Шебшаевич В.С. Сетевые спутниковые радионавигационные системы (2-е изд., 1993) (1151869), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Выбор оптимального созвездия НИСЗ для П, находящегося на высоте Н, эквивалентен такому выбору обобщенных градиентов, при котором корень из следа корреляционной матрицы погрешностей засечки (ЯрК») ыг достигает своего минимально возможного значения. Было показано, что БрК»=аг/аз. При этом значения коэффициентов определяются через обобщенные градиенты б; так: аг =(б~ Х бг) +(б~ Х бз) +(бг Х бз); (25.12) Отсюда при о~=аз=о и следует справедливость приведенного утверждения: 5 = о [2+(оз /о) ~ У ' = о'( оз/о) . 356 аз = [ б~ ( бг Х бз)) Итак, след корреляционной матрицы вектора погрешностей определяется выражением (25.9) через коэффициенты характеристического уравнения, определяемые зависимостями (25.12). При использовании квазидальномерных измерений обобщенные градиенты б; суть линейные комбинации (25.11) разностно-дальномерных градиентов й;=пу — пз с коэффициентами, являющимися компонентами собственных векторов корреляционной матрицы К- погрешностей разностно-дальномерных измерений.
Данйое утверждение раскрывает общую структуру оценки точности навигационного определения, произведенного квазиметодом. При этом результат оказывается выраженным в простой и наглядной форме через обобщенные градиенты. В практических случаях более удобно использовать разностные градиенты вместо обобщенных. Можно показать, что при определенных условиях при выборе оптимального созвездия критерий минимума следа можно заменить эквивалентом наиболее простого критерия. В частности, можно считать, что оптимизация выбора созвездия по минимуму БрК» эквивалентна условию максимизации объема У= 1 б,(бгХ Х бз) ! призмы, построенной на обобщенных градиентах, или, что то же, объема и=1й~(дгХдз)1 призмы, построенной на разностных градиентах дь Чтобы сделать результат очевидным, заметим, что для потенциально оптимального созвездия эллипсоид рассеивания должен быть осесимметричиым (аз=аз„„» ).
Обозначив через аь ог, оз его полуоси, запишем критерии следа 5 и объема У так: з-Л»»»»: Полученные результаты позволяют сделать важное заключение. Если единственным ограничением расположения НИСЗ является условие наблюдения, т. е. НИСЗ должны находиться в пределах области радионаблюдения с объекта (уг) Линн ), то потенциально оптимальное созвездие будет выглядеть следующим образом: один НИСЗ вЂ” в зените П, а три других равномерно распределены по границе конуса радиовидимости.
Справедливость сказанного вытекает из того очевидного факта, что максимальный объем пирамиды, построенной на разностных градиентах, будет у правильной пирамиды, вписанной в сферический сегмент сферы радиовидимости П. Потенциальная точность созвездия определится следующим образом. Обобщенные градиенты б; оказываются в этом случае взаимно ортогональнымн, нх модули соответственно: 0~ — — КЗ (1 — созО)/2о„бх = бз = -угЗ/2 о, ' з|пО, причем б! направлен по местной вертикали, а бэ и бз лежат в плоскости горизонта. В этом случае полуоси корреляционного эллипсоида определяются особенно просто — они обратны 6,: 2 ! он = — о, ,/з ! — а ! он = он = у2/3 о, —.„, где Π— зенитный угол периферического НИСЗ, выражаемый через аналогичный геоцентрический угол 7с, радиус орбиты р, и радкус Земли угз' ! и О = з|пХ/(сову — тхз/р.) Полученный результат характеризует, очевидно, потенциальную точность навигационного определения.
збт Сравнение критериев выбора рабочего созвездия по минимуму следа корреляционной матрицы и максимуму о и р е дел н т ел я. Полной точностной характеристикой выбранного созвездия служит корреляционный эллипсоид. Поэтому естественно рассмотреть трехмерное пространство, координаты которого будут соответствовать полуосям эллипсоида рассеяния. Постоянное значение критериальной функции задает в этом пространстве поверхность, на которой будут эквивалентными различимо гозасз. див, опрсделнсмыс одиозна~и!и рнзмсрамн 1иыуоссй соотистстнунгнгнх им эллин. сеидов. Пусть Хн Хь Хз — пормированныс значения полуосей коррслнционкого эллипсоида, тогда критерий следа корреляционной матрицы а 'Зркзл = | Хе~+34+ьг эбэ будет изображаться в этом пространстве в виде сферы радиусом 5.
С другой стороны, критерий определителя матрицы системы нормальных уравнений или эквивалентный ему критерий модуля определителя системы условных уравнений можно представить в виде у '=Мхэхэ. для сопоставления этих критериев необходимо установить связь значений отвечающих нм критернальных функций из соображения, что оба критерия точно эквивалентны на биссектрисах координатных октантов. Рнс. 25.2. Сравнение результатов применения нрнтериев следа корреляционной матрицы и определители для выбора рабочего созвездия Расхождение их в других точках пространства эллипсондов (Хы Хы Лз) иллюстрируется рнс. 25.2, где показаны сечения первых критериальных поверхностей, отвечаюшик различным значениям 5ь и сечения отвечавших этим же значениям вторых критериальных поверхностей р~ плоскостью Хз= =сопы.
Рассмотрение этих зависимостей го. ворнт о том, что для сильно вытянутых корре. лнционных эллнпсоидов (Зч З йм Ха~11) крит терий определителя может давать результаты, заметно отличаюшнеся от результатов по критерию 5. Следовательно, такой выбор приведет к заметному проигрышу в точ. ности. Поэтому приближенная эквивалентность рассмотренных критериев имеет место прн условии исключении сильна вытянутых корреляционных эллнпсоидав, т. е. при выборе только хороших созвездий, что обычно и имеет место на практике. 2$.3.
лривлиженныл учет лАРАллАНСА минимАльнОГО сОЗВездия В общем случае выражения для градиентов результатов навигационных измерений сложно зависят от параметров, определяющих взаимное положение наблюдателя и НИСЗ. Поэтому строгий и исчерпывающий анализ точностных характеристик обсервации доступен лишь при использовании численных методов. Однако можно получить простые приближенные зависимости, позволяющие качественно оценить точности обсервации в зависимости от наиболее существенных параметров.
Рассмотрим такую воэможность, обратившись к простейшему способу аппроксимации градиентов результатов дальномерных измерений. Этот способ обладает тем удобным свойством, что наиболее точен тогда, когда наблюдаются наибольшие погрешности обсервации. Подобное асимптотическое свойство предлагаемой аппроксимации позволяет использовать ее для оценки наиболее неблагоприятных случаев реализации точностных характеристик. Упрощение же, о котором говоритси, касается приближенного учета влияния параллакса, обусловленного пецентральным положением наблюдателя, в результате чего конфигурация навигационного созвездия для П и из центра Земли будет выглядеть по-разному. Введем понятие картинной плоскости, понимая под ней касательную плос. кость к единичной сфере в точке, отвечающей местной вертикали объекта (полюс проекции). Очевидно, что при таком определении будет две картинные плоскости — геоцентрическая и топоцентрическая.
Точиаи связь геоцентричсского и топоцентрического зенитных углов, показанных на рис. 25.1, дается зависимостью 158=э(пх/(созй-Лэ /р,). Рнс. 25.3. Отображение геоцентрической картинной плоскости на топоцеитрическую картинную плосность: 02 — местааи вертикаль; АВС вЂ” геоцентрическая конфи. гурации; А'В'С' — тонокеатрнческая конфигурации Ог Отображение навигационной обстановки в стереографнческой проекции на обе зти полосы дает подобные картинки в достаточно малой окрестности полюса проекции. Соблюдение условия подобия этих картинок особенно важно для упрощенного описания навигационной обстановки, так как позволяет свестн по крайней мере качественно анализ точности в некоторой окрестности рабочей области, использующей одну н ту же конфигурацию, к анализу одной конфигурации в геоцентрической картинной плоскости.
Упомянутое условие подобия имеет, очевидно, вид 0 Гй. (25.13) Итак, путем перехода от изображения конфигурации ИИСЗ на геоцентрической сфере к трансформированной параллаксом конфигурации (созвездию) на единичной топоцентрнческой сфере определяется область возможных перемен(ений полюса как пересечение кругов радиуса ) ,„ с центрами в точках первообразной конфигурации. Выясним более подробно, чему эквивалентно преобразование навигационной обстановки при переходе; от геоцентрической точки зрения к топоцентрмческой прн соблюдении условия (25.13). Пусть на единичной геоцентрической сфере фиксирована точка, определяющая местную вертикаль, и некоторые три точки, достаточно к ней близкие. Строго говоря, речь идет об отображении некоторой окрестности полюса преобразовании единичной геоцеитрической сферы в единичную топоцентрическую сферу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
