Спилкер Дж. Цифровая спутниковая связь (1979) (1151860), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Заь КВАЗИОПТИМАЛЬНЫЙ КВАНТОВАТЕЛЬ (КОМПАНДЕР) ДЛЯ ВОЛЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ Л Если при неравномерном квантовании используется большое число уРовней квантования, то квазиоптимальная характеристика может быть построена даже без использования ЭВМ 14271. Более того, часто можно практически реализовать такой квантоваПРедположим, что квантование достаточно точно, а плотность вероятности входного сигнала р(х) является сравнительно гладкой функцией, так что р (х/) ж /) (х/+!), (3.
33) ' Си ~". аРияечаяие ва етр. ЗО. т. е. плотность вероятности между соседними уровнями квантования меняется незначительно. В этом случае оптимальное значение выходного уровня — это просто средняя точка между входными уровнями, а именно х + хд+ 2«д+ Ьд Уд= 2 = 2 (3.34) где «д+д /Д' '1 оде ж ~ (х — уд)я р(хд) в(х= р(хд) /зд — д~ 12 (3.36) «д Полный средний квадрат ошибки может быть записан на основе (3.36) д 12 4',д где вероятность того, что сигнал соответствует 1-му уровню, опре- деляется как «д 1 Рд ~ Р(хд)пд ) Р(х)в(х. « ° Следовательно, средний квадрат ошибки может быть записан как (3.38) Иарактеривтики компандирования.
Любая характеристика квантования может быть получена с помощью последовательно включенных безынерционной нелинейности (компрессора с характеристикой о(х)) и устройства равномерного квантования, как это показано на рис. 3.10, На приемной стороне выходной сигнал устрой- Хеилр рвв Зрел и Ф Гл идеирррде- Влрд и . лель рад- Виирд иеиериме ри Рис. 3.!О. Структурная схема компандирования: Компр — компрессор; Эксп — экспандер ства квантования поступает на экспандер с характеристикой 6-ь(х). Компрессор н экспандер могут представлять собой непрерывные нелинейности, но тот же результат можно получить прн использовании преобразователей аналог/цифра и цифра/аналог с 4в' х;+, л хд+стд.
(3.35) Средний квадрат ошибки для входных сигналов в 1-м интервале будет неравномерно расположенными уровнями квантования. Однако использование равномерного квантователя может быть более экономично. Экспандер имеет обратную характеристику относительно функции о(х), следовательно, последовательное соединение устройств с характеристиками о(х) и о '(х) дает передаточную функцию с усилением, равным единице, т. е. о< '1 [о(х))=х. Предположим симметрию плотности вероятности входного сигнала и что У/2 положительных шагов квантования на входе и выходе имеют каждый величину 8=2У/Л', соответствуюшую прираше*иям сигнала на выходе компрессора.
Определим крутизну характеристики компрессора как и(х)а с(о/г/х. Прирашения сигнала нз входе компрессора то~да Л/жб 1 = б/и. оо/ох Следовательно, средний квадрат ошибки (3.38) (3.39) ае = — Е (Л~~) = Е ~( — ) ~ = — ~( г р(х) с(х. (3.40) рд !аг~ Лл-г Ухо лхад л/у к„ 2оа" оа:=- — ~ [и(х)) ' р(х) с(х б =-2У/й/ а при ограничиваюшем условии ~ и (х) г/х = У. о (3.41) (3.42) р.З. 49 Считаем входной сигнал симметричным, так что р(х) =р( — х), Тогда характеристика компрессии будет также симметричной, и достаточно будет показать только ее положительную ветвь, опуская отрицательную ветвь о( — х) = — о(х), как это дано на рис.
3.11. Далее найдем оптимальную характеристику компрессии. Минимизируем средний квадрат ошибки а', используя уравнение Эйлера' [9бе1 Выразим сначала о' по выражению (3.40) через и(х) Рис. 8.!1. Характеристика мгновеииаа комп- рессии в(х) Определим интеграл 7=ох+Ли= ~[ — р +Ли(х)~ г(х, (3.43) 1 12 их(х) о где Л вЂ” множитель Лагранжа. Уравнение Эйлера — это просто — = — р(х) +Л=О (3.44) ои 12 из (х) или оптимальная крутизна характеристики компрессии будет до/Ых= и(х) =- [3 Л р(х))из = Краз(х), (3.45) где постоянный коэффициент К выбирается из ограничивающего условия (3.42) о т.
е. К =-йх ) роз(х) Нх. ( о (3.46) (3.47) Следовательно, минимальное значение оз из выражений (3.41), (3.45) и (3.47) для оптимального компандирования з 2бхр 1 2 ах 1 о'= ~, з р(х)дх= — — ~риз(х)Ых 12,) Кх рз)з (х) 12 х'х о а и з — — ~р» (х)Ых З(и'х а (3.48) что для равномерного закона распределения р(х) приводит к результату о'= и'з(ЗЛ'з.
Отметим, что входные и выходные интервалы выбирались из условия и!+1 х;+1 х,. 1 5 с ~ гЬ = ~ ( — )дх= — ~ Криз(х)г(х, (3.49) и~ х~ х,. где о; ао(хз), и, следовательно, имеем одинаковые приращения площади под каждым сегментом кривой рпз(х) от х; до хань Следовательно, площадь под кривой рп'(х) между точками х; и хиы будет равна (3.50) "1+и ) Крмз(х)дх=бе х Таким образом, большие изменения в р('х) от одно~о сегмента к другому несколько сглаживаются из-за возведения в степень 1/3. ао 1 г/л Е[[х — у(х) ~') ( ~р" (х)/[х 2' (1+г) 3.51) где п=с/(1+г); т=1/(1+г); т+п=!, Пример. Речевой сигнал, описываемый распределением Лапласа.
Пусть плотность вероятности речевого сигнала представлена плотностью распределения Лапласа' р(х) = бекр ( — [х Пх ), (3Л2) где П в 1/2хо и х'=о' =2хоо — средний квадрат речевого сигнала. Используя выражения (3.43) и (3.47), можно записать оптимальную характеристику компрессии в виде о х о(») = ~о/о = — о/» — ~ /гР М о/» — ~/гП1/3 е х/зхоо(» 3'1 о/х/ о о о о 1 е — х/зхо Ю1/з Зхо е х/зхо !" = /(П1/з 3» (1 е™/зхо) У (3 33) е — у/Вхо Определим нормированный уровень перегрузки С, как отношение диапазона квантования к волюму речевого сигнала С=)//о . Для пренебрежимо малого эффекта перегрузки имеем С))1.
Малая перегрузка соответствует большой величине С. Изменение отношения сигнал/шум квантования в зависимости от волюма речи'. Образуем теперь семейство характеристик компрессии такой же общей формы, как оптимальная характеристика (3.53), но имеющих набор параметров, независимых от ом: п(х)/!'=(! — е "/ )/(1 — е "). (3.54) Для данного значения волюма речи озм некоторое значение т будет оптимальным. Теперь можно определить, как изменяется характеристика компандера в зависимости от о'„если компандироние было оптимизировано для определенного значения о'„. Определим величину ч)о с 1/(СЩ=оз/оз (3.
55) ' Гамма-распределение р(х) = )С м/4п(х[ехр( — й[х[) является более сложно лучше соответствует речевому сигналу [343). Ивпомним, что уровни мощности речевых сигналов, усредненные за коротие промежутки времени, называются волюмими. Волюмы распределены по заноя, б бо ом иу' близкому к гауссовскому, а измеряются специальным интегрирующим приРом (волюметром) со временем усреднения порядка 200 мс. (Прим. рвд.) 31 В более общем случае в [129] показано, что для входного сигнала х, который имеет плотность вероятности, постоянную на каждом интервале квантования, и абсолютно непрерывное распределение вероятностей, квантователь, оптимизированный так, чтобы минимизировать меру ошибки [х — у(х) [г, все еще выдает уг=(хг+ +хг 1)/2.
Тогда среднее значение меры ошибки ограничено при больших значениях /т' величиной где по (3.40) имеем (3.56) 2 Уй Е 1 р (х) дх. '= 3 Чй 3 (ио!Ех)й о В соответствии с выражением (3.54) крутизна компрессии описывается как оо ! ,л — е й(х ! — е характеристики (3 57) Выражение (3.59) показывает чувствительность качества передачи к волюму речи, входящему в величину С=У!ой, Пример этой зависимости показан на рис. 3.12. Рассмотренный компандер имеет ограниченное значение для передачи речевых сигналов с ИКМ из-за ограниченности динамического диапазона, при котором С/Ш)30 дБ, хотя для частного значения )ровня сигнала имеется оптимум. При малых величинах С возникает перегрузка, а для больших — квантователь/компандер слишком грубый, Логаридймическое компандирование ()х-закон).
Компандирование речевых сигналов при логарифмическом законе не является оптимальным по сравнению с компандированием по (3.57) для любого воЗ2 Подставляя (3.57) в (3.55), получим средний квадрат ошибки в зависимости от величины о'х=2к', для плотности вероятности, описываемой законом Лапласа (3.52): — тх!У вЂ” й — ': =-'( — ')) Г'"-""Г" ""'= о о 1 1 2 ( ! ОГ1атж! — !!/хй!! ! 2хо тй Фй 3 ! (2т/У) — (1)хй) Определим М а 1 — е- и С=У/ у'2хо, где С вЂ” нормированный динамический диапазон.
Упрощая выражение (3.58), запишем ой ! Уй в!й ! + ойт Н /хе! хй ! Зх, тйЛ!й 2хй((2т/У) — (1!хй)] 1 УйМй ойт — !'й с 1 3 тй и (2т — У2 С) х~ 2у (=) (.И (3.59) 37йй тй 2т — У2 С дюма речи. Однако оно обеспечивает улучшение отношения сигнал/шум по сравнению с равномерным квантованием для более широкого диапазона уровней волюма, нежели оптимальный компандер, и поэтому имеет важное практическое значение. При со- ,Ю вт /В Рис. В./2. Зависимость отношения сигнал шум (с/ш=!/УУ/а) от ореднеквадратической величины волюма входного речевого сигнала при /т'= 128=2' уровнях квантования, т. е. при а=7 символах на отсчет.
По осв абсцисс отломано С у7о„ вЂ” отяошаняа днавааона квантования к волюму. Олтвмум соответствует абсцвсса С !3/ у 2!тл 42,4 0 а а)В /ВВ В=У/б» ответствующих величинах параметров логарифмическое компандирование может обеспечить высокое качество передачи речи с / разрядами или !28 уровнями яа отсчет, тогда как при равномерном квантовании требуется 11 разрядов на отсчет для получения такого же качества 1226в, 427~. Логарифмическая характеристика компрессии, показанная на рис. 3.13, выражается как ( ) =- Ра (! + " /~), 0 < Х: 1/1 У !п (1+)а) при этом и( — х)= — о(х).
Крутизна этой характеристики и(х) о — = но )ь 1 дх 1п(1+)а) 1+)а(к(/У (3.60) (3.61)/ Рис. В.!3. Логарифмические характеристики компрессии. Желательное значение параметра 44 порядка !00. На практике часто используется !а=255, Линейная зависимость соответствует 44=0 /,бу х/У Вход Заметим, что )х=0 соответствует отсутствию компандирования Эффективный шаг квантования входного сигнала Лх определяетси как 53 Лхж — —, й/еь), 2У г(х (3.62) йг до .и может быть приближенно выражен как Л х 2 У/й/ 1и (1+ )ь) (1+ )а ) х1/У) 2 1п (1 + )а) 1'+ )а ) х) )х) 1х) )а й/ )т(х) — 1п(1+)а) =сопя( при ~ — )))1, 2 1)а х йг (3.63) — 1п(1+)х) — при )а(х)((1. 2 г/ )а ) х ) 'Следовательно, эффективный шаг квантования может быть аппроксимирован для малых значений (х~ как Лх — !П(1+)а) д ссУ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
