Варакин Л.Е. Теория систем сигналов (1978) (1151881), страница 6
Текст из файла (страница 6)
(1.19) Плоскость (т, й) называется плоскостью неопределенности, а поверхность, образованная значениями ВФН Яэд (т, й), — поверхностью неопределенности. Центром ВФН Яэд (т, й) является точка с координатами т = О, й = О, расположенная в начале координат. Центром ВФН Ягд (т — т„й — й,), смещенной по осям време- Рис. 1.11 Рис. 1.10 Рис. !.12 ни и частоты, назовем точку с координатами т = т„й = й„ а значение ВФН Яэд (О, 0) = Яэд в этой точке назовем коэффициентои корреляции.
В случае сигналов, не ограниченных по времени и по частоте, подынтегральные выражения в (1.17), (1.18) не равны тождественно нулю при любых значениях т и й. Поэтому ВФН таких сигналов распределена на всей плоскости неопределенности (т, й). ВФН финитных сигналов длительностью Т распределена в полосе )т! ( Т, 1Ц ( со, которая выделена на рис. 1.10 штриховкой. Если вне полосы частот шириной )Р' = 2пг содержится малая часть энергии сигнала, то приближенно можно считать, что ширина спектра сигнала равна г. При этом можно полагать, что ВФН распределена внутри заштрихованного прямоугольника со сторонами 2Т и 2(Р' (рис. 1.11).
Иногда необходимо знать распределение ВФН сигналов с различными длительностями и спектрами различной ширины. Пусть длительности сигналов 1 и й равны Тп Тд, а ширина их спектров Ж'я )Р». Положим также, что середины сигналов смещены относительно момента 1 = 0 на величину (в (ю а середины спектров смещены на с«п с«д относительно а = О. Можно показать, что центр ВФН этих сигналов имеет координаты тс = Рэ — 1»~ йс = с«д — «Ъ (1.20) 24 а стороны прямоугольника, в котором ВФН распределена, имеют длину Т1 + Тд и )Р1 + )Рь (рис. 1.12).
Координаты центра определяются как среднеарифметические значения границ прямоугольника по соответствующим осям. Взаимокорреляционная функция (ВКФ) является сечением ВФН при й = О. Полагая Ет = Е„= Е, й = О, из (1.18) получаем г,,(т)= — ~ и,(1)й,(1 — )ж= 1 2Е Ю вЂ” 61(в) 6 (в) е~втДв 4иЕ,) (1.21) Функция неопределенности (ФН). Если фильтр согласован с сигналом, т. е.
1 = й, то из (1.18) получаем определение ФН Рз (т, й) =. — ~ У1 (1) Ут (1 — т) ею' Й = 1 [. — ( 6 (в — й) 6 (в)е'"'г(в. 4лЕ СО (1.22) Автокорреляционная функция (АКФ) — сечение ФН при й = О. Полагая й = О, из (1.22) находим С О Рг(т)= — ) 61 (1) Ут(1 — т) й = — ') ~ 6;(в) 1те'"т г(в. (1.23) Р Рз(й)= — ~ ~ 61(1) 14ещ4 й= — ~ 6,(в — й)67(в)Ев. (1.24) Из первого равенства (1.24) следует, что ЧКФ является преобразованием Фурье квадрата огибающей сигнала.
Максимум и симметрия корреляционных функций. В целом функции (1.17), (1.18), (1.21) — (1.24) называются как было отмечено ранее, корреляционными функциями (КФ). Известно 125), что макси- 25 Из этого равенства (1.23) видно, что АКФ является преобразованием Фурье энергетического спектра комплексной огибающей сигнала.. Частотная корреляционная функция (ЧКФ) — сечение ФН при т = О.
Полагая т = О, из (1.22) получаем мум КФ имеет место лишь при 1 — а и т = О, й = О, т. е. только в центре ФН (или АКФ иЧКФ). Максимум равен Л (О, О) = Л„ (О, О) = 1, (1.25) а Это( М+о< 1,!Я (т*())!о+о(1 (1.26) а~о Свойство симметрии КФ заключается в том, что ято( — т, — й) = Р„(т, й)е'и'. Из (1.27) следует, что !Рм( —, — (1)! = !Рм(т О)! (1.27) (1. 28) ! %1 ( —, — О) ! = ! Рт (, ())!, Рт( — г) = Тт(т), йт( — 1)) = Р! Ф).
(1.29) (1.30) Объем и среднеквадратические значения ВФН и ФН. Известно (см., например, 1223!), что объем, заключенный между поверхностью, описываемой квадратом модуля ВФН, и плоскостью неопределенности (или просто объем ВФН), равен единице, т. е. и не зависит от формы и номеров сигналов. Полагая 1 = я, имеем более известный результат: объем ФН также не зависит от формы сигнала и равен единице, т. е. (1.32) Формулы (1.3!), (1.32) позволяют найти эффективные значения ВФН и ФН.
Обозначим эти значения через Ятоофф и йтофф. Полагая, что ВФН и ФН приближенно распределены на прямоугольнике (см. рис. 1.11), и обозначая Я7 = 2аР, согласно (1.31), (1.32) можем записать, что Яо~„офф4РТ = йомфф4РТ = 1. Отсюда находим й,фф — — Рм,фф = Ц,фф —— 172Р РТ. (1.33) Из (1.33) видно, что чем больше база сигнала, тем меньше средне- квадратические значения.
Формулы (1.31) — (1.33) имеют большое принципиальное значение. Интегральные равенства. В теории сложных сигналов известен ряд интегральных равенств (см. например, работы (4,22, 25, 29, 99, 153, 223]), которые позволяют находить различные оценки КФ. Из- 26 вестно, что для четырех сигналов с номерами 1, я, 1, и имеет место соотношение [2231 ~Ю тг ~(т»Мь:гв(ти 11~)= — „0)(м(т ы)тст (т ьз)е ' "' СО (1.34) Из (1.34) можно получить ряд интегральных равенств [22, 25[. Умножая обе части (1.34) на ехр ( — !зт,), интегрируя по т, и используя свойства дельта-функции, получаем Р,(т» ЙДЯть(т»ЯДе-'~ Нт,= (1.35) В дальнейшем индекс 1 будет опущен.
Из формулы (!.35) можно найти частные интегральные равенства. Рассмотрим их. а). Положим [=А=1, я=О. Имеем ОР О ~ [Я(т 12) [з„, ~ [)~ (.,) [.е-,~тДт. (1.36) Средняя мощность модуля ФН в сечении 11 = сопя! является преобразованием Фурье от квадрата АКФ. Равенство (1.36) можно найти в [41, а его использование для определения частичного объема ФН в [29!. б).
Положим [=и, А=1, а=О. Имеем СО СЮ ~ [йж (т,(2)[' йт = ~ Р~(т)Яь(т)е-'отг[т. в). Положим /=т, й=1, г=й,=О. Имеем Ф СО ~ [%4(т)[ г[т= ~ тгт(т)тгь(т)г[т. (1.37) Из (1.37) следует, что среднее значение квадрата модуля ВКФ сигналов с номерами 1 и й равно среднему значению произведения их АКФ.
Интегральное равенство (1.37) приведено в работе [1531, где даны и некоторые оценки ВКФ. 27 Обозначим квадраты эффективных значений ВКФ через 1 тт!Атфф= ! тт1А(т) ~ 'тт 2Т (1.38) 2Т где Т вЂ” длительность сигнала, а д = 1 или д = я. Используя неравенство Буняковского — Шварца, из (1.37) получаем ) 1А эфф ( РтвффК фф' Из (1.39) следует, что для уменьшения эффективного значения ВКФ необходимо уменьшать эффективные значения АКФ.
Отметим, что переход от (1.34) к (1.35) был совершен путем умножения на ехр ( — 1зтт) и интегрированием по т,. Если умножить обе части равенства (1.34) на ехр (1гЯА) и проинтегрировать по Й„ то можно получить интегральные равенства, аналогичные (1.35)— (1.38), но для частотных сечений. В этом случае также можно найти оценки, аналогичные (1.39). Корреляционные функции (1.17) — (1.34) справедливы для любых сигналов. В следующих параграфах данной главы показано, какие особенности имеют корреляционные функции сигналов того или иного вида. 4.6. Дискретные частотные сигналы В Э 1.2 было отмечено, что по виду используемых элементов сигналы можно разделить на частотные, дискретные и дискретные частотные сигналы. Из определения дискретных частотных (ДЧ) сигналов следует, что они должны обладать свойствами частотных и дискретных сигналов (см.
например, рис. 1.3 — 1.8). Действительно, как будет показано в дальнейшем, это имеет место. Более того, формулы для комплексных огибающих и корреляционных функций частотных и дискретных сигналов могут быть получены достаточно просто из соответствующих формул для ДЧ сигналов. По этой причине сначала рассмотрим ДЧ сигналы. Свойства ДЧ сигналов позволяют использовать их во многих радиотехнических системах. Это объясняется, во-первых, тем, что они позволяют более просто реализовать большую базу В, так как число каналов пропорционально Р'В, а не базе, как в случае дискретных или частотных сигналов.
Во-вторых, они позволяют получить лучшую помехоустойчивость относительно некоторых видов организованных помех, что будет рассмотрено более подробно в дальнейшем. Все это и обусловило то внимание, которое при- 28 влекают к себе ДЧ сигналы (см., например, [6, 7, 25, 65, 68, 75, 77, 117, 118, 131, 1661).
Порядок дискретных частотных сигналов. ДЧ сигналы являются последовательностями элементов (элементарных сигналов), смещенных по времени и по частоте. Например, на рнс. 1.7 изображен ДЧ сигнал, у которого на каждой временной позиции расположен один элемент, несущая частота которого отличается от несущих частот других элементов. На рис. 1.8 представлено распределение энергии такого сигнала на частотно-временной плоскости. В некоторых случаях необходимо применять ДЧ сигналы, у которых на каждой временной позиции расположено К элементов с Рис. 1.13 Рис.
1.14 различными несущими частотами. Распределение энергии такого ДЧ сигнала при К = 2 показано на рис. 1.13. На каждой временной позиции расположено два элемента. Число элементов К на одной временной позиции будем называть порядком ДЧ сигнала. В соответствии с этим на рис. 1.7, 1.8 приведен ДЧ сигнал первого порядка, а на рис. 1.13 — ДЧ сигнал второго порядка. Когда порядок ДЧ не оговаривается, это означает, что рассматривается ДЧ сигнал первого порядка. Комплексная огибающая и спектр ДЧ сигнала первого порядка.
На рис. 1.14 представлено распределение произвольногоДЧ сигнала первого порядка. Длительность сигнала равна Т, ширина его спектра г. Число временных позиций и элементов равно У, а число частотных полос М. В общем случае М Ф Ж. Для общности положено, что длительность элемента Т, меньше сдвига по времени М между соседними элементами. По этой же причине допущено, что ширина спектра элемента г, меньше сдвига по частоте между элементами сЧ = Ъо/2п. Обозначим номера элементов через т, причем т = =1,Ф. 29 Сдвиг по времени »-го элемента относительно начала координат равен «» = (» — 1)Лй (1А0) Сдвиг несущей частоты»-го элемента относительно частоты ь» равен ю!» = (у㻠— 1)Ль», (1.41) где у! — целочисленная функция индексов 1 и », а 1, как и ранее, обозначает номер сигнала.
Функция у!, определяет закон частотной манипуляции ДЧ сигнала и изменяется от 1 (минимальное значение) до М (максимальное значение). Обозначим комплексную огибающую»-го элемента через У!» (!). С учетом запаздывания»-го элемента во времени на величину !» (1.40) и сдвига по частоте на величину ь»!» (1.41) комплексная огибающая ДЧ сигнала первого порядка запишется в следующем виде: 13тф= ~ч~ Ц»[! — (» — 1)й
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
