Радиоэлектронные системы Основы построения и теория. Справочник . Под ред. Я.Д. Ширмана (2007) (1151789), страница 95
Текст из файла (страница 95)
13.24 Рис. 13.23 Сущность теоремы (13.48) поясняется иа рис. 13.24. Взаимно сдвинутые базисные функции времени з!и и/ и, умноженные иа х(/а), суммируются. В моменты времени /у = У/27тах зиачеиил базисных фУнкций, кРоме одной, оказываются нулевыми. Ненулевое же значение при /с = у точно равно х(/т), что поясняет справедливость аппроксимации в точках /т. Справедливость же аппроксимации в промежуточных между /у (у = О, Н, л2, ...) точках поясняется ограничением спектра функции х(/), Оиа ие включает спектральных составляющих с большими /тпх частотами и ие испытывает поэтому существенных колебаний между точками дискретизации (см. разд.
13.6.2). Аппроксимация х(/) тем точнее, чем больше число слагаемых в (13.48), искажая в этом случае лишь «края» разложения. Формула (13.49а) определяет максимально допустимый интервал дискретизации непрерывных сообщений при цифровой обработке информации и ее передаче по линиям связи. Ограничение спектра частот должно предшествовать тогда дискретизации. Интервал дискретизации часто уменьшают по сравнению с )/2/тш.
Более полное обоснование и истории теоремы (13.48). Сосредоточенная в полосе частот [- /', у ) спектральная плотность 8(/) сигнала х(/) после периодического ее продолжения, т,е. замены 8(/) периодической функцией 8(у'), равной 8(/) в пределах [-./',,/' ], разлагается в ряд Фурье с периодом 2~ ~ р /2л!/(2Апах) хг р /2лс/ (! 50) /= » /=-аа и с коэффициентами 1 Р рс = — ) 8(/)е 2/ с// = /с [)8(/ )е <~<~с/! = х(/с).
2,/' а»ах После этого интеграл Фурье 2 х(с) = ~8(Г)е/™<Т = !< 8([)е/ ке<Т = -0» ./<пах /2лу!с<-сс! Т х, уа /2ч/!< — <ь! г х/=-»» /а»ах приводится к теореме отсчетов (13.48); здесь /г= -!. С позиций радиоэлектроники этот важный результат получен в 1933 г. В.А. Котельниковым [1.1). Около полувека в русскоязычной технической литературе теорему (13.48) называют теоремой Котельникова. В англоязычной литературе авторство в вопросах дискретизации относят либо к Шеииоиу [1.6], либо к Найквисту, установившему еще в 1924 г. число отсчетов 2~ Т, необходимое для воспроизведения ограниченной по частоте и времени функции [0.73, 1.6]. В функциональном анализе результат дискретизации целых функций экспоненциального роста был получен еще ранее Уиттекером. Появился термин <<теорема Уиттекера-Котельникова-Шеннона (УКШ)» [8.42], возможно использование термина «теорема УНКШ».
Сущность теоремы отсчетов при двустороннем ограничении спектра частот. Комплексные функции Х(г), определяющие вещественные функции х/// Ке[Х/(/е/ 'а ] с двусторонним ограничением спектра /' ~п </'</тах, можно дискретизировать с интервалом Л/= 1/(Т -/'„,и) = 1/П. (13.5!) При дискретизации /ь = /<А/ с этим интервалом и П«(/<плх + 7<»<»)/2 спРаведлива теоРема комплексных отсчетов х/б = ~х(/„)е(/-/„). (13.52) /с= а Здесь Х(га) — комплексный отсчет, определяемый квадратуриыми составляющими Ке Х(/л), 1ш Х(//<) или же амплитудой )Х(г/<)! и фазой аг8 Х(//<); Е(т) — синк-функция для полосы частот П Е(т) = з(п (яПт)/яПт. (13.53) Для сигналов с полосой частот, сравнимой со средней (Ттпх + /паса)/2, результат можно обобщить, переходя к аппарату аналитических сигналов (разд.13.1). Варианты статистических моделей дискретизироваииык сигналов.
После дискретизации (13.41)-(13.47) можно перейти к простым или блочным вектор-столбцам. Число блоков соответствует числу каналов приема М число элементов блока — числу временных отсчетов С. Вариант дискретизации /, =1 и М >1 используется также для иестатистического синтеза характеристик направленности одномерных и двумерных антенных решеток и некоторых систем обработки (разд. 13.6.6). 203 Е ременные отсчеты (13.55) Рнс. 13.26 "'лажиш., о м — 1,11 Ю -!О -5 О 5 1О 15 =2,! О -10 -5 О 5 10 15 м Рнс.
! 3.25 204 13.6.2. Дискретные фурье-преобразования Днскретное преобразованне Фурье (ДПФ) — лннейное преобразование и-элементной дискретной величины )о, У1, ...., Уи ! в дРУгУю и-элементнУ!о величинУ (8.2 — 8.5] вида и-! О = ~Ге е з~"~ " (л! =О, 1, ..., и — 1). (13.54) я=о Иначе, это - линейное преобразование вектора У = !!Ц! в вектор С = !(Ом!! С =АЪ' с матрнцей преобразования (матрнцей ДПФ) А=!!5ц )), зц=е (13.56) Обратное дискретное преобразованне Фурье (ОДПФ). Описывается л скалярными соотношениями и — ! Уя = — ~б,„е~~"~~" (/с= О, 1, ..., п — 1) (!3.57) м-О нлн одним векторно-матричным соотношением У=А С= — А*С. 1 * (13.58) и Справедливость использованного матричного обраще- -1 1 * ння А = — А можно проверить непосредственно.
Графическое поясненне ДПФ н ОДПФ. Преобразованне Уг в Ом показано на рнс. 13.25,а. Рнс. 13.25,6 поясняет вещественные днскретнзнрованные «косннусондальные гармоники н постоянную составляющую». Их наложение возвращает к Гь (рнс. 13.25,а). 13.6.3. Диаграмма Габора и дискретное преобразование Габора Диаграмма Габора, одного нз основоположников современной теории информации, основана на представленнн снгнаяов в виде сумм колокольных радио- импульсов (!946) с различным временем прихода н на различных несущих частотах (1.2). Широко применяется для иллюстративных пояснений (см.
разд, 18), но не рассчнтана на использовании указанного представлення в качестве удобного математического аппарата. В отличие от отсчетов Х(ГЛ) = ]Х(1)б(Г-Гг)!1Г н днскретнзацнн (13.55), разложении на колокольные составляющне не позволяет использовать точные обратные преобразования вида (13.48), (13.52) )1.154]. На рнс.
13.26 поясняется возможность построения более точного дискретного разложения Габора. Временные отсчеты Котельникова (УНКШ) разбиваются на группы длительностью Аг по у=Лгтбг отсчетов. Их ДПФ дают вертикальные столбцы диаграмм Габора. Тогда обратное преобразование для моделей снгналов в виде ряда Котельникова является возможным н точным [2.143, 2.143а, 2.!48, 2.154].
Описанные преобразовання использованы в разд. 19.14. В менее наглядной, но более общей форме, элементы такого анализа содержатся в (1.135а, 1.1356). 13.6.4. Обобщенный фурье-анализ Обобщенным фурье-анализом называют разложение функции х(г) на интервале Тзначеннй ее аргумента х(1) = ~~~ лиц~„,(1) (гп =1,2,...,М) (13.59) по фУнкциЯм !]г (1), обладающим на этом интеРвале свойствами взаимной ортогокалькости: т !ц Яц,'(1)«1=0 прн тки (!3.59а) о н полноты. Условие полноты сводится к тому, что соотношение (!3.59а) справедливо только для функций !р (1) РассматРиваемого класса.
и Умножая (!3.59) на сопряженную функцию !1,'(г), и интегрируя по г н учитывая свойство ортогональностн (13.59а), находят коэффициенты ряда (! 3.59): т ]т Ки~= ]х(гМ~(г)!11 / ]!уи(1)!у'„(1)Й. (13 596) о о Ряд (!3.59) с коэффнцнентамн (!3.59 б) называют разложениен функции х(Г) ло ортогоназькым функциям!р (Г) .
Функции !р Я часто нормнруют, подбнрая нх коэффициенты так, чтобы знаменатели (13.59,6) стали равны единице. Ряд (13.59) называют тогда разложением по ортонормировакным функциям. Прн нормировании нлн без него (! 3.59 б) определяет коэффнцненты разложения 8и . Вектор коэффициентов С = !!я«, д1, ..., я,, ...11 описывает спек!яр раможения.
!1т Первыми подобными разложениями функций были разложения нх на гармоники !ц (1) = соз(2птрг) н ц! (1)=51п(2кглЕг) с кратными Е =1(Т частотами — вещественные ряды Фурье. Развитием нх стали разложения по комплексным экспоненцнальным функциям ц!„,(!) == ехр(72пи!Ег) = соз(2пи!Е1) «-/з(п(2птЕ1) . Широко используются предельные ( Т -+ о, Е -+ О) случаи этих разложений — интегралы Фурье (разд. 13.1). Разложения по функциям цс„,(/)=с)с(с-тбс) можно отнести к предельным (Т-+со) обобщенным фурье- разложениям. Целочисленные индексы т функций 1]т (/), по ко- торым проводятся ортогональные разложения, часто можно заменить векторами /с, с/, составленными из двух целочисленных индексов /с и с/. Функции 1]с,, (т) назы«,ч вают биортогональными, если они ортогональны по каждому из индексов й и с/ .
Разложение (13.59) предусматривает тогда двукратное суммирование и называется разложением по биартагональны и функцшьь 13.б.б. Взйелетный анализ Термин вэйвлет, введенный в 1970 — 1980 гг., относится к взаимоортогональным сигналам, сосредоточенным и по времени, и по частоте [6.96, 6.95, 6.100].
Первоначальными вариантами вэйвлетов были первая и вторая производные колокольных функций Аехр(-т ), близкие к сглаженным вырезкам одного периода синусоиды. Разложения функций х(т) по биортогональным вэйвлеталс с)сг (/) называют вэйвлетными артоганазьныии разложениями. Среди взйвлетов можно выделить равномасштабные и разномасштабные. Равномасштабные вэйвлеты. Ограничимся примером равномасштабного вэйвлета, введенным в дискретнзированном разложении Табора (см. разд.! 3.6.3): з/п[2л(П/ — /с)] з/л~2л(",<~Ь/ -!)~ ! Чсл,/(т ./) = /зт = —. 2л(П/ - /с) 2л()с//5/ - !) П Разномасштабные вэйвлеты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
