Ширман Я.Д. Теоретические основы радиолокации (1970) (1151796), страница 21
Текст из файла (страница 21)
й. олученныи вывод очевиден, поскольку фаза напряжения на выходе оптимального фильтра при случайной начальной фазе сигнала также случайна. Информацию о наличии сигнала дают поэтому только огибающая и пропорциональное ей напряжение после детекто а. пряжение должно сравниваться с порогом, уровень которого р подбирается с учетом коэффициента передачи С В результате один канал оптимальной обработки (рис. 3.19) позволит производить обнаружение сигналов с неизвестной случайной начальной фазой, отличающихся временем запаздывания. Выражение (8) можно записать еще в виде Ю(1) = — ~ 1'(в) Р,„,(1 — в)сЬ, (' (10) где 1 онт (~) ~~ (~0 ~) Е (11) — комплексная амплитуда импульсной характеристики о,„, (1). ч Умножив обе части равенства (11) на еУ о ' и взяв реальн асть, легко убедиться в соответствии (11) выражению (6).
в реальную 8 3. 8 .1О. Частотная характеристика, отношение сигнал/помеха и форма вершины импульса на выходе оптимального фильтра Наряду с импульсными характеристиками фильтров весьма широко пользуются их частотными характеристиками. Частотные характеристики особенно удобны при анализе фильтрации в резонансных системах, но могут быть использованы н в других случаях. 114 3 3 ° 10 Частотную характеристику К(~) линейной цепи (в комплексной форме) определяют, подавая на вход цепи гармоническое колебание и(~) = е~'""~'. Напряжение на выходе будет ы(8) = К(~)е1'"~' и частотную характеристику определяют как отношение К(~) = — '~ при у(~) =е~'"и.
УИ) Используя ((3), ~ 3.9), получим к(де1~ в 1 о~у — з~еи"низ Поделив обе части равенства на множитель е~'"и и произведя замену переменных 1 — з = т, найдем выражение частотной характеристики в виде преобразования Фурье от импульсной характе- ристики кщ= 1 о~т)е — ~' и ыт. (2) Пользуясь соотношением (2), определяем отсюда частотную характеристику оптимального фильтра к.„, в = с 1 . у, —.~.-и.~ ю, или после замены переменных 1, — т = т КОП,О=Се — ~'"~' ~ и(~)ет2"~'й (3) Отсюда частотная характеристика оптимального фильтра К,„, (~) = Сд* (~) е- ~'"" (4) с точностью до произвольного вещественного множителя С и множителя запаздывания е — 12 П описывается сопряженной спектральной плотностью д*® ожидаемого сигнала, где спектральная плотность уф= 1 ифе — 1' "ю.
(5) Воспользуемся записью спектральной плотности через ее модуль и аргумент д (1) ~ д (1) ~ е1' и а(11, (6) 115 где модуль ~ ду> ~ соответствует амплитудно-частотному спектру ожидаемого сигнала, а аргумент агд д(~) — его фазочастотному спектру.
В сопряженном спектре модуль тот же, а аргумент имеет противоположный знак, и потому К (~) — С~дгф~е — ! агк х ггге !зюга (?) из Беря от обеих частей равенства (?) модуль и аргумент, можно перейти к амплитудно- и фазо-частотным характеристикам оптимального фильтра. А мплитудно-частотная характеристии, ~из.из ка оптимального фильтра ~ К,„, Д) ~ = С ~ д Д) ~ (8) проггорггггональна амплитудно-частотному спектру ожидаемого сигнала. Оптимальный а =сх Ео фильтр наилучшим образом пропускает Рис. 3.20, Наложение спектРальные составляющие, наиболее максимумов гармониче- сильно выраженные в спектре. Слабые лезного сигнала на вьь ских составляющих во- спектральные составляющие подавляют ходе ф льтра нрн опти сЯ, в пРотивном слУчае нарЯду с ними мальной фаза-частотной пройдут интенсивные составляющие помехарактеристике хи в широком диапазоне частот.
Форма амплитудно-частотного спектра на выходе фильтра искажается, что являетсн одной из причин искажения сигнала. Однако задачей фильтрации является не точное воспроизведение формы сигнала, а наилучшее выделение его на фоне помехи. Фазо-частотная харакпгеристика оггтимального фильтра ага К,„, ~)) = — агд д(~) — 2л)1, складывается из аргумента спектра ожггдаемого сигнала, взятого с обратньгм знаком, и аргумента задержки — 2л~1,. Чтобы убедиться в целесообразности такого выбора фазо-частотной характеристики, найдем сигнальную составляющую напряжения на выходе фильтра, зная спектральные плотности сигнала и(1 — а) на входе дД)е — г'"~а и на выходе К,в, ЯЯ)е — г'"га.
По принципу суперпозиции напряжение полезного сигнала на выходе фильтра в произвольный момент времени с учетом временного множителя ег2""П будет го (г) — ~ К (~) д(~) е — /алга ег2лгг ф Нб $ 310 Подставляя выражение (4) для К,„,.ф, приходим к соотношению ,у~=с 1~рар, ° — — ау (10) которое является спектральным аналогом предшествующего вы- ражения [(7), ~ 3.91 при у(в) = и(в — я), Используя формулу Эй- лера и учитывая нечетность функции з1п2лД1 — а — 1,), оконча- тельно находим ю,ф)=с 1 (дф('соь2п~(~ — а — ~,)ф. Как видим, напряжение на выходе оптимального фильтра, являясь наложением гармонических составляющих разных частот, определяется амплитудно-частотным спектром сигнала.
Оно не зависит от фазо-частотного спектра, так как последний компенсируется фазо-частотной характеристикой фильтра. Поэтому все гармонические составляющие одновременно достигают амплитудных значений в момент времени 1 = а + 1„и эти значения налагаются друг на друга (рис. 3.20), В этот момент времени имеет место максимум напряжения выходного полезного сигнала и, „.„, = в, (а+ 1,) = С ~ ! д (1') ~' Й~. (12) В силу теоремы Парсеваля 1 ~ийР4= 1 и'Я~1=э (13) этот максимум определяется величиной энергии входного сигнала (14) (15) 117 При отступлении от оптимальной фазо-частотной характеристики, последняя не компенсирует фазовых сдвигов, максимумы гармонических составляющих (рис.
3,20) раздвигаются, а пик суммарного колебания полезного сигнала начнет рассыпаться. Это ухудшает условия обнаружения сигнала на фоне шумов. Отношение максимального значения сигнала к эффективному (среднеквадратичному) значению помехи ы. ~..„,/в„ „,„ называется отношением сигнал~помеха по напряжению, При спектральной плотности мощности Ж (1) на входе фильтра средний квадрат напряжения помехи на выходе будет или для белого шума Л'(() =Л', с учетом (8) И„,„,— Л( С2 1 ~а Ч) ~24 о Поскольку спектральная плотность вещественной функции вре мен и д ( — () = д" ((), то ~ д ( — (') ( = / д Д) !, а т. е. ~иска — ~ Ло~ Отношение сигнал(помеха на выходе оптимального фильтра по напряжению ~ьс макс (17) ц'и скв С 1 1о 2 2 с макс 2Э (18) 2 п скв ~в Ни один из линейных фильтров не может дать отношение сигнал(помеха большее, чем оптимальный фильтр.
В противном случае, заменив им оптимальный фильтр, можно получить ббльшую вероятность правильного обнаружения В при заданной вероятности ложной тревоги Р. Но именно оптимальный приемник дает наивысшую вероятность 0 при заданной вероятности Р. Значит,и оптимальный фильтр этого приемника при заданных условиях дает отношение сигнал(помеха, наивысшее по сравнению с другими линейными фильтрами. Ввиду важности ряда полученных соотношений, приведем еще одну форму записи для случая, когда используется комплексная амплитуда У (г) высокочастотного напряжения и (г) = = йЕ [О (() Е1 2" 1а '1 ЗаМЕНяя и (() = Ц (() е! 2и1о ~+ Ц* (() е — / 2л1о ~ 1 1 2 2 и подставляя (19) в (5), получим ИО= — 60 — '()+ — О0+(.). 2 2 (19) (20) 118 Ф З.1О зависит только от энергии полезного сигнала и спектральной плотности помехи Хс и не зависит от формы сигнала.
То же справедливо и для отношения сигнал(помеха по мощности Рис. 3.21. Амнлитудно-частотные снектры радиоимауль- са ~д(О ! и его огибающей ! 6Ц) ~ где 6Я вЂ” спектральная плотность комплексной огибающей (21) На рис. 3.21 для сравнения показаны амплитудно-частотный спектр радиоимпульса ~д(~) ~ и спектр его огибающей ~6(Д ~. Легко видеть, что для соответствующего этому рисунку случая достаточно большой несущей 1', спектральная плотность (22) Учитывая (22), вернемся к соотношению (10).
Разобьем интервал интегрирования в этом соотношении на два, от,— оо до 0 и от 0 до оо, выражая одновременно д(~) через 6()) согласно (22). Заменяя 1 + ~, = ~' в первом интеграле и 1 — ), = 1" во втором и учитывая ограниченную протяженность функции 6(~), обозначим ~ ~ 6 Д) (а е) 2н) и- и- ы ф 2 Я1 (~) (23) Выражение (10) можно свести тогда к виду Гн (~) ф' (Г) ф 2кс)о а — а — С,) +Š— ~ 2л)о а — а — 8,)1 1 = 1р,(т) соз 2л1о(т а го). (24) В соотношении (24) У,(1) — огибающая напряжения на выходе оптимального фильтра; считаем, что У,.(1) = В'.
Это справедливо, ф 3.10 119 — 26(~ — ~,) 1 2 для 1) О, для ~(0. если амплитудно-частотный спектр ~ 6Д) ~ симметричен*, т. е. ~ 6( — 1) ~ = ~ 6(7) ~. В соответствии с формулой Эйлера из (23) получим т,щ= — ) 3оя3'соя2п7о — п — к,~ык. ~25) 2 Соотношение (25) позволяет оценить форму вершины огибающей на выходе фильтра. Для большинства важных случаев можно воспользоваться приближенным разложением соз 2п)(1 — а — (о)в окрестности максимума соз 2л) (~ — а — ~о) = 1 — — 12л)" (1 — а — 1о)1о, 1 2 откуда К,(г) =63 1 — — П,(1 — а — ~о)', 12п16 ® 1олг П = э— ~! 6®1'о7 (26) (27) Где Приведенные соотношения справедливы, если ~ 6(1) ~ убывает с ростом ~7" ~ быстрее чем 1/~1 ~, и интегралы сходятся (что несоблюдается, например, для прямоугольного радиоимпульса).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
