Радиоэлектронные системы Основы построения и теория. Справочник . Под ред. Я.Д. Ширмана (2007) (1151789), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Модели.часкируюи/их помех сводят к стационарным и нестационарным шумам,.чодвли ичитирующих помех — к сигналам со случайными параметрами. 13.7.1. Модели нормальных кеазибелоео и белово шумое Используются для описания маскируюших помех (внутренних шумов, шумов природного происхождения, активных маскирующих помех). Ниже рассматриваются вопросы нормализации шума, вводятся понятия и характеристики квазибелого и белого шумов, непрерывных и дискретизированных.
Нормализации шума. Пройдя через узкополосную недиспергируюшую (разд. 19.2) цепь, имеюшую большую по сравнению с временем корреляции и однородную по спектру частот память, даже негауссовская помеха приблизится к гауссовской. Действительно, в каждый момент времени выходное напряжение цепи слагается из большого числа ее протяженных откликов на независимые случайные входные воздействия, причем с ограниченной интенсивностью каждого отклика. Тем самым создаются условия применимости предельной теоремы теории вероятности (см, разд, 27.2.7 и его заключительное замечание). Нормальный гауссовский шум с нулевым математическим ожиданием.
Полностью характеризуется своей корреляционной функцией ср(/, в) = М[п(/)п(л)). Рис. 13.31 Для модели белого исума /вах -а со, используя (13.61) и формулу Эйлера (13.3), можно получить ,р(т) о ][е/ х/э+с / п~ф= 2 а (13.64) = — )е/ 'с с// = — Ь(т), 2 2 где Ь(т) — дельта-функция. Величину Асс/2 в соотношении (13.64) можно считать спектральною плотностью мощности шума в двустороннеч частотно.ч спектре шума — со < ~ < о. Она составляет половину от спектральной плотности мощности шума А/о в адностораннеч спектре мощности 0 < / < со.
Модель дискретной выборки квазибелого шума. Выборка состоит из отсчетов, дискретизированных по Котельникову. Временной интервал между отсчетами т = !ась/= /з /2/вах (!с = О, 1, 2, ... ). Степень взаимосвязи отсчетов можно определяется дискретными значениями корреляционной функции сР(!аЬ/) = М(па и/сан) = ФО/ваха!п(к!с)/Я!с. (13.65) 207 ф(0) = а = Фо(озох 2 р(рог) =О, р = 1,2..... (!З.бб) Отсчеты с различающимися номерами некоррелированы, а в силу гауссовости распределения независимы. Совместная плотность вероятности выборки шума а=по=!(л!щ...и !) (13.66 а) сводится поэтому к произведению плотностей вероятности отсчетов. Каждому отсчету по сооветствует, по условию, гауссовская плотность вероятности с нулевым математическим ожиданием: 2-!/2, 2 2 ро(по) = (2ла ) ехр( — ль (2а ).
Плотность вероятности выборки (! 3.66 а) составит и ( ! и ро(п) =Про(ио) =(2ло ) ои2 ехр~- — „2 п~~ . (13.67) кы 2а сы В векторно-матричной записи, поясняемой соотношением (26.7), ,"~ п, = поти„, поэтому ро(п) =(2ла ) ехр( — попо/2аа). (!3.68) 13.7.2. Анализ выборки гауссовской помехи общего вида Отсчеты помех РЭС имеют нулевое математическое ожидание М(и,) = О, на в общем случае (например, для пассивной помехи) коррелированы М(п,по) =~рмпО, /гид Корреляционная матрица помехи (см.
разд. 26. ! ) ф-!!ф о!1==!!фи!1=ф' в общем случае симметрическая н не меняется от транспонирования: поскольку и, ио = пя ло то ф и = ф и. Матрицу помехи можно представить поэтому в виде ф = фрррр~ = М)!п, лй! = М(!!по(!.!!АД ) = М(п и ). (13.69) Относительно операции умножения матриц (здесь вектор-столбца и на вектор-строку и ) см. разд. 26.2. Ломака в оби(еч случае нестацианарная. Это значит, что в общем случае: ° дисперсии отсчетов ф „= а, неодинаковы; ° значения корреляционной функции ф а зависят не только от интервала между моментами наблюдения — )о =!з, но н от самих этих моментов, иначе фа и ф,„~.. Нелинейные преобразования нарушают нормальный (гауссовский) закон распределения мгновенных значений помехи. К различным мадаояч выборок карреяираванных нестацианарныт гауссавскш исмат можно прийти путем линейных преобразований выборки некоррелнрованной гауссовской стационарной помехи.
Корреляционная матрица отсчетов некоррелированной помехи. Является диагональной, поскольку все ее элементы вне главной диагонали равны нулю. Корреляционная матрица отсчетов некоррелироваиной и стационарной помехи. Имеет одинаковые диагональные элементы, т.е. оро=М!попо ) =а 1, (! 3.70) где 1 — единичная матрица.
Корреляционной матрице вида (13.70) соответствует обсуждавшаяся модель выборки квазибелого шума с отсчетами по Котельникову. Модель линейного преобразования выборки. Выборка и, преобразуется линейной системой (рис. 13.32,а) с невырожденной квадратной матрицей Ь в выборку п=Ьп,. (13.71) ло Ь л и (.' ио б) Рис. 13.32 Плотность вероятности р,(по) преобразуется при этом в плотность вероятности р(п) по формуле, обоб- щающей предыдущую (13.19), -1 ди, р(п) = ро(Ь и) — ' дп -! Здесь 1 и — это значение пш соответствующее и.
Оп- ределитель!сл,lдио,! — модуль якобиана преобразования ! дп,~ д — = — ~(чя „=!(,;!=!Ь|, о!ло ~ дпо2 пересчитывающего элементарные обьемы из простран- ства по в пространство и. Таким образом, р(п) = ! Ь! .ро(1. и). (13.71а) Линейное преобразование выборки квазибелого шума с единичной дисперсией. Корреляционная мат- рица преобразуемой выборки ио равна фо = 1. Ее плот- ность вероятности в силу (13.61) составит ро(по) = (2л) ' ехр (-и; по(2) Корреляционная матрица преобразованной выборки и в силу (! 3.62), (! 3.64) равна М(пи ) =М!(Ьпо)(1 по) ). Используя правило транспонирования произведения матриц (26.4), неслучайный характер матрицы Ь нахо- дим корреляционную матрицу ф =Ь М[по по ) Ь = Ь Ь, (13-716) а также ее определитель !ф1=!Ь!!Ь'! =!1.!* н обратную матрицу ф'=(Ь Ь') '=(1.') !(Ь) '=(Ь')'(Ь) ' Плотность вероятности преобразованной выборки и согласно (13.68) и (13.71 а)составит р(п) =(2л) ! 1.
! ехр(- (Ь и) (1. и)), (13.72) где в соответствии с полученными результатами !1 ! !фГи, (!3.73а) (1 и) (1 п)=п(1. ) Ь п=п ф и. (13.736) На фшическа.ч уровне строгости полученные результаты позволяют: ° трактовать случайную выборку и с положительно т определенной корреляционной матрицей ф = Ь Ь как 208 результат прохождения некоррелированной стационарной выборки пп через линейную систему с матрицей преобразования 1„. ° декоррелировать выборку и, сводя ее к выборке из стационарного случайного процесса пп путем линейной обработки с матрицей 1. (рис. 13.32,б); ° получить выражение плотности вероятности гауссовской помехи общего вида с заданной корреляционной матрицей гр (см. разд.! 3.7.3). 13.7.3. Выргаения плотности вероятности выборки геуссовской помехи общего вида Скалярная форма выражения плотности вероятности.
Определяется выражением (13.72), которое после подстановки (13.73 а) и (13.73 б) принимает внд р(п) = (2л) ! гр ! ехр~- — п гр п), (! 3.74) /2 -и2 ( 1 где т — размер выборки. Выражение (13.74) характеризует общий случай .многомерного нормального распределения вероятностей для величин с нулевым математическим ожиданием. -1 В нем гр — матрица, обратная корреляционной, т.е. удовлетворяющая соотношению гр гр = 1;!гр! — определитель (детерминант) корреляционной матрицы.
В показателе степени (13.74) перемножаются три т матрицы: вектор-строка п (матрица 1хт), квадратная -1 пгхт матрица гр и вектор-столбец п (матрица 1хт). Произведение птгр п (матрица!х1) — это число, называемое квадратичной формой (см. разд. 26.2.2) вектора п. Частный случай многомерного нормального распределения для некоррелнрованной стацнонар- -1 ной помехи.
При произвольном значении т имеем и = а 1, [гр!=(а ) = а, т.е. (13.74) переходит в(13.63). Частный случай распределения двух отсчетов коррелированной помехи. В этом случае т = 2, Е11 = аг, 2 е22 = аз, 11)12 = г!)21 = М (пг п2) = ргт1а2„где р = )Р 12'о 1122— 2 коэффициент корреляции, а Е= 1 [4)1= ага2(1-р ), (13.75) рага2 а2 2 ! 1/аг — р/ога2 2 2 1 — а — р/ага2 1/а2 После подстановки в (13.74) п = !! пг п2 !! и ф приходим к скалярной записи двумерного нормального распределения: 1 Р(пг )12) х 2лаго2з!1-р Г 2 (13.76) Линии равного уровня р = сопя! этого распределения для различных аг, а2 и М(пг п2) = рага2 представлены на рис. ! 3.33.
Кп„п)) 1)п,) ) мг Рис. 13.33 Разновидность скалярной формы выражения плотности вероятности многомерного нормального распределения. Упрощает некоторые сложные расчеты (см. разд. 25). Переходя к этой записи проводят два преобразования. Во-первых, квадратичную форму в показателе степени экспоненты (13.67) заменяют следам произведе- т ниа.матР)Щ а =1Р ) и Ь = и п =[[я,пг!! (сУммой Диагональных элементов произведения, см.
разд. 26.4) 1г(аЬ) = ~~) а,„п,п„= и'ап, Во-вторых, определитель корреляционной матрицы ! гр ! на основе соотношения (26.33) преобразуется. в показательную функцию следа ее логарифма: Ц = ехр(1п Ц ) = ехр(1г! пг!)) . Плотность вероятности многомерной нормального распределения (13.67) приводится в результате к виду р(п)= (2л) ехр[- — гг(Е 1ппт + 1п и)) . (13.76а) 2 Плотность вероятности комплексного нормального распределения, принятая в Справочнике. Описывает т = 2М значений 1 случайного процесса п(г) = Ке[(/(/)е/ 'в ~ путем задания случайных вещественньгх чисел Ке[(/(/,)~, 1)п[с/(/,)~, /=1,...,т.
Выборка %У этих чисел распределена по закону р(1)) =(2л) ' [Ф! ехр( — 1/РтФ '1)), (13.76 б) 2 Вводя комплексные амплитуды и их корреляционную 1) г матрицу Ф= — [М[ (/(/ )(/ (/,)), '(г, /'=-1, 2,...,М), находят рп)) )2 ) р[ — )Ф"'Б~п"+) Ф)), ))226 ) 2 Разновидность записи комплексного нормального распределения. Часто матрица комплексных амплитуд вводится без коэффициента 1/2. Тогда коэффициент (2л) пн заменяется на (л) "и коэффициент 1/2 исклю- чается из показателя степени экспоненты. 13.7.4. Модели негеуссоеских помех Известные уже э)одели негауссовских помех можно подразделить на: ° прямые вероятностные модели; ° локально-вероятностные модели; ° момептно-кумулянтные модели; ° марковские модели; ° полигауссовские модели.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
