Радиоэлектронные системы Основы построения и теория. Справочник . Под ред. Я.Д. Ширмана (2007) (1151789), страница 181
Текст из файла (страница 181)
В соответствии с (24.26), (24.27) определяется многочген синдрома оигибок: с(в) = у(в) Ь(в) — и(в) = п(в) Ь(з) (щоб (в — 1)), 1 характеризующий ошибки и равный нулю при отсутствии ошибок. 24.6.3. Формирование систематических цикпическик кодов При систематизации (24.19) предусматривают; ° умножение информационного многочлена и(в) = нг-1 = ин, 1В + ... + и1В + ио На ОДНОЧЛЕН В СТЕПЕНИ К ПО- роягдающего многочлена 8(в) с целью охвата кодированием всех элементов многочлена и(в); ° вычисление остатка от деления полученного многочлена на порождающий: Ь(в)=в и(в) (шог!8(в)); ° суммирование произведения в и(в) н остатка: в и(в) + Ь(в) = х(в).
Коэффициенты при степенях переменной в от ! — 1 до !г = ! — т принадлежат информационным символам, при степенях от 12 — 1= 1 — т — 1 до 0 — проверочным. Техническая реализация устройства деления. За- 3 2 дадим информационный и(в) = изв + изв + и!в+ ио и 3 2 порождающий 8(в) = в е азг + а 1в е 1 многочлены. 3 В первом же такте деления многочлена в и(в) получается остаток Ь(в) по шог! 2, т.е. при учете того, что 0+ 1 = 0 — 1 = 1 (шог! 2)„! + 1 = 1 — 1 = 0 (глод 2): ггзв +и24 +и1в +нов в +а2в +а1в+! б 5 4 3 3 2 б 5 4 3 3 изв +а2изв +а1изв +изв изв (а2из+и2)в +(а!из+и!)в +(из +ио)в =Ь(в). 5 4 2 Операция получения остатка выполняется, например, 1:„1::,1:,1!3 Выход гг-разрядным реги- Вход стром со встроена, аз ными сумматора- а) ми и с обратной Вымт + связью (в примере 42 lг = 3, рис. 24.6,а).
+ + Здесь элементы комбинации Ь(в) Ряс. 24.6 формируются параллельно. Элементы той же комбинации Ь(в) формируются последовательно (по мере поступления сообщения и(в)) в случае использования регистра с вынесенными су:иматорами (рис. 24.6,6). И!1 16!изб) Вход На рис. 24.7,а,б поясняются два варианта кодирующих з устройств с порождающим многочленом 8(в) = в + в + !. В регистре с обратными связями схемы (рис. 24.7,а) кодовая комбинация в и(в) делится на многочлен 8(в). Ин- 3 формационная комбинация предварительно смешается регистром сдвига на !г разрядов (!г = 3), что равносильно умножению и(в) на в . Ключ Кл-! находится в положе- 3 нии 1, ключ Кл-2 включен.
б) Рис. 24.7 матрица при систематизации (24.20) приобретает внд 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 (24.28) Исправление ошибок. Может быть параллельным и последовательным. Наиболее просто реализуется последовательное исВход Рггксгр г обр.
свя зью правление (рис. 24.8). Принятую кодовую Сгг!гхго комбинацию вводят для этого в регистр со Р' Р со а гач + сдвигом и в регистр с обратной связью Рис. 24.8 (ОС). Содержание регистра с обратной связью (вектор с) определяется вектором ошибок и. Поразрядное суммирование вектора и с принятым сигналом исправляет ошибки. Исправления осуществляется за два цикла. Ключ Кл-1 переключится в положение 2, а ключ Кл-2 выкпючится, когда последний элемент кодовой комбинации с дополнительного регистра поступит на выход. После этого на выход выдается содержащийся в основном регистре остаток от деления. Вариант кодируюшего устройства для того же порождающего многочлена 8(в) = вз + в+ 1, не требующий дополнительного регистра, изображен на рис. 24.7,б.
24.6.4. Декодирование систематических кодов По-прежнему можно использовать то обстоятельство, что остаток от деления принятого кодоваго. иного- члена у(в) = х(в) + п(в) на 8(в) представляепг собой многачлен синдрома ошибок. К исправлению ошибок можно подходить, однако, и с позиций разд. 24.5. Каждый Ьй столбец проверочной ! матрицы является остатком от деления одночлена в на порождающий многочлен 8(в), а также корнем много- члена 8(в) в расширенном поле Галуа.
Например, при — 3 О 3 8(в) = в + в + 1 остаток от деления в = 1 на в + в + 1 равен 0 (в + в + 1) + л = 1, что соответствует в трехраз- 3 О рядной (1г = 3) двоичной записи 100 и т.д. Проверочная же 404 В первом из них (цикле поступления) принятая ко- довая комбинация поразрядно поступает в регистр со сдвигом и регистр с ОС. Во втором цикле (цикле исправления) комбинация, снимаемая с регистра со сдвигом, выдается через сум- матор по модулю два на выход. При попадании иска- женного разряда на выход регистра со сдвигом селектор определяет состояние регистра с ОС и вырабатывает сигнал исправления.
24.6.5. Укороченные циклические коды Число информационных разрядов можно иногда со- кратить, число проверочных разрядов остается полным. Структура кодеров и декодеров упрощается без ухуд- шения возможности контроля ошибок. 24.6.6. Двоичные коды БЧХ Иначе, двоичные коды Баула — Чоудхури -Хоквингеча. Обеспечивают исправление 0-кратных (О = 0„,) ошибок в 1-разрядных (! = 2" — 1) кодовых комбинациях, Коэффициенты х! 1, ..., хо многочленов х(л) выража- ются двоичными цифрами О и 1, т.е. элементами про- стого поля Галуа бЕ (2), см.
разд. 28.3. Порождающие же многочлены этих кодов строятся на основе расиги- ренных полей Галуа бЕ (2"), )4 = 2, 3, 4, .... Согласно арифметике полей Галуа каждый из нену- левых элементов поля (многочлен, число) является сте! пенью а (! = О, 1, ..., ! — 1) примитив»ага элемента поля ! а. Произведения двучленов л — а образуют многочлены расширенного поля Галуа, корнями которых являются элементы поля а'. Многочлены определенного вида расширенного по- ля Галуа используются в качестве порождающих мно- гочленов 8(л) циклических кодовых комбинаций х(л)=и(л) 8(л), где и(л) — информационная кодовая ком- бинация, также в многочленной записи. Неискаженный многочлен х(л) приобретает важные 1 дополнительные признаки.
Значения а оказываются его корнями. Минимальные многочлены и нх использование в качестве сомножителей порождающих. Дополняя ! двучлен л — а определенной комбинацией неравных ему и неравных между собой двучленных сомножите- лей л — а1, можно получить многочлен-произведение я,(л), обладающий следующими тремя свойствами; ° элемент поля а' является корнем этого двучлена; ° коэффициенты многочлена выражаются двоичны- ми цифрами О и 1; ° число сомножителей, обеспечивающее выполнение двух предыдущих свойств, является минимальным. Многочлен указанного вида называется миничазь! ным для элемента а, Например, в поле бЕ (16) (разд. 28.3) мнагочлвн 5 10 2 (Л вЂ” а ) (Л - а ) ч В + Л + ! = Я5(Л) = 8 ! О(з) ЯазнвтСЯ Микит .чальныч для элементов а, а .
Здесь учтено, что в поле коэффициентов бЕ (16) произведение а а =а =1, сум- 5 10 !5 ма а + а = 1, а в поле коэффициентов бЕ(2) значение— 5 !О 1 = 1 (пю!! 2) (см. также разд. 28.3.4). В поле бЕ (2) мини- мальные многочлены не разлагаются на множители, т.е. являются примитивными. Таблицы минимальных и при- митивных многочленов приводятся в [4.7, 6.74). Произведение нескольких различающихся .чини»аль»»а многочленов полн бЕ (2") используется в качестве порождающего много»лена двоичного кода БЧХ.
Увеличение числа сомножителей повышает кратность исправляемых ошибок 0 = О„„но сокращает число информационных разрядов т. Наибольшее при заданных 0 и ! число информационных разрядов кода обеспечивают порождающие многочлены вида 8(з) = НОК ( д,(л),8,~1(л), ..., д .2О 1(л) ). (24.29) Обозначение НОК соответствует наиченыаечу общему кратному заключенных в фигурные скобки многочленов (см. разд. 28.2), !' — произвольный номер начального элемента поля, Операция вычисления НОК исключает излишние повторяющиеся минимальные многочлены. Операция умножения при вычислении НОК проводится по правилам двоичной арифметики. Изложенное поясняется примерами.
Код БЧХ (15, 7), позволяющий исправить две ошибки. Пусть 14 = 4, ! = ! 5, 0 = О», = 2. При ! = ! значение ! + 20 — ! = 4. В соответствии с разд. 283.4 8!(л) = 82(л) =84(л) =л +л+ 1,83(л) 5 в +л 4 в +!. Порож" 4 4 3 2 даютций многочлен 8(л) = (л + л +!)(л + л + л + 1) = л 4 в + л + л + 1 4 4 3 2 8 7 б 4 имеет 8-ую степень. Число информацнонньгх символов равно т = 15 — 8 = 7.
Кодовый многочлен х(л) является произведением информационного многочлена и(л) степени 7 — 1 = 6 н порождающего 8(л! 8-ой степени. Код БЧХ (15, 5), позволяющий исправить три ошибки. По-прежнему р = 4, ! = 15, но 0 = 0„, = 3. При ! = 1 значение 1+ 20 — 1 = 6. В соответствии с разд. 28.3 85(л) = л + л+ 1, 84(л) = яз(л). Порождающий многочлен 2 имеет 10-ую степень; 8(л) = (л + л + 1)(л + л ь з + 1)(л + л + 1) = 4 4 3 2 2 =л +л +л +л 4-8 4л+1. 1О 8 5 4 2 Число информационных символов т = 15 — 10 = 5. Код БЧХ (15, 1), позволяющий исправить семь ошибок.
По-прежнему )! = 4, ! = 15, но 0 = 0»с = 7. При ! =1 значение ! + 20 — ! = 14. В соответствии с разд. 28.3 87(л) 8! !(л) 813(л) Я!4(л) л + л + 1 ° 88(з) 81(л), 89(в) 83(л) 810(л) 85(л). Порождающий многочлен имеет 14-ую степень: д(л) =(з 4-8+ 1)(л 4 л +л + 1)(л 4 л+ 1)(л +л + 1) = 4 4 3 2 2 4 3 =л 48 48 1Я +Я +Л 1Я 48 +Л !4 13 12 11 10 9 8 7 6 4 л + л 4 в 4 в 4- в ь 1. 5 4 3 2 Число информационных символов т = 15 — 14 = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
