отмечалось в ~ 4.1, многопользовательский алгоритм вырождается в однопользовательский (стандартный), в котором оценкой бь бита к-го пользователя бь служит знак корреляции гь. В случае же неортогональных сигнатур (например при перенасыщении СОМА, К > Ф) стандартный приемник уступает приемнику МП, однако сложность последнего может оказаться технологически неприемлемой.
В самом деле, вектор данных Ь жестко ограничен рамками алфавита БсРМ 5; = ~1, и в общем случае не удается предложить какую-либо более вычислительно-экономную процедуру, чем прямой перебор всех 2~ возможных битовых профилей и сравнение результатов их подстановки в правую часть (10.5). Поэтому МП многопользовательский прием согласно правилу (10.5) характеризуется экспоненциальной сложностью по отношению к числу пользователей (см. численный пример в ~ 4.1). С другой стороны, обращение к многопользовательским алгоритмам представляется наиболее мотивированным именно в сценариях, где число пользователей столь велико, что стандартный приемник практически неработоспособен из-за высокого уровня ПМД.
Зтим объясняется интерес к квазиоптимзльным многопользовательским процедурам, сочетающим умеренную сложность с лучшими, чем у стандартного приемника, показателями качества. Обсуждению некоторых из них посвящена оставшаяся часть раздела. ра. Второе слагаемое в (10.7) есть ПМД, и интересен вопрос, можно ли подавить ее до нуля с помощью некоторого линейного преобразования входного наблюдения. Какой бы ни оказалась эта операция, ее результатом должен быть свободный от ПМД заменитель с~ корреляции з~, т.е. скаляр, позволяющий принять решение о текущем бите первого пользователя по правилу Ь| = в~дп (с~). (10.8) Любую линейную операцию, преобразующую у(1) в скзляр, можно реализовать как корреляцию с~ = / у(1)и(~) сй, (10.9) (10. 11) о отличающуюся от (10.3) лишь опорным сигналом и(й).
Тем самым мы пытаемся устранить ПМД, отказавшись от согласованной опоры л~(1) в пользу рассогласованной и(г), т. е. ценой энергетических потерь по от- ношению к тепловому шуму. Подобный прием уже встречался при син- тезе нуль-форсирующих фильтров, подавляющих боковые лепестки АКФ (см. 3 6.12). Подстановка (10.6) в (10.9) заменяет (10.7) статистикой К с~ = А~Ь|р~,„+ ~~' АьЬьрь, + п),. (10.10) йея где р~,„— — коэффициент корреляции Й-й сигнатуры с опорой ц(г), нормиро- Т ванной так же, как сигнатуры, а и', = ( п(1)и(1) Ж вЂ” шумовая компонента ~~.
о Воспользуемся представлением сигнатур и опоры и(8) в виде (2.50), характерном для СПМА с ПРС действительными сигнатурами: Ж-1 Ж-1 яь(Ф) = ~ аьдло(1 — гЬ), и(1) = '~ и;ло(1 — $Ь), к=о н=в где пб г' = О, 1,..., М вЂ” 1 — действительная кодовая последовательность опорного колебания и(1). Используя векторную запись кодовых последо- вательностей аь = (аье,аьд,...,аь,ь ~), и = (ие,им...,иа ) (см. 3 7.2) и полагая без потери общности энергию чипа Ед = 1, получим ры = = (аюа~) = аьа~~, рь„= (аь,п) = аьп~.
Для обнуления вклада ПМД в (10.10) независимо от амплитуд и битов сторонних пользователей необхо- димо соблюсти Х вЂ” 1 условий: рь = О, к > 2. Другими словами, опорный код и должен быть решением системы линейных уравнений аьпт = паь~ — — О, к = 2,3,..., Х. При этом, чтобы оставить полезный эффект ненулевым, р~„не должно равняться нулю, а следовательно, и есть не что иное, как соответственно масштабированное решение ч уравнения чА =е~, (10.12) ~~~396 Глава 10. Некоторые направленил дальнейшего прогресса где столбцами К х Х сигнатурной матрицы А служат кодовые векторы сигнатур: А = (а1, аз,..., ак), а е1 — К-мерный вектор вида е1 = т т т = (1, О, О,..., 0).
Когда сигнатурные векторы линейно независимы, система (10.12) может иметь множество решений, однако из всех векторов ч, удовлетворяющих ей, разумно выбрать лишь тот, который образован линейной комбинацией сигнатур, т. е. строк Ат: к = хАт, где х — неизвестный К-мерный вектор-строка. Резоном для этого предпочтения служит то, что включение в к составляющей, ортогональной пространству сигнатур, приведет лишь к росту нормы к, т. е. шума на выходе коррелятора, без увеличения полезного вклада в (10.10).
С этой подстановкой (10.12) принимает вид хА А = хС = еь Линейная независимость сигнатур (столбцов матрицы А) означает, что ранг корреляционной К х К матрицы С = АтА равен К, откуда следуют ее обратимость и единственность решения предыдущего уравнения: х = е1С 1. Таким образом, ч = «Ат = е,С-'Ат = е,(АтА) — 'Ат (10.13) представляет собой искомое решение (10.12), масштабирование которого и = чДч!) дает нормированную декоррелируюшую опору и, так что па1 — — рш. На практике такая нормировка не влияет на знак С1 в решают щем правиле (10.8) и потому необходимой не является.
Физически опорный вектор (10.13) ортогонален всем сигнатурам, кроме первой, полностью устраняя ПМД на выходе коррелятора, настроенного на сигнатуру первого пользователя. Действуя тем же путем, легко убедиться, что опорный сигнал к-го пользовательского приемника получается заменой е1 в (10.13) на вектор еь с единственным й-м ненулевым компонентом. Основной изъян описанного декорре ливра — его осуществимость только для линейно независимых сигнатур. Если это требование нарушено, любая попытка обратить ПМД в нуль неизбежно приведет к устранению и полезного эффекта (первого слагаемого) в (10.10).
В то же время линейная независимость означает соблюдение неравенства К < Ж, а при этом лучшим вариантом сигнатур оказывается ортогональный ансамбль (см. предыдущий подраздел), для которого однопользовательский приемник оптимален и автоматически подавляет ПМД без потерь в отношении сигнал-шум и какой-либо специальной декорреляции. При перенасьпцении же СПМА (К ) Ж) линейная независимость сигнатур невозможна в принципе и декоррелятор нереализуем. ~~~ 398 Глава 10.
Некоторые направление дальнейшеео проересса т где ие = ) п(с)во(е — 11л) ж — г-й отсчет шума на выходе чип-согласовано ного фильтра. Последний результат в (10.16) опирается на естественное предположение об ортогональности чипов, сдвинутых по времени на ненулевое целое число периодов повторения 13 (например, при длительности чипа, не большей Ь, они попросту не перекрываются). Теперь видно, что уеЬ1 = А1а1;, так как биты рюных пользователей независимы друг от друга (ЬьЬ1 = бм) и от шума (г4~~ = и; Ьь = О), и следовательно А утЬ1 Азат (10.17) Подобным же образом находится матрица уту, элементы которой являютсл корреляционными моментами у;у отсчетов у;. Согласно (10.16) с учетом некоррелированности отсчетов шума на выходе чип-согласованного фильтра, имеем К К к э 2 уеуд — — 1 ~~ АьА1ЬьЬ1аь;а1 + оесд — — ~~ Аьаь,аь .
+ о' 60, й=1 1=1 а=1 где о — дисперсия шумовой компоненты уь В результате Х х Х корре- 2 ляционная матрица В. вектора наблюдения у В, = уту = [у;у ] = АСэА + о~1к, (10.18) где 1к — единичная 11' х Ж матрица. Подстановка (10.17) в (10.15) после отбрасывания первого слагаемого, не зависящего от и, приводит к следующей скалярной функции, подлежащей минимизации по и Дп) пЯпт 2А2а1пт (10.19) В точке и экстремума функции Дп) градиент ~(п), т. е. вектор производных Дп) по всем координатам вектора и, должен быть равен нулю. Градиент Дп) выражается как 2(пВ.
— А~а1) (см. задачу 10.3). Таким образом, при обратимой матрице К вектор и, доставляющий экстремум Дп), дается равенством и = А~~а1В. 1, (10.20) в котором В. определяется из (10.18). Читателя, желающего удостовериться в том, что найденный экстремум является минимумом (10.19), отсылаем к задаче 10.3. Как видно, исследуемый алгоритм не требует обратимости сигнатурной корреляционной матрицы С = АтА; обратимой должна быть лишь корреляционная матрица наблюдений (10.18), что имеет место практически всегда.
Следовательно, в отличие от (10.13), решение (10.20) универсально вне зависимости от соотношения между К и М. Вместе с тем, по меньшей мере в одном важном частном случае решение (10.20) вырождается в однопользовательский алгоритм. Пусть сигнатурный ансамбль мО.е м г р . д 19~9) лежит на границе Велча, что означает ортогонзльность строк матрицы А (см.
подпараграф 7.2.3), т. е. АА = 1у. При равной интенсивности т всех сигналов Аь = А, к = 1,2, ..., К, Сг = А21к, и корреляционная матрица наблюдений (10.18) принимает форму В. = (Аг + стг)1ч, упрощая опору (10.20) до вида и = [Аг/(Аг + ог)[ам воспроизводящего (за исключением несущественной нормировки) первую сигнатуру, т. е. опорный сигнал стандартного приемника. Таким образом, для сигнатур равной мощности, достигающих границы Велча, никакого специального алгоритма МСКО нет и не требуется. Этот факт довольно тривиален, если Х < г1, так как при этом рассматриваемый ансамбль ортогонален, и однопользовательский приемник полностью устраняет ПМД с одновременной оптимальной очисткой от шума, однако, в варианте перенасыщения (Х > М) доказанное едва ли предсказуемо априори.
В литературе результат (10.20) часто встречается в иной форме, явно содержащей сигнатурную корреляционную матрицу С = АтА [99 — 101]. Прийти к ней можно, например, воспользовавшись леммой матричного обращения, приведенной здесь в адаптированном к контексту виде:  — ' = (АС2Ат+ 21 ) — ' = 1, А(АтА+ га — 2) — 'Аг (10 21) 1 1 „г Л' .2 Доказательство этого равенства сводится к непосредственной проверке (задача 10.4). Отметим, что оно верно всякий раз, когда С обратима, что автоматически выполняется при всех ненулевых амплитудах пользовательских сигналов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
