Финкельштейн М.И. Основы радиолокации (1983) (1151793), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Таким образом, выборка, соответствующая п = О, требует одной операции перемножения, выборка, соответствующая а = 1, требует двух операций перемножения и одной сложения и т. д.; выборка и = М вЂ” 1 требует М вЂ” 1 + 1 = М операций перемножения и М вЂ” 1 сложения. Всего требуется 1 + + 2+ .:. + М = У (У+ 1)/2 ж ММ2 операций умножения и столько же сложения. Операция умножения осуществляется, как известно, многократным сложением, причем число элементарных сложений определяется числом разрядов сомножителей. При длительности одной операции сложения т, и числе разрядов г общая длительность временной обработки У выборок Т,ар — — (У172)гтх. Лля обработки в реальном времени, т. е.
в процессе поступления сигнала х (!), время Тавр не должно превышать длительности обрабатываемой реализации МТ, т. е. (ММ2) гт, ( МТ, откуда Т ) (У!2)гт1, Выбирая интервал дискретизации по теореме Котельникова Т = = 1Щ„ах, получаем максимально допустимую частоту сигнала Лпах ~» 17М~ т1. (5.7.26) Так как г = 1опд Е, где 1) — основание системы счисления, а 1.
— число различных чисел, с которыми оперирует АУ, характеризующее число уровней квантования, то в двоичной системе, например, при 1'. = 256 имеем г:= 8. Если М === 1000, то при т, =- 5 нс ),„( 25 кГц. Частота возрастает при уменьшении числа выборок (базы сигнала) М, однако в режиме последовательного анализа можно обрабатывать лишь сравнительно низкочастотные сигналы. Зля повышения частоты следует переходить к параллельному анализу, когда в пределе (,„„(1/тг ззв 8. Быстрое преобразование Фурье.
Для реализации цифровой фильтрации в частотной области дискретиэироваиные колебания подвергаются дискретному преобразованию Фурье (ДПФ), результат умножается на дискретную амплитудно-частотную характеристику ЦФ, после чего формируется выходной сигнал в виде обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ). Переход в частотную область целесообразен в свил!иф зн с возможностью сокращения времени обработки и объема аппаратуры за счет прим , ~, ,„ менения разновидности 4 .9 "' ДПФ вЂ” быстрого преобразования Фурье (БПФ).
Представим сигнал х (г), имеющий ограниченную про- тяжениость Т„в виде дискретной функции времени а!-1 хг (Г) = х (Г) ~ Ь (à — йТ), а=о где !у' = То!Т. Спектр этой решетчатой функции зо! гхР а! Рнс. З.З!. Дискретное преобра попонке Фурье (ДПФ) !о — 1 Зг(со)= ~ х(!) ~ч', б(1 — к!)е-!о!с!»= а=о »! — ! ~ х(!) 5(1 — ИТ) е-!"'й, а=о а на основании афильтрующих свойств» дельта-функции !о — ! Зг(о!) = "Р х(ИТ) е-!еаг (5 7 27) а=о т. е. спектр дискретизированного сигнала Зт (о») представляет собою периодическую функцию частоты с периодом 2п/Т (рис. 5.5с, а, б, где показан спектр исходного сигнала З (е!) и спектр дискретизированного сигнала Зг(о!)).
Для расчета спектра дискретиэированнаго сигнала Зг(со) необходима дискретизация не только во временной, но и в частотной области, т, е. спектр Зг (о!) представляется в виде дискретной функции частоты 3„ = Зг (ласо). 340 (5.7.30) При этом функция (5.7.27), именуемая дискретным преобразованием Фурье, имеет вид и-~ 5г (ллгэ) — ~' х„е-гаьмг а- о где хь — — х(лТ) (рис. 5.51, а).
Определим Ьы как Лв = 2п|7УТ, (5.7.29) что соответствует теореме Котельникова в частотной области. Действительно, на основании взаимной заменяемости переменпык 1 и н в прямом и обратном преобразованиях Фурье следует в формуле М = 1Щ „заменить Лт на Ьсв, а общую ширину спектра 2е„, (см. рис.
5.51, а) на общую длительность Т, = УТ, т. е. 2)„„на ИТ!2п. Отсюда формула М = 1/2),ь,, заменяется на (5.7.29). В результате имеем ла Я = ~~~~ хье л а=О' где а = 0,1, „У вЂ” 1 (при увеличении и свыше Ф вЂ” 1 функция З„повторяется периодически). Исходная дискретная функция времени ха, т. е. обратное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ), равна л — ! за х„= — ~~)' З,е (5.7.31) л О так как при подстановке (5.7,31) в ДПФ (5.7.30) получается тождество. Для вычисления ДПФ последовательности из Ф чисел [см. (5.7.30)) при каком-либо л (одна частотная выборка) индекс й принимает У значений. Так как эта операция повторяется У раз, то всего получится Ф' операций умножения на комплексное число и столько же операций сложения.
Именно по этой причине ЭВМ долгое время не применялись для спектрального анализа сигналов. Существенный сдвиг произошел благодаря использованию быстрого преобразования Фурье, основанного на прореживании по времени или по частоте. Рассмотрим вариант прореживания временных выборок многократным членением на подпоследовательности. Заданная последовательность чисел хь (й = О, 1, ..., У вЂ . 1) разбивается на две подпоследовательностн: нечетную (н) х,ц + ~ н четную (ч) 341 хв«, где й = О, 1, 2, ..., (У/2) — 1 (рнс. 5.52). Согласно (5.7.3Ц ДПФ исходной последовательности '«//2- ! Ял — ~ (х, е — 1тилт«//т ( х «+те-1тлл!с«+!!/и)- «=о 3 +3 и — 1тл /// (5.7.32) где л!/2 ! /т/2 — ! 5 — ~~ х е-!пл«/з/ 3! ~~ х е-члл«/и пи хл с«+т 1 пч гл т« «=е «=а (5.7.33) В отличие от спектральной функции (5.7.30), у которой численный период равен /!/, период функций Япп и З„ч равен Л!/2.
Поэтому вйражеиие (5.7.32) соответствует значениям л = О, 1, 2, ..., У/2 — 1. Для второй половины спектра (значения а от ЛУ2 до 1!/ — 1) получаем 4г« а л/г-/ « Рнс. б.бв. Быстрое преобразование Фурье: разделение на две нодпо- следовательности (5.7.34) оп+И/Е =3пч+3ппЕ 1тлл/ЛЕ-1тл///т«/ — Я Я Е- 12лп/// где и=0,1, ...,Л//2 — 1. Итак, 8п=т3пч+се" 8пп~ 8л+/т/т =Юле — и/ Зли* (5 7 35) ГдЕ и/=Š— 1тп///.
Для получения двух выборок ДПФ нужно сделать одно умножение на комплексное число и два суммирования. Так как для каждой из подпоследовательностей требуется (%2)а умножений на комплексное число и еще /!//2 + /1//2 = /!/ умножений на комплексное число и/л, то всего требуется '2 (У/2)а+ /!/ ж №/2 умножений, т.
е. вдвое меньше, чем при использовании ДПФ. При последующем разбиении каждой последова- тельности можно получить дальнейшее сокращение обьема вычислений. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будут получены Р/ последовательностей, содержащих только одно число. Для этого необходимо, чтобы /1/ = 2'", ааа где ш — целое число. Вначале имеем У = 2м последовательностей по одному числу. После 1-го этапа получим 2"-' = У/2 последовательностей по 2 числа и т.д. В конце образуется одна последовательность из У членов, представляющая ДПФ исходной функции.
Вся процедура содержит т =!од, У этапов. Всего все вычисление составит (У/2)!од, У операций комплексного умножения н У!од, У операций комплексного сложения. По сравнению с ДПФ получается выигрыш в количестве умножений в 2У/!од, У раз, а в количестве сложений в У/ 1од, У раз. При больших У выигрыш оказывается значительней. Например„при У = 2" = 1024, когда 1од, У = 10, число операций умнозкения снижается в 200 раз. При цифровой фильтрации в частотной области полученные в результате БПФ дискреты спектра входного сигнала З„умножаются на дискреты частотной характеристики фильтра К„, которые найдены заранее и занесены в табличную память. Затем производится ОДПФ с использованием алгоритма БПФ, т. е.
обратное быстрое преобразование Фурье (ОБПФ). Пусть время выполнения каждой базовой операции БПФ, включающей одно комплексное умножение и два комплексных сложения (см. (5.7.35)1,равно та. Всего имеется 1оп,У этапов, на каждом из которых выполняется У/2 базовых операций. Так как вся фильтрация сводится к двум операциям БПФ и одному комплесному умножению У-точечного массива Я„на У-точечный заданный массив К„, то общее время обработки Тавр = 2 ( (У/2) 1ояз У)та + Утуя (У 1ояз У)тз + + Ут,м, (5.7.36) где т „— время выполнения одного комплексного умножения, и так как тз — — т„„, то Т,зэ -- У (1 + 1од, У)т)„.
(5.7.37) Условие, что вычисление должно производиться в пределах одного периода повторения импульсов РЛС (т. е. Т,з, = Т„), накладывает ограничение на минимальную скорость выполнения комплексного умножения т „. Например, при Т Тчзр 1 мс и У = 2" = 4096 имеем тт„ ж 19 нс, что трудйо обеспечить прн использовании современных цифровых умножителей. из Скорость обработки можно увеличить, применив поточную структуру для выполнения БПФ. Дело в том, что еще до окончания всех базовых операций иа данном этапе можно начинать вычисления на последующих этапах. Это позволяет построить структуру, содержащую 1од, А1 параллельно работающих арифметических устройств. Можно показать, что поскольку выполнение базовых операций нельзя начать на всех этапах одновременно, время обработки уменьшится не в 1од,)У, а в 0,5 1оя, А7 раз.
Таким образом, согласно (5.7.36) и (5.7.37) Т,зр — — ()У 1одр А710,5 1одр А1)тз + Лтг„ж 3)Утт„, (5.7.38) т. е. обработка ускоряется по сравнению с (5.7.37) в (1/3) 1од, У раз (в приведенном примере это соответствует т„„= 81 нс, т. е. времени, которое может быть обеспечено в устройствах на быстродействующих серийных интегральных микросхемах).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
