Казаринов Ю.М. Радиотехнические системы. Под ред. Ю.М.Казаринова (2008) (1151786), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Аналогично длина отрезка оси Ев пределах той же фигуры, равная ширине спектра ЛЕ»л квадрата действительной огибающей сигнала по уровню 0,5, служит мерой разрешающей способности только по частоте. Дополнительной иллюстрацией влияния ФН (см. формулу (4.40)) на разрешающую способность служит тот факт, что ФН при фиксированном значении Евоспроизводит огибающую после СФ, на который подается сигнал, расстроенный относительно фильтра на Егерц. Набор таких огибающих, после «гребенки» настроенных на разные частоты фильтров, образует «пакет» сечений ФН Ч'(т, Е) для разных значений Е Для иллюстрации построим частотно-временную ФН простейшего сигнала: радиоимпульса с прямоугольной огибающей, для которого 174 1 при !!!<т,/2; '(г) = 0 при !г! > т, !'2, где т, — длительность сигнала.
При подстановке этого выражения в формулу (4.40) лля 0 < т < т, получим ехр ( — !2п й) бг 1 ьйп вг(т, — т) вг"т, Ч'(т, г) =— 1 Т Вычислив аналогичный интеграл для -т,. < т < 0 и учтя, что при сдвиге т, большем по абсолютному значению длительности т„копии сигнала не перекрываются, окончательно получим а!п лГ (т, — !т!) при !т! < т,; Ч'(т, Е) = пР'т, 0 при !т~ > т,.
(4.41) Ч'(г, 0) = 1 — !т!/т, при !т! < тй Ч'(т, 0) = 0 при !т! > т,. Этого и следовало ожидать, так как комплексной огибающей рассматриваемого сигнала является прямоугольный видеоимпульс, имеющий именно такую корреляционную функцию. Сечение же ФН Рис. 4.1 !. Частотно-временная ФН радиоимпульса с прямоугольной оги- бающей 175 Домножив и разделив выражение (4.41) на (т, — !т!), после предельного перехода г" — ~ 0 нетрудно убедиться, что сечение ФН плоскостью г"= 0 есть равнобедренный треугольник с основанием 2т,: плоскостью т = О есть функция вида Ч'(О, г ) = 1в|п(лг'т,)/(лг т,)~, что опять же предсказуемо и без вычисления ФН, так как квадрат огибающей прямоугольного радиоимпульса — прямоугольный видео- импульс, имеющий амплитудно-частотный спектр ~яп(л/'т,)/(яг т,)~.
Кроме того, сечения ФН плоскостями г = lс/т„где й — ненулевое целое, повторяют по форме модули синусов частот й/2т,. Все эти детали отчетливо прослеживаются на аксонометрии ФЙ, приведенной на рис. 4.11 и показывающей, что рельеф, сосредоточенный в пределах полосы -т, < т < т„имеет склоны от начала координат; линейный вдоль оси т и вида япх/х вдоль оси Г; на расстояниях от оси т, больших 1/т„поверхность Ч'(т, г) становится волнистой, приобретая характер извилистых гребней и ложбин. Область высокой корреляции для ФН, показанная на рис.
4.! 2, заключает в себе отрезки осей т, Г, имеющие длины, связанные обратной пропорцией, соответственно т, и 1,2/т,. Следовательно, для прямоугольного радиоимпульса улучшения разрешающей способности по времени запаздывания можно достичь лишь ценой ухулшения разрешающей способности по частоте. Так, неограниченное укорочение импульса, т.е. переход к огибающей типа б-функции, превратило бы область высокой корреляции в бесконечно узкую полосу неограниченной протяженности вдоль оси Е Это означает, что две копии сигнала, разнесенные по времени запаздывания на любое ненулевое значение т, оказались бы легко разрешимыми, тогда как совмещенные по времени копии несмотря на сколь угодно большую частотную расстройку разрешить бы не удалось.
Аналогично, устремляя т, — ~, т,е. перехоля к сигналу в виде немодулированного гармонического колебания, можно по- лучить ДН в виде полосы, вытянутой вдоль оси т. При этом сигналы с какой угодно отличной от нуля частотной расстройкой разрешаются без затруднений, тогда как копии сигнала с совпадающими частотами неразрешимы ни при каком разносе по времени. Противоречивость показателей разрешения по т и Г характерна для всех простых сигналов. В основе ее лежит инвариантность к виду сигнала объема 1' жела иеопределенносжи, т.е. тела, заключенного между плоскостью (т, /') и поверхностью, описываемой квадратом ФН Ч'2(т, г").
Соответствующее утверждение, известное !76 Рис. 4.12. Диаграмма неопределенности а прямоугольного радиоимпульса 1 $ = Ц Ч '(т, Е)с$тс(Е = —, ~ Ц ~ з(б)Х *(0 — т) х хХ ' ($$)е($2 — т) ехр [- $2кр(0 — г, Я с)бс)с,с)тс)Г. Взяв интеграл по г и получив Б-функцию аргумента (б — т2), можно воспользоваться ее фильтруюшим свойством: 1 , ) 1х(г)/ с$$ Г 1х(т т)/ с(т — 1, (4. 42) так как каждый из интегралов равен 2Е.
Таким образом, тело неопределенности имеет единичный объем независимо от конкретного закона модуляции сигнала. Можно представить тело неопределенности как некую массу пластилина, которой, выбирая сигнал, можно придавать различные конфигурации, но из которой нельзя удалить даже одной молекулы. Из соотношения (4.42) можно сделать важные выводы, если учесть, что объем тела неопределенности сигнала, имеющего длительность т, и ширину спектра сК, обязательно сосредоточен в пределах прямоугольника, длины сторон которого по осям т и Г равны 2т, и 2ф;.
Действительно, из формулы (4.40) следует, что ФН Ч'(т, г") обращается в нуль, когда х(с) и з(! — т) не перекрываются по времени, т.е, когда $4 > т,. Воспользовавшись в формуле (4.40) равенством Парсеваля Ч(с, г) = — ) х(7)хн * (7'+ Г) ехр(-у2ч~Хт)4, $ге нетрудно убедиться в равенстве нулю Ч'(т, г) и при частотных расстройках, ббльших по абсолютному значению Л7;; при этом не перекрываются по частоте спектры е(/) и х(г + г). Возвращаясь к вопросу о предпочтительной форме частотно- временной ФН (о предпочтительном теле неопределенности), можно утверждать, что для получения хорошей разрешающей способности по т и Е'тело неопределенности должно иметь пик в начале координат (основной пик) по возможности малого объема И „.
Оставшийся объем ($' — 1' „), приходящийся на боковые лепестки, для минимизации уровня последних следует распределить как можно более равномерным слоем по прямоугольнику со сторонами 2т„2д7;. Таким образом, идеальная ФН должна иметь 177 как принцип неопределенности Вудворда, доказывается довольно ~легко. Согласно определению ФН (см. формулу (4.40)) «кнопочный» вид: наподобие иголки единичной высоты на прямоугольном пьедестале площадью 4Л/т, (рис.
4.13). Для простых сигналов Л/ = ! /т», так что площадь всего прямоугольника, в пределах которого сосредоточено тело неопределенности, имеет порядок единицы. Но тот же порядок имеет и площадь области высокой корреляции простого сигнала, так как ее размеры по осям т и В близки к т, и 1/т, (см. рис. 4.! 3). Следовательно, для простых сигналов почти весь объем тела неопределенности сосредоточен в области высокой корреляции и вытеснить оттуда существенную часть полного объема )'= 1 не удается. Никакой «иглы» на пьедестале при этом не получается (см.
рис, 4.12), а невозможность вытеснить объем из области высокой корреляции приведет к тому, что сплющивание ФН по одной из осей будет сопровождаться неминуемым расширением ее по другой. Это и является причиной обратной зависимости между показателями разрешающей способности по т и Г, свойственной простым сигналам. Теперь понятно, что приближение к идеальной форме ФН, наподобие изображенной на рис. 4.13, возможно лишь в классе сложных сигналов.
Действительно, для таких сигналов характерна малая по сравнению с длительностью сигнала т, длительность корреляционной функции т„= 1/Дг„т.е. длина отрезка оси т внутри области высокой корреляции т,ад = 1/д/. Длина же отрезка оси В в пределах той же области — ширина спектра квадрата действительной огибающей дгвз — для сложных сигналов та же, что и для простых, ЛГв д = 1/т,. Таким образом, если площадь области высокой корреляции близка к произведению длин указанных отрезков, т.е, к т„вл Ага 5 = 1/(Л/т,), то объем основного пика (его высота равна единице, а площадь основания близка к площади высокой корреляции) У „= 1- т,вз ЛВе, = 1/(ф;т») = 1/В.
При базе В» ! объем Р „составит малую долю полно~о объема ~'= 1 и последний практически весь придется на пьедестал, площадь которого 4 д/; т, = 4В значительно больше единицы. Средний квадрат боковых лепестков ФН можно найти, разделив объем пье- Рис. 4.! 3, Желаемый вид ФН Рис. 4.14. Диаграмма неопреде- ленности ЛЧМ сигнала дестала (1 — И „) на площадь его основания. Это основано на том, что наши предыдущие рассуждения были связаны с телом неопределенности, которое в свою очередь связано с ФН квадратичной зависимостью. Так как И «1, то среднеквадратический уровень боковых лепестков Ч'(т, Е) примерно равен !/(2,Ят, ) = 1/(2 ГВ), т.е.
уменьшения боковых лепестков частотно-временнбй ФН можно добиться только за счет увеличения базы сигнала. Отыскание конкретных законов модуляции, отвечающих приемлемым ФН, составляет предмет серьезной самостоятельной задачи, и само по себе большое значение базы Веще не гарантирует близости Ч'(т, Г) к идеальной. Так, если обратиться к ЛЧМ сигналам, то выяснится, что для них Ч'(т, Е) имеет вид не иглы на пьедестале, а узкого длинного гребня, повернутого относительно осей т, Г. Это подтверждает и диаграмма неопределенности такого сигнала (рис.
4.14), вытянутая вдоль прямой Г= И'~т/т, Отрезки осей т и Гв пределах этой области имеют длины 1,2/ И~ и 1,2/ Т,. Таким образом, надлежащим выбором девиации Иу(ширины спектра) и длительности Т, можно добиться высокой разрешающей способности по времени запаздывания (при нулевой взаимной частотной расстройке интерферирующих сигналов) или по частоте (интерферирующие копии полностью совмещены по времени). В тоже время, какими бы ни были значения И' и т„копии сигнала, сдвинутые по т на Ьт (!Л4 < т,) н по Е на ЛГ = И~дт/т„будут, как видно на рис. 4.14, иметь столь высокую корреляцию, что их следует считать практически неразрешимыми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
