Радиоэлектронные системы Основы построения и теория. Справочник . Под ред. Я.Д. Ширмана (2007) (1151789), страница 193
Текст из файла (страница 193)
При а — э 0 неполная гамма функция обращается в нуль, при а-» е переходит в полную гамма-функцию: у( о, р «1) = Г(р + 1) = рГ(р). (25. 9) Для целых р > 1 значение Г(р + 1) = р! = р(р — 1)...1. Байесовское оценивание дисперсии с доопытным распределением (25.7) при Р»-0 .
Подставим (25.6) и (25.7) в (25.5), проведем замену переменных в/20=», Р= вг2», йР= -(ы2»~)Щ (25.10) и используем тождество 1 = à — ! . Первые инте- тралы числителя и знаменателя примут вид г ',ыч нзоо 1о Рр(«~Р)р(Р)йР=-~ ../ ) ег»" ч ~и» о /,Ч и/2О„ ...)о р(л10)р(0)йР=~ — ~ ~ е "»" " ~г(». « Проводя аналогичное преобразование для вторых интегралов и используя (25.8), находим з 7 (в/2Р„)г) — 7 (в /2А, /г) 2 7 (з(2Р„юг+1) — 7(в72А,)г+1) Здесь й- байесовский параметр оценки интенсивности й=»-Ч-2. (25.12) Байесовское оцениванне дисперсии помехи при Р«=0, Р;-О, А-з»е. Выражение (25.1! ) приводится к Рь --— в Г(в) (25.13) 2 Г(в+!) 28 Параметр 2в заменяет знаменатель и =2» оценки максимального правдоподобия (25.2).
Для п=О значение знаменателя (25.13) 2й = п-4 = 2(» — 2), для з)= -1!2 значение 2« = п -3 и для и=-1 значение 2« = п - 2 . Сопоставление небайесовских и бвйесовскнх оценок дисперсии. На рис. 25.1 и 25.2 нанесены одна и та же плотность вероятности р(в!О), где л — сумма квадратов гауссовских величин (25.2) с одинаковой дисперсией Р при Р,=О . Это так называемое распределение хиквадрат (27.62), но построенное в данном случае при в=сола! в функции Р > О. Показана оценка 0ьлп дисперсии помехи по максимуму кривой р(в~Р). Введенные Р.Фишером оценки как оценки максимального правдоподобия (МП) эффек» тивны (асимптотически эфРис. 25.1 фективны, разя.
20.1.2) при п=2» — э«э, когда кривая р(л10) становится гауссовской. При малых же п=2» для энергетических параметров их правдоподобие нарушается. Байесовская же оценка при доопытиой плотности вероят- » ности р(0) = сопзй где 0 >О, Рис. 25.2 лучше отображает «хвосты» 428 распределения, соответствуя «центру» распределения послеопытной плотности вероятности (рис. 25.1). Байесовская оценка совпадает с МП оценкой (рис. 25.2) только для принятия распределения Парето р(0) 17 02 соответствующего 0=2, и заранее отдающего предпочтение малым интенсивностям помех перед большими.
Байесовские оценки с доопытными плотностями вероятности, неравными нулю при Р> 0« >О, позволяют учесть уровень внутреннего шума. 26.2.2. Обнаружение сигнала с заданной условной вероятностью ложной тревоги при случайной интенсивности гауссовской некоррелированной стационарной помехи Условная вероятность ложной тревоги фиксируется за счет адаптивного подбора порогов обнаружения 2«, вв~ (разд. 16), связанных с косвенным оцениванием интенсивности помехи.
Продетектированные квадраты амплитуд (амплитуды) помехи, предшествующие кратковременному или сжатому сигналу, и следующие эа ним проходят линию задержки с отводами, суммируются (рнс. 25.3) и используются для выработки порога обнаружения для порогового устройства ПУ.
Порог устанавливают, исходя из величины полученной суммы в, обеспечивая условную вероятность Г = Г(2« ~в) — постолнныи уровень ложной тревоги (ПУЛТ, С»АК— Сопз1апг га!зе А)апл Вазе). Отсчет помехи со среднего, «сигнального» отвода (рис. 25.3) обычно не суммируется. Усложняя обработку, это мало повышает 11.89, 1.128] качество обнаружения. Рис.
25.3 Показатели качества адаптивного байесовского обнаружителя с ПУЛТ. Для неслучайной дисперсии помехи 0 условные вероятности правильного обнаружения 0(У«! Р) и ложной тревоги Г(У, ! О) имеются в разд. 16, 17 для ряда моделей флюктуаций сигнала. Их усреднение по дисперсии Р при каждом значении в с учетом (25.4) позволяет найти эти вероятности; 0(2« 1в) =-) Р(2« ~ 0)р(01в)с~0 = 1' 0(2« / 0)р(л10)р(Р)йР (25,15) Г,"„р( 10)р(0)й Р Г(2» ~ Р) р(л / О) р(0)в Р Г(со ! в) = = — — (25. 16) 1,", р(в! Р)р(0)йв Для когерентных сигналов со случайной начальной фазой (разд.
16.2.4), флюктуирующих по закону Релея, 0,6 од ».О,Г1 1О го' 1О О 5 й го ю/20„10 Рис. 25.4 429 0(ХО !0)=ехр(-Уо /21(0)~ у = К,. +1 (25 17) а для аналогичных нефлюктуирующих сигналов выра- жается через функцию Маркума. Но в обоих случаях Е(20 )0) = ехр[-Х,'/20). (25.18) Порог байесовского обнаружителя с ПУЛТ (рис. 25.3) для РО=О. Соответствует выражениям Е(со ! з) = Е ~о Хо(з).
(25.19) Подставляя (25.7) и (25.18)) в (25.16), вводя»= з 1' 20, заменяя р(з/Р)010 = р(»)»!» и только в числителе (1+ «О — )» =х, преобразуем левое выражение (25.19): 20о (о /г о„)~-я (1+«о ) ) е»»!» ыгА Здесь «о= Хо' (з)!200 — отношение уровня порога к интенсивности 20о внутреннего шума; 1» — байесовскнй параметр оценки интенсивности суммарной помехи, определяемый согласно (25.!2) через число т используемых для оценивания комплексных амплитуд и параметр 1) степенного распределения дисперсии Р. Интегралы приведенного выражения сводятся на основе (25.6) к разностям неполных гамма-функций (25.8), а первое выражение (25.19) приобретает вид Ь "')-Ы" —" ,") 2200 Е (25.20) ~а')- ( —:.
) Решение «о= «0(з, Е) трансцендентного уравнения (25.20), полученное для Ро =О, А-+»о, Е=10, т)=0, т=11 и я=-9, представлено на рис. 25.4. Чем больше выход з сумматора, тем больше уровень порога (меньше усиление сигнала при постоянном пороге). Для байесовских оптимальных обнаружителей с ПУЛТ зависимость «о от з (сплошная линия на рис. 25.4) нелинейная. С уменьшением з порог приближается к постоянному, рассчитанному на действие внутреннего шума и исключающему потери на адаптацию в отсутствие внешних помех.
При Р, > 0 роль левого нелинейного участка возрастает. Эта зависимость в обнаружителе рис. 25.3 в ходе эксплуатации не изменяется. При конечных А она перейдет в горизонтальную прямую и справа. Условные вероятности обнаружения при релеевских флюктуацнях амплитуды. Зависимость (25.!5) определяет варианты вероятностей правильного обнаружения, условных при Е=сопгп по отношению к ° сумме з (рис.
25.3) вида 0[со(з, Е)! з1= 0(з); ° отношению наибольших интенсивностей Е = А 00 = =2А 200 суммарной помехи и внутреннего шума. Последняя вероятность рассчитывается по формуле О Р = ) Р(з)Р(з)»й = 0(Е) . о Поскольку р(з) определяется знаменателем (25.15), то ~по 0(() = [ Р[0)[0[го !О[.Р[з!0)( (Р. (25.21) ц, о Кривые обнаружения при релеевских флюктуациях сигнала для Р„=О.
Преобразования (25.16), проведенные при получении (25.20), можно провести и для (25.15). Из-за отличия (25.! 7) от (25.18), они приводят к выражению вероятности обнаружения 0(со ! з) с заменой параметра «о, вошедшего в (25.20), на «0/;(: (25.22) Чтобы перейти к кривым (25.21), следует подставить (25.22) в (25.21) и проинтегрировать по Р. Такие кривые показаны на рис.25.5 для А-+»О, Е=10 ', т=б, 11, 1б и /=0,10. В силу случайного характера сигнала и помехи по оси абсцисс рис. 25.5 отложена случайная величина.
При каждом фиксированном отношении снтнап-помеха она неслучайна. Пунктирные кривые расположены несколько левее сплошных, а при Р, > 0 роль нелинейности характеристики (рис. 25.4) дополнительно возрастает, но не сильно. В снпу этого находит использование предельный случай модели РО=О Ро-+О А-+'0 1 о 0 3 10 15 го К „,лв ЗО Рис. 25.5 Случай РО=О, Ро-+О, А-+»о прн релеевских флюктуацнях. Здесь кривая (сплошная на рис.21.4) переходит в прямую пунктирную, неполные гамма-функции вырождаются в полные, а выражения (25.20), (25.22) принимают вид: (!+с) ~ =Е и 959(Е)=ЯР— 1, (25.22а) 0(7 !О) П 1+ Р (25 226) Х ~К +о(11Е Здесь обозначено «= Хо ' ! з =«о 20/з и учтено (25. 17). о /ю л~ ! дур)=е т и Г кто т' омо В Рис. 25.6 од ол о о 15 Х В 25 т 1' Рис.
25.8 о.| о.з с 0 Рис. 25.7 где 430 Алгоритм сравнения с порогом реализуется тогда в более простом, чем на рис. 25.3, виде. В обнаружителе с ПУЛТ и делителем напряжения сигнала на суммарное помеховое напряжение з (рис. 25.6). Усиленное напряжении делителя сравнивается с постоянным порогом. Известный недостаток обнаружителя (рис. 25.6) — нвабхадииость увеличения отводов ч, чтобы исключить занижение порога в отсутствие внешних помех. Кривые обнаружения (рис. 25.7) построены согласно (25.22а) и (25.22а) для условной вероятности ложной тревоги Е=10 и значений ч = /с -о з)+ 2 = сс, 20, 13, 8, 5 и выбранного априорного распределения помехи 0=0,0 < О <'.
5 10 15 20 Кром, дБ 30 Кривая ч -+~о при неизвестном уровне помехи (штриховая линия) совпадает с кривой для известного ее уровня, см, (!6.35) и рис. 16.11. Энергетические потери из-за неизвестного уровня помехи велики при ч = = 5...8 и снижаются при ч г (13...20). Общие особенности кривых обнаружения при байесовском подходе. Кривые (рнс.25.7) относятся к «наиболее жесткому» равномерному г)=0 Парето-распределению помехи.
Если параметр помехи ц «смягчается», переходя при (0< 13<ос) в з)=-1,-2, кривая для ч =20 комплексных отсчетов реализуется при ч = 19, 18 таких отсчетах (сравните с рис. 25.1, 25.2). Показатели качества обнаружителей с ПУЛТ прн отсутствия флюктуаций амплитуды сигнала.
Оценка показателей качества адаптивного обнаружения на основе результатов разд. 16-17 пригодна и в этом случае. Ниже рассчитываются кривые обнаружения сигнала с равновероятной начальной фазой без амплитудных флюктуаций для случая учета только больших интенсивностей внешних помех. Выражения (16.33а), (16.34) вероятностей Е и В при известной интенсивности помехи 20 имеют вид В(20!0)=0(К. Д, — Д-функция Маркума (16.34 а,б).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
