Ипатов В. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов (2007) (1151883), страница 14
Текст из файла (страница 14)
МП оценка амплитуды является строго (а не только асимптотически) несмещенной. Не составляет труда оценить и дисперсию А: ~~(А) = (2.61) Я где принят во внимание результат (2.15), а дз отношение сигнал-шум для эталонного сигнала (т.е. сигнала с единичной амплитудой). Можно показать, что (2.61) точно воспроизводит границу Крамера — Рао, обеспечивая строгую (а не только асимптотическую) э44ективность МП оценки амплитуды сигнала. Этот редкий случай строгой оптимальности оценки связан с энергетической природой амплитуды и ниже при рассмотрении неэнергетических параметров более не встретит(я. Итак, какие же требования к синтезу сигналов предъявляет задача измерения амплитуды'? Как показывает (2.61), точность оценки зависит исключительно от энергии сигнала.
Никакое усложнение закона модуляции при неизменной энергии сигнала не в состоянии повысить точность измерения. Следовательно, рассмотренная классическая задача приема не содержит каких-либо предпосылок к привлечению широкополосной технологии. 2.10. Оценка фазы Обратимся теперь к ситуации, в которой носителем полезной информации выступает начальная фаза сигнала. Данный случай типичен для когерентных локационных и навигационных приемников, устройств восстановления несущей систем передачи данных с ФМ и КАМ, демодуляторов систем мобильной радиосвязи 2-го и 3-го поколений, каналов цветности в аналоговом телевидении и многих других приложений.
Преобразуем модель радиосигнала (2.24), отделив постоянную (на интервале наблюдения) начальную фазу ~р, являющуюся неизвестной и подлежащей измерению: в(1;Ю) = Я1) сов(2 Уо1+ч(1) + р). Поскольку ~р — неэнергетический параметр, то Е(ф = Е и нахожде- ~~~т2 Х"вава е.
Квассичесние задачи приема и синтез сиеналов г ние МП оценки фазы сводится к максимизации з(~р) = ) у(г)в(г; ~р) Ж по о ~о е [ — я, я]. Чтобы воспользоваться соотношением (2.59), учтем, что р(~р) есть по определению косинус угла между двумя сдвинутыми по фазе на угол ~о копиями сигнала, т.е. двумя векторами, разделенными углом у. Следовательно, р(~р) = сов ~р, рв(0) = — 1 и дисперсия МП оценки ф 1 чзг1р1 = —, о » 1. Д Вновь, как и в случае измерения амплитуды, точность оценки фазы зависит только от отношения сигнал — шум.
Таким образом, и эта классическая задача приема нейтральна к закону модуляции при неизменности энергии сигнала и, следовательно, никак не сгпимулирует к применению широкополосных сигналов. 2.!! . Автокорреляционная функция и отклик согласованного фильтра Теория систем с расширенным спектром в значительной степени бази- руется на понятии авпгонорреллционной функции (АКФ) сигнала, являю- щейся скалярным произведением двух копий одного и того же сигнала, сдвинутых по времени относительно друг друга на т секунд: Я(т) = (во, в ) = / в(1)в(~ — т) г(г.
(2.62) Запаздывание сигнала по времени т — неэнергетический параметр (Е(т) = Е), и умножение (2.62) на Е 1 приводит к нормированной АКФ, являющейся попросту коэффициентом корреляции сдвинутых во времени копий сигнала р(т) = ' = ' = — / в(1)в(8 — т) гй. (во~вт) (во~вт) '6вр Е Е (2.63) Я(т) < В(0) = Е, Щт) = ٠— т) еч р(т) < р(0) = 1, р(т) = р( — т). (2.64) С учетом (2.39) и (2.34) не составляет труда убедиться, что для любого Ясно, что последняя величина характеризует скорость ослабления сходства сдвинутых во времени копий сигнала с ростом их рассогласования по запаздыванию т. В соответствии с общими свойствами коэффициента корреляции р(Л), приведенными в 3 2.8, АКФ вЂ” четная функция т, имеющая максимум в нуле В.Ы ~. °,~~. «в„,Уц,~„° ° -'---.- ° ф .
р ф радиосигнала (2.37) АКФ можно выразить как Я(т) = Ве ехр(~2я~ет), р(т) = Не [р(т) ехр(~21г1От)], (2.65) 1 В(т) где В(т) = (ВО, В.) = 1 яИ)я*( — ) ж (2.66) — АКФ комплексной огибающей Я(~) или, другими словами, закона модуляции. Нормированная версия АКФ (2.66) ° ( ) ( 0~ .т) ( О~ т) / э( )~*(~ )л/ (267) !!й' является коэффициентом корреляции двух сдвинутых по времени копий комплексной огибающей Я(1) и служит (после взятия модуля) показателем скорости ослабления сходства между сдвинутым по времени и исходным законами модуляции с ростом рассогласования т.
Как следует из (2.65), АКФ р(г) радиосигнала з(1) может сама считаться радиосигналом, закон модуляции которого определяется АКФ р(т) комплексной огибающей Я(1). В частности, действительная огибающая РО(т) АКФ з(1) является модулем р(т): ре(т) = ~р(т) ~, что иллюстрируется рис.
2.16. Технически любая АКФ может быть получена как выходной сигнал коррелл- 1 тора, т.е. устройства, напрямую выполняющего операции, предписываемые со- Р,(б отношениями (2.62) или (2.66). В этом / случае вычисления во всем диапазоне значений т выполняются раздельно по точ- т кам, т.е. последовательно во времени или / за счет применения банка параллельных корреляторов.
Альтернативной структурой является соеласоеанный Яильтпр,т.е. ЛИНЕЙНОЕ УСтРОйСтВО С ИМПУЛЬСНЫМ От- р я 1О Акф рад кликом в виде зеркальной реплики сигнала: Ь(Ф) = з(Т вЂ” 1), где Т вЂ” длительность сигнала, а непринципиальный коэффициент пропорциональности принят равным единице. Данный фильтр появляется всякий раз при синтезе оптимального приемника для АБГШ канала, однако его оптимальность зачастую не ограничивается рамками только этой специфической модели канала.
В частности, для фиксированного сигнала согласованный фильтр макснмизирует среди всех линейных систем выходное отношение сигнал — шум. В рассматри- ~74 Г ьк д ваемом же контексте согласованный фильтр важен своей способностью вычислять и воспроизводить АКФ как выходной сигнал в реальном времени.
Для подтверждения зтого приложим сигнал л(1) ко входу согласованного с ним фильтра. Реакция фильтра г(1) может быть вычислена как интеграл свертки г(1) = л(д)Ь(1 — О) Нд = з(д)л(Т вЂ” ~+ О) Ыд = / л(д)л(д — (1 — Т)) Ид = В(1 — Т) (2.68) и, как видно, воспроизводит АКФ в реальном времени с заранее известной задержкой, равной длительности сигнала. Рис.
2.17. Иллюстрация к слизи АКФ с откликом согласованного фильтра Для иллюстрации к сказанному обратимся к рис. 2.17. Прямоугольный видеоимпульс л(1) длительности Т (см. рис. 2.17, а) обладает треугольной АКФ Н,т) длительности 2Т с максимумом в нулевой точке (рис. 2.17, б, пунктирная линия). Согласно соотношению (2.68) реакция на него согласованного фильтра представляет собой копию подобной АКФ с запаздыванием, равным длительности сигнала Т, так что максимальное напряжение на выходе фильтра наблюдается в момент окончания входного сигнала (рис. 2.17, б, сплошная линия). Для радиоимпульса с прямоугольной огибающей з(1) АКФ оказывается треугольным радиоимпуль- ежа д рд ф сом (рис.
2.17, в, пунктирная линия), а сигнал на выходе согласованного фильтра - — запаздывзющей на Т копией последнего (рис. 2.17, в, сплошная линия). Максимум отклика фильтра, согласованного с сигналом, всегда приходится на момент окончания сигнала (по крайней мере, не ранее), поскольку этот фильтр должен обработать весь сигнал целиком. Поучительно также отметить, что для радиосигнала моменты максимумов огибающей и высокочастотного заполнения на выходе согласованного фильтра всегда совпадают, поскольку любая АКФ имеет максимум в начале координат (см.
рис. 2.16). 2.! 2. Оценка запаздывания радиосигнала 2.12.1. Алгоритм оценки Задача, рассматриваемая в этом параграфе, является одной из наиболее часто встречающихся в приложениях. Она типична для телевидения (каналы синхронизации), цифровых систем мобильной радиосвязи (пилотные каналы, тактовая синхронизация), радиолокации (измерение дальности до цели), навигации космического и наземного базирования (измерение расстояния до маяков) и т.п. Практически в любой современной системе обработки информации для нормальной работы требуется совмещение местной временнбй шкалы с системной, данные о которой должны извлекаться из принятого колебания. Подобная процедура и есть не что иное, как оценка запаздывания сигнала.
Предположим, что радиосигнал (2.37) в(1) = Ве [5(1) ехр(~2яД1)], распространяясь по каналу, приобретает неизвестные запаздывание т и начальную фазу гро, т.е. принимает вид в(1; т;ро) = в(Ф вЂ” т; уо) = Ве(Я(~ — т) ехр[у2яУо(1 — т) + уро]). Во многих ситуациях фаза ро случайна и равномерно распределена на интервале [ — я, я] т, т.
е. не содержит информации о предмете интереса— запаздывании т. Включим фазовый набег, обусловленный запаздыванием т в полную начальную фазу ~р = — 2ягот + ~ро. Последняя, оставаясь случайной и равномерно распределенной на интервале [-я, я], вновь независима с т, т.е. не содержит информации об измеряемом временнбм сдвиге вследствие деструктивного вклада ро. Тогда принятый сигнал может быть представлен как в(1 — т; гр) = Ве [Я(1 — т) ехр((2я го1) ехрОгр)], где запаздывание т является неизвестным полезным параметром, подлежащим измерению, а р — бесполезная начальная фаза, неопределенность которой лишь потенциально затрудняет оценку т; ~~~76 Глава в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
