Варакин Л.Е. Теория систем сигналов (1978) (1151881), страница 7
Текст из файла (страница 7)
(1.43) Комплексная амплитуда а;, определяет амплитудную манипуляцию [а;»[ и (или) фазовую манипуляцию 0;„а функция Ф!» (!) определяет «манипуляцию по форме». Для простоты будем называть Фь» (!) формой»-го элемента. Подставляя (1.43) в (1.42), имеем У~(!)= ~Р а!»Ф[! — (» — 1)Л!) ехр(!(у;» — 1)Ьь»[! — (» — 1) Л!)). (1.44) В общем случае ДЧ сигналы первого порядка могут отличаться друг от друга амплитудами [а!»[, фазами 0;», формами элементов Ф;» (!), сдвигами частот, определяемых у!».
Каждый из приведенных параметров определяется своей матрицей-строкой, которую будем называть кодовой последовательностью. Манипуляция по амплитуде описывается амплитудной кодовой последовательностью [Ая[ = ([ап[, ...,[аь»[) (1.45) манипуляция по фазе — «йазовой кодовой последовательностью1 Е,=(0п, ..., 0; ), (1.46) 30 манипуляция по частоте — частотной кодовой последовательностью Г,= (тп, ...,7, ), (1.47) манипуляция по форме — элементной кодовой последовагпельностью % = (Фп, .", %н). (1.48) Одновременная манипуляция по амплитуде и фазе описывается матрицей-строкой Ат — — (ап, ..., атн), (1.49) которую назовем амплитудно-фазовой кодовой последовательностью. В тех случаях, когда используется манипуляция только одного па- Рис. 1.15 раметра, матрицы-строки (1.45) — (1.49) будем называть просто кодовыми последовательностями. Спектр комплексной огибающей т-го элемента согласно (1.13) описывается формулой 00 6;т(в) = ~ У1,(!) е — '"'й!. (1.50) Соответственно спектр комплексной огибающей ДЧ сигнала первого порядка равен сумме спектров его элементов, т.
е. 61(в) = ~ 6;,!ы — (т;,— 1) Лв] ехр ] — ! (т — 1) вЛ!], (1.51) Поясним распределение энергии ДЧ сигнала на частотно-временной плоскости. На рис. 1.15 по осям времени и частоты условно изображены комплексная огибающая элемента У1, (!) и модуль ее спектра ] 6;, (~)], а'штриховкой выделена часть частотно-времен- 31 ной плоскости, на которой сосредоточена основная доля энергии элемента. Запаздывание по времени согласно (1.40) равно (т — 1)б(, а смещение по частоте согласно (1.41) (у;, — 1)бг. Последовательно переходя от элемента к элементу, можно найти распределение энергии всего сигнала на частотно-временной плоскости. Пример такого распределения приведен на рис.
1.14. Б общем случае длительность элемента Т, может отличаться от интервала между соседними элементами по времени И. Точно так же и ширина спектра элемента Р, может отличаться от сдвига сигнала по частоте Ь~. Будем считать, что Т, < И, Т, ( ЛГ, т. е. элементы не перекрываются по времени и частоте. В этом случае согласно рис. 1.14 длительность сигнала и ширина его спектра рав- ны Т = (У вЂ” 1)И + То Р = (М вЂ” 1)А~+То (1 52) В тех случаях, когда И = Т, и Л1 = Е, имеем: Т=УТ» В=МВ». (1.53) равенства (1.53) База сигнала согласно (!.3) при выполнении равна В = РТ = МУВ, где (1.54) Вв = роТ» (1.55) — база элемента. Таким образом, база сигнала в МУ раз больше базы элемента.
Если в качестве элемента взят простой сигнал с В, = 1, то из (1.54) имеем: В =МУ; (1.56) при М = У получаем М» (1.57) а ~ Во МВоиакс (1.58) где В,„,„, = Л1М вЂ” максимальная база элемента. Если В» (( (( В,„,„, и М )) 1, то доля используемой площади базисного прямоугольника мала. Среди различных методов выбора элементов самым простым является такой, при котором все элементы имеют одинаковую форму, т. е. (1.59) 32 что и было отмечено при кратком описании ДЧ сигнала первого порядка в 2 1.2. Определим долю используемой площади базисного прямоугольника, которую обозначим через е. Из рис. 1.14 следует, что она равна е = УВ,!В. Подставляя в это выражение значение базы элемента В, (1.55), заменяя базу В согласно (1.52), полагая, что М )) 1 и У )) 1, и от.
брасывая малые более высокого порядка, получаем При этом комплексная огибающая ДЧ сигнала первого порядка согласно (1.44) Оз(!)= ~ а!эФ;[1 — (и — 1) Л(]ехр(! (у!,— 1)Ла[1 — (1 — 1) Л1]), и= ! (1,60) а ее спектр в соответствии с (1.51) Ог (а) = ~ а!, Зг [а — (у!„— 1) Ла] ехр [ — ! (и — 1) аЛг], (1.61) и=! где ФО 5г (а) = ) Фг (1) ехр ( — !а()<[1 — ОО (1.62) и и Ям (т, 4)) = ~ч~~ ~ч", р Йг [т — (и — 1!) ЛГ, й -]-(у!, — уь,„) Лоз] епа !' и' ч=! !! ! (1.63) годе множитель р=Ф'Я Е~!Е;Е,; (1.64) Е;, ń— энергии ]с го и й-го сигналов, определяемые согласно (1.15); Е!„Е„„— энергии и-го элемента /-го сигнала н р-го элемента й-го сигнала; индекс ~=]т, йр (1.65) 33 — спектр формы элемента.
Сравнивая попарно между собой выражения (1.44) и (1.51), (1.60) н (!.61), можно заметить, что они имеют много общего. Например, в (1.60) аргумент у комплексной огибающей и-го элемента определяется сдвигом по времени, а в (1.61) аргумент у спектра комплексной оп!бающей этого >ке элемента — сдвигом по частоте. Аналогично и фазовых множителях (экспоненты в (1.60), (1.61)) сдвиг по времени в (1.60) заменяется сдвигом по частоте в (1.61). 'Такая общность указанных выражений не является случайной, а определяется структурой ДЧ сигналов первого порядка. Свойства взаимности частотных и временных соотношений у ДЧ сигналов назовем частотно-временной дуальностью. Использование частотно-временной ,дуальности очень часто позволяет существенно уменьшить объем :исследований при решении задач.
Корреляционные функции ДЧ сигналов первого порядка. Подставляя в формулу (1.17) комплексные огибающие )сго и й-го ДЧ сигналов первого порядка, определяемых согласно (1.42), и производя преобразования, получаем ВФН этих сигналов: — некоторая комбинация индексов 1, т, /г, р, причем т, р = 1, У, 1,й = 1, У, а У вЂ” объем системы сигналов; ВФН элементов с индексом Я О> )сз(т, Й) = 1 Ум(8) Уь„(т — т)е1а'с(1; (1,66) )' Е1т Е4и фазовый множитель зг (т, Й) = (узы — 1)Лсэт + (т — 1)ЛЯ вЂ” (т — )4Нузи — !)аксай(. (1.67) Из (1.63) видно, что ВФН ДЧ сигналов первого порядка равна сумме ВФН элементов, из которых эти сигналы состоят, причем в Ц;и-Ь)~ о 11р)ла х Рис. !.16 Рис.
1.17 (1.63) суммирование производится по всем индексам т, р. Чтобы знать, как происходит такое суммирование, рассмотрим распределение ВФН Ях ( ) на плоскости неопределенности (т, Й). Из (1.63) следует, что центр ВФН Яз (.) смещен по времени на величинУ (т — Р)М и по частоте на (У„„— 7;с)асс. РаспРеделеннг ВФН около центра определяется формами элементов, их длительностями и шириной их спектров. На рис. 1.16 положение центра отмечено точкой, штриховкой выделена прямоугольная область, внутри которой сосредоточена ВФН Ях ( ).
Ширина прямоугольника по времени согласно рис. 1.12 равна сумме Т„„+ Т,д„— — 2Тс, а по частоте — Я7,7, + Ж,мц, — — 2974, так как длительности элементов и ширина их спектра у различных сигналов могут быть разными. (Напомним, что )Р", = 2пР,.) Такое распределение соответствует общим свойствам ВФН двух сигналов (рис. 1.12). Если элементы удовлетворяют условиям (1.53), то положения центров определяются пересечением линий, образующих сетку на рнс.
1.17 (узлами сетки). ВФН )сг ( ) распределена в прямоуголь- 34 йике, выделенном штриховкой. Стороны прямоугольника по времени и частоте равны 2И = 2Т, = 2Т!Ю и 2Л!» = 2[Р', = 2Ж!М соответственно. Из рис. 1.17 видно, что каждая )тг ( ) может перекрываться не более, чем с четырьмя соседними )тг ( ). Конечно, такое положение справедливо приближенно.
При решении конкретных задач вопрос о взаимном перекрытии ВФН )сг ( ) должен быть уточнен в соответствии с условиями решаемой задачи. Обычно требуется, чтобы ВФН Ять (т, (г) имела минимально возможные значения. Для этого необходимо синтезировать такие сигналы, у которых все возможные ВФН 1сг( ) не перекрываются. В настоящее время известен ряд сигналов [46, 68), удовлетворяющих этому требованию, однако общее решение такой задачи не известно.
Пусть энергия сигналов и элементов равны между собой, т. е. Е! = Ед —— Е и Е;, = Е!,я = Е,. Из (1.64) получаем, что р = = Е,7Е = 1/У н не зависит от индексов суммирования в (!.63). Допустим, что элементы 1-го и я-го сигналов имеют одинаковую форму, т. е. имеет место равенство Ф(1) = Ф!э(1) = Фья(1).
(1.68) Обозначим ФН формы Ф (!) через )!!ф (т, !1). Согласно (1.22) имеем 00 1тф (т, (т) = — 1 Ф (г) Ф (1 — т) ени !11. (1.69) 2Еф В этом случае ВФН ДЧ сигнала первого порядка согласно формулам (1.43), (1.63) — (1.69) описывается следующей формулой: и и Рлк (т, Й) = — '~' ~~' а!э а!,я йч, [т — (и — р) Лг, Й+ (7!, — уа„) Лв[ Х т=!я=! Х ехр [[зг(т, !2)). (1.70) Отметим, что формула (1.70) справедлива при выполнении условия нормировки комплексных амплитуд. ~'„[а!,[' = ~ч~ [а„,['=у.
(1.71) м=! я= ! Дискретные частотные сигналы произвольного порядка. Как было отмечено ранее, ДЧ сигналы порядка К содержат на каждой временной позиции по К элементов, т. е. имеют У временных элементов, состоящих в свою очередь из К частотных элементов. Такой сигнал можно трактовать как сумму К ДЧ сигналов первого порядка, элементы которых не перекрываются. Пример ДЧ сигнала второго порядка приведен на рис. 1.13. Обозначим элементь!, стоящие на т-й временной позиции, номером хт, причем х = 1, К, т = 1, М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
