Спилкер Дж. Цифровая спутниковая связь (1979) (1151860), страница 6
Текст из файла (страница 6)
2.1. Считается также, что квантование выполняется достаточно точно, без подавления сигнала так, что можно представить шум квантования как независимый аддитивный шум л((). И, наконец, предполагается, что, во-первых, аналоговьш входной сигнал гл(() является стационарным случайным пропессом в широ( ом смысле и имеет энергетический спектр 6 (ш), который монотонно убывает при увеличении частоты ю, и, во-вторых, периодическая дискретизирующая функция г(() иыеет конечную длительность и фиксированный период Т. (В [256а) показано, что дискретизация с неравномерной скоростью не может быть осуществлена при средней частоте ниже 2В.) Дискретитированный сигнал з*(() — это просто произведение з(() г(().
Периодическая .(г(скретизирующая функция с конечной длительностью импульсов с( (рис. 2.2) нчеш единичную амплитуду. Отметим, что в каждом ингервале дис- и(() Рис. 2.2 Периодическая функция дискретизации конечной длительности с( с частотой [л ††=1(Т кретизации Функция и(() вырезает сегмент конечной ширины из исходного сигнала Если отношение с()Т=1, то выходной сигнал днскретизатора идентичен входномУ сигналу. Применительно к системам с квантованием отношение г((Т 'ыбирается близким к нулю (отсчеты нулевой ширины), поскольку только одно Разрядное кодовое слово должно быть сфорыироваио в течение этого одного интервала дискретизации Дискретизация сигналов при конечной длительности имп льс мпу"асов отсчета будет вновь рассматриваться в связи с многостанциониым к~стуком с разделением сигналов во времени (гл. 1О, 12 и 18).
Днскреткзирующую функцию и(() можно выразить как сумму экспонент е (() = — Ч С е)""д Т й'.й' где С = з1 з)пиит((Т и з(пс мос((Тд; С =1 а (оде 2п)Т пи(((Т 27 Сигнал после дискретизации з*(!), преобразование Фурье 5*(мо) и энерге.тический спектр 6*,(в) этого сигнала определяются следующим образом: с! %! з * (!) Ь з (!) г (!), 5* (! в) Л вЂ” '~ ' С 5 (! в — ! вл ч), ч l г( 'та жч 5()а)ЛР(!а)М(!а) 6~(а)Л ~ — ) ~ С 6о(в — чад), ч где М(но) — преобразоза»пс Фурье сигнала т(!), а а=2л(; 5()а) — преооразонаипс Фурье сигнала после предыщ ажа~сгцей фпльтрац»п э(П; Грйо) — переда- пюя фу»кция предыскажающего фильтра. Энергетический спектр сигнала з(!) нлр' » ае с» через энергетически»! спектр злодиого с»гн»ла т(О: 6, (а) = ) Р (! в),з 6т (со) . На рос.
2.3 прнзсде»ы типичные график» энергетических спектров сигналов до дпскрезпзацнн з(!) и после дискретизации зэ(!), зг(в) а) Зо !в) гвг)' о) Рис. 2ий Примеры энергетических спектров: а — спектр отфильтроианного сигнала з(!); б— спекто дпскретизирозанного сигнала з*(!) Обратим нниыание нз то, что после дискретизации энергетичеокий спектр с центральной частотой 2вд может оказаться з полосе частот исходного сигнала, если частота дискретизации вл недостаточно высока. Ошибка е(!), сглаженный выходной сигнал т.
„(г) и его преобоазоаание Мои*(но) связаны следующими выражениями: И е (!) = тзых (!) — т (! — т), Т М,,(.) = у((в) ~5 ( )+ — '! р((; )1. Т 28 Преобразование Фурье ошибки Е (! ю) = У (! ю) ~Бе (! ю) + — Х (! ю) ~ — — М (! ш) е т ! т 2.3. ОПТИМИЗАЦИЯ ПРЕДЫСКАЖАЮЩЕГО И СГЛАЖИВАЮЩЕГО ФИЛЬТРОВ Выразим средний квадрат ошибки через передаточные функции предыскажающего г(!ю) и сглажнваюшего У(!ы) фильтров с тем, чтобы в дальнейшем оптимизировать характеристики этих фильтров.
Ошибка может быть представлена в виде совокупности ошибки нз-за искажений фильтрации, ошибки, вызванной шумом, п ошибки из.за перекрьпия спектров. Все эти явления некоррелированны друг с другом, следовательно, для получения среднего квадрата обшей ошибки можно суммировать средние квадраты отдельных составляюнтих. Энергетический спектр ошибки в целом можно записать в впдс трех слагаемых. — = 6ю (ю) ! У(1ш) Р(но) — е ыт!'г ( ~ У (,.ю) (а6п (ю)+ (б)Г)г искаитеиия фильтрации ошибка из-за шума с +(У (1ю) (г ~ Сг6 (се тюд) ~Р (1ю !Рыд) (г ° С 6а (ез тюд) (2.
1) сшибка из-за перекрытия спектраа Штрих после знака суммы означает, что не учитывается член этой суммы с т= =О. Отметим, что энергетический спектр сигнала после дискретизации аа(!) за- писывается как 6, (ю) = ( †) 6, (ю) + ~ †) ~~)~ ~Сг 6а(ю — иод). ! У (!ю) Р(ты) — е'ыт!г = /1'(ю) Р (то) е! !в+В! — е ! "т(г (2.3) ' Н~ фильт ов, с ~низких ограничений не накладывается на эти передаточные функции держка т в ф Ров, связанных с их реализуемостью, поскольку предполагается, что зафильт а мож Р т выходного сглаженного сигнала некритична н любая характеристика ф " Ра может быть аппроксимирована с любой точностью при достаточной задержке во времени.
Член (т))Т)з(у(!ю)('6 (ю) соответствует влиянию аддитивного шума, где 6м(ю) — энергетический спектр этого шума л(!). Далее выразим передаточные функции предыскажаюшего и сглаживающего фильтров через соответствующие частотные и фазовые характеристики': предыскажаюший фильтр Р (! ш) А Р (ю) е тр ! ); (2. х) сглаживающий фильтр У (! ю) А )т (ю) е В !ш!. Оптимизируем фазовую характеристику 0(бз) сглаживающего фильтра в выРажении (2.1), чтобы минимизировать 1 16е(ю) сг = — ~ — с(ю. 2я,) (г))Т)Я В выражении 6,(бз) только члены, определяющие искажения фильтрации, содержат й. При любых частотных характеристиках У и Р средний квадрат ошибки будет минимальным, когда оба вектора в (2.3) будут иметь один и тот же фазовый угол, а именно <р(в)+6(о»)= — вт или 6(в)= — (вт+чр(в)).
Теперь энергетический спектр ошибки (2.1) можно переписать в виде (б!Т)а 'с " ь;е =О [1 и — 1)а+Уз 0» + 11 С 0 (в — тв»<)1 Оптимальнан функции У(в) находится с помощью формулы Эйлера' [96*1: (2 А) д~е = 20»<Р(УР !)+21' [0»+ ~~) С Ое (в — то»д) = О. Решая это уравнение относительно У, найдем передаточную функцию оптимального сглаживающего фильтра в виде отношения ов(в) Р(а) а„« » « фа.«.»2'»1»,« —, (2.5) для У((а) р У(по)»»». Перейдем теперь к задаче оптимизации предыскажаюшего фильтра с передаточной фун<кцией Г((а) с целью минимизации е'.
Определим сначала второе слагаемое в выражении (2.7) » 1 ХЛ вЂ” 1 [О. (в)+О,"(а)1У (в) ба, — Ф Имеется в виду правило нахождения экстремума нвп<рерывной функции путем приравнивания нулю первой производной. (Приве ре<).) 30 О»< (в) Р (о») 0„(в) + ~ С~ О (в — твд) та (а — тв ) 0,(а) ! О, (в) (2.
6) О» (о») +аз (о») р (а) Ох (с») р (а) где 02 (в)»' 0*,(а)+0„(о»). Легко определить, что последовательное соединение фильтров У(!а)Р(но) является оптимальным сглаживающим фильтром для сигнала с энергетическим спектром 0,(в) н аддитивного шума с энергетическим спектром 0„(в). Подста- вим выражение передаточной функции оптимального фильтра (2.6) в выражение энергетического спектра ошибии (2.4).
Учитывая соотношение 0,(а) = =Р'(в) 0 (о»), получим (3(Т)а ~ ав ) а, Ра ' ' а, [ а, 0,1 Вюа, — — = а,„— — = а — Ов1, О, " О, где для упрощения записи опущена функциональная зависимость от частоты в. В результате интегрирования выражения энергетического спектра ошибки получаем — !'О (в) за=- — ~ <(а = ( (0»»(в) — [0» (в)+О, (в)|уз(в)7 <(а > 0 (2.7) 2п .) (<()Т)в 2п 7 ) !0е + ~д~~ С» 0т~ ~ 1 (1 е> ° » ) (2.
8) (2. 9) (2. 12) 31 ато можно записать, используя выражение (2.0), в следующем виде: 1 62 (в) Рз(в) да /=в 6„(в) + ~ Сг 0,„(в — »ад) Рз (в — »ад) Ф 1 (" У ( ) 0т (а) д о> Л Ра. — Ф Поскольку е' = Ра — У, Р— мощность сигнала, а У Р, то средний квадрат ашмбип минимален при максимуме величины мнтепрала У=Р— е'.
Если длительность дискретизирующих импульсов равна нулю, т. е. д/Т=0, то коэффициенты С =! для всех ю Положим, что шум — белый с двусторон- мим энергетическим спектром 6 (в) =й(е/2, где А)е — односторонняя спектраль- ная плотность шума. В этом случае знаменатель выражения (2.8) является пе- риодической функцией с периодом в =2п/Т, а интеграл У равен определенному интегралу от бесконечных сумм: а, Гг е' = ~чР бл ((е»(„) рз (о>,(„) е( а> = ()/е + ~да~ 0(а (О>»о>д) е ~ (О) — »О>д) аи/2 — а /2 а /г .еа 6 (в — »вл) 6» (в — »«>л) двЛ ) Я(в)дв, /Че + ~ 0> (в»вд) — ад/2 — а Гг где введенная в числитель сумма обеспечивает тот же результат, что и интеграл с бесконечными пределами.
Используя очевидное равенство 6„Р> 9 0,(в), мак- снмизируем отношение Я(в) для всех значений частоты в: '.~ О. (в — д) 0е (в — в ) А.9 (в) Я (в) —, (2. 10) Л;+~чР0,( — „) й/,+ч,0,( ) где для данного значения в через А обозначен вектор-строка компонент спектра входного сигнала гп(!) ( А = (6) (о>), 0е) (о> — о)д), ° ° ), а через.9 — вектор-строка компонент энергетического спектра сигнала после предыскажающего фильтра: 9 = (6, ((о), 6, (о> — вд),...), О» б 6, (в — »вд). Лля произвольного значения частоты а величина я максимизируется при максимуме скалярного произведения введенных векторов А 9 при неизменной величине с чине суммы 20» (в) +А(з=С.
Искомый максимум получается при максимальной величи некто а А, в~личине компоненты вектора 9, одноименной с максимальной компонентой Рассмот Ра А, как это иллюстрируется для двумерного случая на рис. 2.4, петрим сначала значение частоты в=в((вл/2. ПУсть энеРгетический спектр входного сигнала гл(!) монотонно убывает.
Тогда 0а(в)) больше ( ).о (,— а),. (,( (( ' Напомним, предыскажающего виним, что обсуждаемые энергетические спектры сигнала до и после фильтра связаны соотношением 0,(в)=0 (в)е>(в). раас ред,) Рис. 2дй Определение максимума скалярного произведения векторов А О при условии фиксированной суммы компонент вектора О, т. е. ХО „ = с. Компонента вектора О, одноименная с наибольшей компонентой вектора А, приравнивается значению суммы„ а все остальные компоненты этого вектора приравниваются нулю. В данном приыере индекс наибольшей комноненты вектора А равен ц следовательно, для максимума произведения не. обкаднмо В =-с. Зг = О 02=с ч =I р ыдт*" ьтд Ииш Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
