Ипатов В. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов (2007) (1151883), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Классические задачи приема и сиитез сигналов 1УЯЯ'(~ — т)М . Я(т) = (2.70) Основанное на данной величине правило оценки Х(т) = шах л (г) фиг зически весьма прозрачно: МП оценка т есть просто значение запаздывания, при котором закон модуляции сигнала обладает наибольшим сходством с законом модуляции наблюдения. Одним из возможных вариантов реализации указанного правила является использование банка корреляторов, представленного на рис. 2.18. Комплексная огибающая наблюдаемого колебания обрабатывается в М параллельных корреляторах, опорными сигналами которых служат сдвинутые по времени копии комплексной огибающей сигнала.
С выходов корреляторов снимаются значения Е(ть), к = 1, 2,..., М, подаваемые на селектор максимума, производящий их сравнение и выбор наибольшего. В качестве МП оценки выдается запаздывание опорного сигнала коррелятора с максимальным выходным откликом. Разумеется, данная структура оперирует с запаздыванием так, будто последнее принимает лишь дискретные значения. Если же в реальности это не так, она попросту квантует непрерывную величину т. Понятно, что при этом следует использовать такое число корреляторов (равное количеству дискретных значений зь), при котором дополнительная ошибка, вносимая квантованием, была бы достаточно малой.
Как было установлено в ~ 2.8, любая процедура оценки является частным случаем различения сигналов. В рассматриваемой ситуации приходится распознавать многочисленные копии сигнала (2.69), отличные друг от друга значением временнбго сдвига т, считаясь с присутствием мешающего параметра — начальной фазы ~р. К счастью, существует прямой способ преодоления неопределенности, вносимой случайностью <р: в ~ 2.5 было показано, что оптимальный выбор между некогерентными сигналами может быть заменен выбором между их детерминированными законами модуляции, т. е. комплексными огибающими. Следовательно, для оценки запаздывания следует сравнить сдвинутые во времени копии комплексной огибающей сигнала Я(~), посчитав одну из них за принятую.
Временной сдвиг выбранной копии и будет выдан в качестве МП оценки т запаздывания. Понятно, что предпочтение данной копии остальным основывается на ее минимальном расстоянии от принятой комплексной огибающей У($), илн, учитывая, что запаздывание — неэнергетический параметр, на максимуме ее корреляции с У(с). При этом значение корреляции оценивается абсолютной величиной (2.47), которая может быть переписана с учетом того, что роль номера сигнала Й теперь принадлежит значению т: Рис.
2.18. Реализапнн МП опенки запаздывания банком корреляторов Альтернативная структура измерителя запаздывания возможна на основе согласованного фильтра. Пусть наблюдение у(1) поступает на вход фильтра, согласованного с сигналом а(г). Найдем реакцию фильтра г(г), подставляя в интеграл свертки импульсный отклик фильтра гв(г) = л(Т вЂ” г) г нв) = / в~вЬд — в~ вв = ) ввваве — в в двв. Данный интеграл, представляющий собой скалярное произведение у(0) и л(Т вЂ” ~ + О), может быть вычислен с помощью (2.39) и (2.34) как т у(0)а'(Т вЂ” й+ О) г(0 о р) = ) в(в) (е - в -:- в) вв = -,а. ~ 1 т ((1 г. = Ве — ~ У(О)Я*(Т вЂ” й+ 0)гВ ехр( — у2ягоТ) ехрЦ2нгов) ~ ~2 в' о Сравнивая полученный результат с общей моделью радиосигнала (2.37), можно видеть, что квадратные скобки в нем выделяют не что иное, как комплексную огибающую на выходе фильтра.
Следовательно, действительная огибающая выходного сигнала (закон амплитудной модуляции), ~~(78 Глава л. Классические задачи ириеиа и синтез сиеиалав задаваемая абсолютным значением выражения в квадратных скобках (2.71) детектор глр) Фиксатор 1 = à — Т Рис 2.1В. МП изме- огибающей максимума ритель времеавбй запаздывания на осиове а! СФ УИ) Согласованный фильтр Г,„=т+Т 6! Схема рис. 2.19 представляется более прозрачной для пояснения идеи построения измерителя, на практике же многие программно-реализованные устройства оценки могут оказаться не столь очевидно отождествимыми с любой из двух рассмотренных структур.
2.12.2. Точность оценки Согласно (2.59), дисперсия оценки т зависит от скорости, с которой сдвинутая по времени копия сигнала теряет сходство с исходным образцом. Для сигналов со случайной начальной фазой получение МП оценки связано со сравнением лишь детерминированных комплексных огибающих. Степень сходства рассогласованных во времени копий комплексной огибающей характеризуется огибающей АКс1> сигнала (2.67) 1 à — / Я(1)Я'(1 — )тй, 2Е,/ ро(т) = )р(т)) = (2.72) т. е.
повторяет в реальном времени (с несущественным коэффициентом 1/2) копию модуля корреляции (2.70), сдвинутую по времени на заранее известную длительность сигнала. Отмеченный факт лежит в основе возможной схемы МП измерителя запаздывания т, показанной на рис. 2.19, а. Наблюдение у(1) вначале обрабатывается согласованным фильтром, выходной сигнал которого подается на детектор огибающей. Последний блок фиксирует момент времени Ф,в, когда сигнал тл(т) на выходе детектора достигает максимального значения. В итоге МП оценка т получается как результат вычитания из Цв известной константы Т (рис.
2.19, б). и позтому именно ее кривизна влияет на дисперсию ошибки оценки запаздывания, что подкрепляется и убедительной физической аргументацией. Действительно, как следует из равенств (2.70) — (2.71), модуль АКФ (2.72) представляет собой (с точностью до непринципиального сомножителя) свободную от шума огибаюшую на выходе согласованного фильтра, принимающую максимальное значение в некоторый»истинный» момент 1 е (см. рис. 2.20, а, сплошная линия).
В присутствии шума временное положение максимума ~,в флюктуирует относительно истинного значения (см. рис. 2.20, а, пунктирная линия) в диапазоне, зависящем от остроты сигнального пика на выходе фильтра, т. е. модуля АКФ (2.72). »» а) Рис. 2.20. К точности оценки запаздывания Чтобы лучше понять смысл последнего утверждения, примем во внимание, что фиксация максимума гл(1) на выходе детектора равносильна регистрации момента пересечения нулевого уровня производной т~~Я (при условии надежного устранения влияния ложных»нулей», вызванных возможными побочными максимумами). Сказанное иллюстрируется рис. 2.20, б.
При достаточно большом отношении сигнал — шум отклонение е = 1,в — ~,ве мало, и допустимо полагать, что «зашумленная» кривая тд~ф (пунктирная линия) линейна на интервале [1,во,1„,) с тем же наклоном в точке 1,во, что и незашумленная (сплошная линия). Тогда из треугольника на рис. 2.20, б значение е может быть найдено делением длины штрих-пунктирной линии на крутизну незашумленной кривой г~л(Ф) в точке 8,ве, т. е. на вторую производную глп(1»ве). В свою очередь, послед- нЯЯ есть в точности Рп(0), так что е т'(вв,о)7РЯ(0).
С дРУгой стоРоны, дисперсия шумового отклонения г,' (1 о) от нуля тем больше, чем меньше отношение сигнзл-шум и чем вьппе скорость изменения зашумленного колебания гя(~) на выходе детектора (штриховая линия на рис. 2.20, а). Информация о скорости флюктуаций случайного процесса содержится в остроте его АКФ, а АКФ случайного процесса на выходе детектора при большом отношении сигнал — шум повторяет огибающую АКФ шума на 'Ьи Г Й. к « а д р входе детектора.
В случае, когда фильтр согласован с сигналом, упомянутая огибающая есть не что иное, как огибающая ро(т) АКФ сигнала. Поскольку острота любой АКФ определяется второй производной в нуле со знаком минус, дисперсия тд~(1 о) пропорциональна — ро(0). Тогда дисперсия ошибки измерения ро(т) =— 2Е ~ ~ !Я(у)!эехр(у2яут) 4 где спектр комплексной огибающей Я(~) физически (пренебрегая коэффициентом пропорциональности) повторяет спектр радиосигнала, перенесенный в низкочастотную область. Тогда, согласно известным свойствам преобразования Фурье, т, — 1/И', другими словами, чем уже АКФ, тем шире спектр сигнала и наоборот.
Прямым следствием этого оказывается положение о возможном повышении точности измерения времени ах(тдр о)1 1 ~рл(0) Р -р,"(0) обратно пропорциональна остроте АКФ сигнала — ро(0), как и предсказывалось и как следует из границы Крамера — Рзо (2.59). В итоге мы пришли к следующему важному заключению: точность измерения времени критически зависит от острошы АКФ сигнала и чем острее АКФ, тем меньше дисперсия МП оценки запаздывания т.
Наряду с — р~о(0) в качестве индикатора остроты АКФ может служить иншероал (время) корре ищии сигнала, обозначаемый как т,. Указанный параметр характеризует ширину АКФ сигнала (см. рис. 2.20, а) и подобно длительности н ширине полосы сигнала — вводится на основе некоторой договоренности, так как АКФ может иметь достаточно сложную форму и спадать до нуля лишь асимптотически.
В свете определения АКФ можно в первом приближении считать, что копии сигнала (или комплексной огибающей), рассогласованные по времени на т с т„., имеют значительное сходство, тогда как при т > т, их сходство пренебрежимо мало. Очевидно, что предыдущее заключение можно теперь сформулировать и так: сигналы с узкой АКФ, т.е.
малым временем корреляции, предпочтительнее с точки зрения повышения точности оценки запаздывания. Продолжая, напомним один из ключевых фактов спектрального анализа, непосредственно вытекающий из (2.72) после применения теоремы Парсеваля: АКФ и энергетический спектр сигнала связаны друг с другом преобразованием Фурье. В терминах комплексной огибающей это преобразование имеет вид за счет использования сигналов с широким спектром. Формально к тому же выводу приведет дифференцирование последнего выражения для АКФ огибающей и подстановка полученного результата в (2.59). Результатом подобных несколько утомительных выкладок окажется равенство, нередко упоминаемое в литературе как формула Вудворда 1 ~ах 111 (2яИ )г, г' где ширина спектра сигнала участвует в виде средкеквадрашической полосы, определяемой соотношением На первый взгляд не столь просто понять, почему этот параметр дает одно из возможных определений ширины полосы сигнала.
При подобном затруднении полезна аналогия с более привычными вероятностными категориями. Дисперсия случайной величины х с нулевым средним и плотностью вероятности И'(х) определяется как маг(х) = / х~И'(я) дх, характеризуя диапазон разброса х относительно среднего, или, что эквивалентно, ширину кривой И'(л). Так как нормированный энергетический спектр ф(/)~~/2Е неотрицателен и удовлетворяет условию нормировки [ф(У) ~г/2Е) с(/ = 1, его можно трактовать как плотность вероятности некоторой случайной переменной.
Тогда И; , является мерой разброса последней и, следовательно, параметром, характеризующим ширину энергетического спектра ф(/)~ . Таким образом, в общих чертах сигналы с широкой полосой И', или, что эквивалентно, узкой АКФ (малым временем корреляции т,) в задачах измерения времени более предпочтительны. В сопоставлении с двумя ранее рассмотренными измерительными задачами ситуация выглядит достаточно новой — имеется реальный ресурс повышения точности вне варианта «грубой сплыл, т.е. простого увеличения энергии. Подчеркнем теперь, что сигнал с большим значением И" не обязательно является широкополосным в смысле определения принятого в ~ 1.1. Действительно, при адекватном введении времени корреляции т, и длительности Т сигнальные копии, сдвинутые по времени более чем на Т, практически не перекрываются, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
