Бакулев П.А. Радиолокационные системы (2015) (1151781), страница 35
Текст из файла (страница 35)
ДНАкомпенсационной антенны ненаправленная, а пеленгационная характеристика основной антенны имеет гауссову формуРешение. Поскольку существует соотношениеШ= Ш - [ Ш У № )]/(* ),можно в него подставить заданные ДНА основнойи компенсационной / о(0) = Um2 антенн.
В результате получаемили228Типовая задача 2.РЛС обнаружения, рассчитанная на прием отраженного сигнала со случайными начальной фазой и амплитудой на фоне собственных шумов приемника, обеспечивает вероятности D = 0,95 и F = КГ6. Как изменятся значения вероятностей D и F при воздействии на РЛС некоррелированных шумовых помех,спектральная плотность которых в qn раз превышает спектральную плотностьсобственных шумов приемника, если: а) пороговый уровень Unov и усилениеприемника считать фиксированным; б) пороговый уровень изменяется для стабилизации уровня ложной тревоги. Потерями обработки в обоих случаях пренебречь. Вычислить при <7 п= 6.Дано: F = 10~6; £> = 0,95; q„= 6.Для обнаружения сигнала со случайными начальной фазой и флуктуирующей амплитудой вероятность ложной тревогиF = ехрu iA2<\откудаui1-2 In— иим21п— =5,257 = 5,26,^сфсф= "оЕгде сг,2сф~Вероятность ложной тревоги при воздействии помехи= ехра) Если Uui2 < ф(? + 1 )= const; к = const:2 Inпри q=6 Fn0Ml = e x p j - ^1j = 0,139 = 0,14 .Вероятность правильного обнаружения определяем по формуле(\^порD°n =F^ n n u =Fn n u NA nr(q+ \)N 0_—(q + l ) N02^2ф(^+1);\е/При условии, что — » q +1, Dn0M= D.NaПри q = 6 £>noM= 0,951.Откуда следует, что при U= const, без существенного снижения точности можно считать £>пом = D = 0,95 при всех qn.229б) При стабилизации уровня ложных тревог Fn0M= F = 10 6 = const для определения вероятности правильного обнаружения используется соотношениеА,™ПОМ = F„ПОМ(,41)ЛГ0»где при D = 0,95, / ^ К Г 6 необходимое пороговое отношение сигнала к шумуЕIn FInD-1 = 268.Тогда при q=6Г DnoM= 0,703.Задачи для самостоятельного реш ения8.1.Определите модуль коэффициента взаимной корреляции помехи в каналахАКП, если коэффициент подавления равен А:п=15 д Б , кп=2Ъ дБ.Ответ: д„=|р,0| == 0,995 .8.2.
Найдите уменьшение дальности обнаружения РЛС при воздействии на неешумовой активной помехи, если нескомпенсированный АКП остаток помехи превышает по мощности уровень собственных шумов в 4 раза(ДР„=4а„2)?Ответ:^= R ^ J i/ss 0,67 ■^.В [18] приведены типовые задачи и задачи для самостоятельного решения по данному разделу .Материал главы закрепляется выполнением лабораторной работы «Исследованиеавтокомпенсатора активных помех» [19].230Глава 9Измерениепараметров сигнала9.1.
Извлечение информации о координатахи параметрах движения целииз отраженного сигналаВ радиолокации извлечение информации о координатах и элементах движения объектов в пространстве осуществляется путем измеренияпараметров принимаемых радиосигналов, отраженных или излученныхобъектом. Поскольку на такое измерение отводится ограниченное времяи происходит оно на фоне шумов и помех, задача измерения параметровсигнала является статистической. Оптимальное решение этой задачиищут методами теории статистических решений - теории оцениванияпараметров. Несмотря на сходство терминов «измерение» и «оценивание», первый чаще употребляется при синтезе и анализе техническогопостроения измерителей, а второй - при математическом синтезе и анализе алгоритмов и структур устройств оценивания параметров сигнала.Для решения задачи оптимального оценивания параметров сигналов возможны два основных подхода:1 ) параметр 0 считается случайной величиной с априорной плотностью распределения вероятности wo(0 ) , при этом можно использовать байесов подходу2 ) параметр 0 считается неслучайной величиной, плотность распределения вероятности наблюдений которой w(y / 0 ) рассматриваетсякак функция неслучайного параметра 0 - функция правдоподобия L(0 ) = w(y / 0 ) , при этом можно использовать метод максимального правдоподобия для получения оптимальных оценок.9.2.
Байесовы оценкиПри нахождении алгоритмов измерения или оценивания параметров сигналов используем математический аппарат и обозначения гл. 3.Пусть 0 - истинное значение параметра, которое считаем случайной231величиной. Его оценку или измеренное значение обозначим 0 . Введемфункцию потерь (штрафов) С (0 ,0 ) = C(®,d) , где d = 0 - процедуравычисления, при этом для получения наилучшей оценки нужно минимизировать средний риск, характеризующий погрешности измеренияr(w0,S) = Л/{С(©, *00)} = | | С (в, S (y )M y / ®)wQ(®)d®dy(9.1)г аили апостериорный рискг{у,8) = м [ с {Ъ ,8{у))/у} = J С (0 , % ) ) w(© / у) d®,(9.2)агде д(у) = 0 - решающая функция; Q - пространство параметров 0 ; Г пространство реализаций у (см.
гл. 3).Минимальный риск получаем при использовании правила оценкиS \y ) :F(w0,<5*) = minF(w0,<y).Если, например, функция потерь квадратичная С (0 ,0 ) = ( 0 - 0 ) 2,тоr(y ,S ) = М {(© - 5 {у))2/у ) = М {®2/ y } - 25 (у)М {© / у) + 52 (у) == [ J ( ^ ) - М {© / у}]2 +[ м { © 2 / у) - М 2 {© / .у}].Поскольку первый член зависит, а второй не зависит от 8, тоmin при условии \_8(у) - М {£/у}] min = 0 • Следовательно,г (у , 8) ->J* (y ) = А/{ 0 / у) = J*0 w ( 0 / у ) * / 0 = 0 .(9.3)Дисперсия отклонения байесовой оценки 0 Б от истинного значения 0 равнам{(@ -© б)2} = ^ <м{(© -<50,))2}.Используем теорему Байеса и найдем связь w(0 / у ) и А(у / 0 ) :w (0)w (y/0) _М®/у) = -М у)Jw (0)w (y/0)_ч е ж г /в )Гw(©) "(у/® ) w(y / 0 )</©J232w(y/0)(9.4)w(@)w(y/0)d©f w(®)A(y/®)d®« const w(0 )A (y/ 0 ).Алгоритмы (9.3) и (9.4) легко трансформируются в соотношения| ( 0 - © М © / y)d® = 0 , |( © - 0 )w(©)A(>' / ®)d® = 0 .ПQЭти алгоритмы используют при синтезе структур измерителей.Байесовы оценки являются математическим ожиданием оцениваемой величины (средним значением) и оптимальны по критерию минимума среднего квадрата ошибки.Если функция потерь равна С (0 ,0 ) = Сх- £ (0 - 0 ) , где £ ( 0 - 0 ) дельта-функция, тоJг = М {[с, -< ? (© -©)]/у} = w (© / >>)[с , - <?(© -© )] d® =п= С{ - vv(© / у).Чтобы г —> min , необходимо w(0 / у) —>max.
Оценка Байеса приС (0 ,0 ) = С} - £ ( 0 - 0 ) оптимальна по критерию максимума апостериорной вероятности w(0 / у) и является максимальной апостериорнойоценкой, которую можно найти из условийсНу(© /у) _ qд0(9.5)ИЛИ£ln w(0 /y )£0(9.6)"9.3. Оценки максимального правдоподобияЕсли оцениваемый параметр не является случайной величиной, томожно воспользоваться, например, методом максимального правдоподобия, когда используется w (y / 0 ) = L(0 ) - функция правдоподобия.Оценкой максимального правдоподобия (ОМП) ®м называется такоезначение 0 , когда L(GM) = max@GQL(G ) , поэтому£Ц 0 ) лд In L(0 ) л— -—- = 0 и л и ------ -—- = 0£0£0(9.7)обеспечивают оптимальную процедуру нахождения GM .9.4.
Качество оценокКачество оценок характеризуется их состоятельностью, несмещенностью и эффективностью.233Состоятельность оценок 0 М„ - это сходимость по вероятности коцениваемому параметру 0 при неограниченном увеличении размеравыборки п , т.е. для любого малого наперед заданного положительногочисла 6 > 0 .K m „^P{|© w, , - © M = 0.(9.8)Несмещенность оценки 0 ^ - это равенство среднего по совокупности выборок размера п значения оценки истинному значению оцениваемого параметра при любом значении п:Л/{©л,„} = 0 .(9.9)Следовательно, смещение оценкий„(0 ) = м { © Ми} - 0 .Если 0 ^ —> 0 лишь при неограниченном увеличении п , то такаяоценка называется асимптотически несмещенной, т.е.\ш п^ м { ® ш } = &.(9.10)Оценки, которые можно получить из выборок размером / < л, называются достаточными оценками (или достаточными статистиками).
Используя достаточные статистики, в число которых входит и отношение правдоподобия Л(у/0 ), можно упростить процедуры оценкипараметров или сократить процесс накопления входной информациидля получения оценок.Эффективность оценки @Мп обеспечивается, если среднее значение квадрата отклонения оценки от истинного значения оцениваемогопараметра не больше, чем для любой другой оценки:м { ( ё Мпэф-@ )2} < м { (ё ш -& )2}.(9.11)Рассмотрим неравенство Крамера - Рао. Пусть J(y ) = 0 - несмещенная оценка параметра 0 , т.е.JМ {£0 0 } = #( у Му/®)dy = © ,гилиJ[< ? (у )- 0 ] w (y / <d )d y=0 .гДифференцируя это выражение по 0 , получаем234J[<?(у) -©]QW-Jw (y !® )d y = odW^гГтак как j* w(y / &)dy = 1гг- ©] — ——~^dy =а©д In z _ 1 dzможно представитьдхz дхВ соответствии с соотношениемd \n w ( y /e )а©1aw(>>/0 )w(y/©)а©\ [$(у) - е м у /,, следовательно,©) d k l w ( y / &)d y=Г= J [8(у) - е ф { у / ©)^/ &)d y = 1 .Применительно к последнему выражению, используя неравенствоБуняковского - Коши - Шварца[ | / { у )Ф{ у )<*у \ ^ J [ / ( у ) ] 2 dy \ [Ф{ у ) ] 2dy,получаем2w(y / <d)dy > 1 ,после чего переходим к неравенствул/{[£С у) - ©a in w(y / ©)] 2}мп2> 1.а©~Таким образом, дисперсия несмещенной оценкил ф ( у ) - 0 ]2}>м1vainw (y /© ).~|2(9.12)а©~Нижний предел дисперсии, получаемый при условиим {[< ?о о-© ]2}=-М1a in w(y / ©)а©называется дисперсией наиболее эффективной оценки (НЭО).
Если существует НЭО, то она совпадает с ОМП.235Оценка максимального правдоподобия асимптотически оптимальна, так как она состоятельна, асимптотически не смещена и асимптотически наиболее эффективна.Асимптотическая наибольшая эффективность - это стремление впределе (при л—юо) дисперсии оценки к нижнему пределу неравенстваКрамера - Рао:1\ипп^ М { ( в Мп- в ) 2}= —М9.5.(9.13)д In w(y / 0 )двПотенциальная точность измеренийПотенциальная точность измерений реализуется только с помощью устройств, использующих оптимальное правило оценки параметра.При этом достигается наименьшая погрешность измерений. Например,при правиле Байеса оценки дисперсия ошибкиJгпw(y / 0 )w(0 )*/yd0 ,а при небайесовых правилах дисперсия ошибкиМ {[£(у) - 0 ] 2} = J [б(у) - 0 ] vv(y / &)dy.гw(v / 0 )w(0 )По формуле Байеса w(0 / у) = — ----- ------- , поэтомуw(y)dlnv^0 )/^ =^ [ ln w(y 10 )+,n- 1пи'0;)]=d ln w (y / 0 ) <)lnvv(0 ) Л= ------- —----- + ------------- = 0 .двдвСледовательно, еслид In w(0 )= 0 , тодвд In w( 0 / у) _ д In w(y / 0 )дв"дв’Таким образом, если количество информации об оцениваемом параметре 0 равно 0 , то байесова оценка по критерию максимума апостериорной вероятности и оценка максимального правдоподобия совпадают.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
