Автореферат (1150627), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Показано,что во всех случаях они выражаются через логарифм и логарифм логарифмаимпульса. Согласно полученным результатам, в четырёхмерном пространстве( )-симметричная теория 4 при конечном не является гауссовой, и еёпропагатор только в главном приближении — чистая степень, к которой имеются логарифмические поправки. В пределе → ∞ все поправки исчезают,и теория становится гауссовой.(3) С помощью метода конформного бутстрапа, в рамках -разложения,получено аналитическое выражение для трёх- и четырёхпетлевого приближения критического индекса Фишера теории с взаимодействием 3 .
Результатдля 4-петлевой поправки хорошо согласуется с её численным значением, полученным другими авторами, использовавшими метод ренормгруппы. Проведены также расчёты ренорм-инвариантной комбинации амплитуд с четырёх7петлевой точностью.Апробация результатов и публикации. Результаты и положениядиссертации докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях и школах:1. Международная студенческая конференция «Science and Progress — 2010»(Санкт-Петербург, Россия, 2010 г.).http://www.phys.spbu.ru/grisc/science-and-progress/archive.html2.
Международная студенческая конференция «Science and Progress — 2011»(Санкт-Петербург, Россия, 2011 г.).http://www.phys.spbu.ru/grisc/science-and-progress/archive.html3. Международная студенческая конференция «Science and Progress — 2012»(Санкт-Петербург, Россия, 2012 г.).http://www.phys.spbu.ru/grisc/science-and-progress/archive.html4. Международная студенческая конференция «Science and Progress — 2013»(Санкт-Петербург, Россия, 2013 г.).http://www.phys.spbu.ru/grisc/science-and-progress/archive.html5. Международная конференция «Quarks — 2014» (Суздаль, Россия, 2014г.).http://quarks.inr.ac.ru/6. Международная конференция «In Search of Fundamental Symmetries»,посвящённая 90-летию со дня рождения Новожилова Ю.
В. (СанктПетербург, Россия, 2014 г.).http://hep.phys.spbu.ru/conf/novozhilov90/7. 5-я международная конференция «Models in Quantum Field Theory»,посвящённая 75-летию со дня рождения Васильева А. Н. (Санкт-Петербург, Россия, 2015 г.).http://hep.phys.spbu.ru/conf/mqft2015/Публикации.Содержание диссертации полностью отражено в 3 статьях, опубликованных в рецензируемых научных изданиях, рекомендованных ВАК РФ ивходящих в базы данных РИНЦ, Web of Science и Scopus [1–3], а также втезисах докладов 5 международных конференций [4–8].Личный вклад автора. Все основные результаты получены соискателем лично, либо при совместной работе в неразделимом соавторстве. Онвнес решающий вклад в разработку нового метода построения -разложенияна основе уравнений конформного бутстрапа.
Эффективность этого подходаубедительно продемонстрирована в написанной без соавторов работе диссертанта, в которой им получена ранее неизвестная четырёхпетлевая поправкадля индекса Фишера.8Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,3 глав, заключения, приложений и списка литературы, включающего 62 наименования. Объём работы — 122 страницы.Содержание работыВо введении обоснована актуальность темы диссертационной работы,сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, описаны методология и методы исследования, степень разработанности темыисследования, а также показана теоретическая и практическая значимостьполученных результатов и представлены научные положения, выносимые назащиту.Первая глава посвящена исследованию асимптотик пропагаторов скалярных безмассовых моделей 3 , 4 и 6 в логарифмической размерности пространства методом уравнения ренормгруппы.
Вычисляются поправки к ужеизвестным главным приближениям. Расчёты основываются на выраженияхдля -функции и аномальной размерности поля, полученных ранее другимиавторами. Проводится вычисление оператора собственной массы с требуемойточностью.
Особое внимание уделяется ( )-симметричной теории 4 , и, вчастности, обсуждаются полученные для этой модели результаты с точкизрения гипотезы её тривиальности в критической точке.Известно, что уравнение ренормгруппы для пропагатора имеет вид [10]:)︂(︂(1)− + () + 2() − 2 (, , ) = 0,где — масштабный параметр, имеющий размерность массы, () — бетафункция, () — аномальная размерность поля, — константа связи (илиеё функция), — импульс, — пропагатор. Решение уравнения (1) можнозаписать следующим образом:(, , ) = −2 Φ(, ),где = / (безразмерный импульс) и⎛(,)Z⎜Φ(, ) = Φ(1, (, ))−2 exp ⎝2⎞() ⎟⎠ ,()(2)где (, ) — инвариантный заряд, который задаётся неявно уравнениями:(,)Z(1, ) = , ln =.()9Функцию Φ(1, ) можно найти из уравнения Дайсона-Швингера:−1 (, ) = Δ−1 () − Σ(, ),где Δ() — затравочный пропагатор, Σ(, ) — оператор собственной массы(сумма 1-неприводимых диаграмм).
В схеме минимальных вычитаний (MS):Δ() =1.2Используя обозначение Ξ ≡ −2 Σ, можно записать соотношение (2) в следующем виде:⎛⎞(,)Z11() ⎟⎜Φ(, ) = 2exp ⎝2⎠ . 1 − Ξ(1, (, ))()Таким образом, для нахождения асимптотики пропагатора нужно знать (),() и Ξ(1, ). Для получения результатов, представленных в диссертации,использовались уже известные выражения для (), () в виде отрезка рядатеории возмущений и функции Ξ(1, ) вычислялись с необходимой точностьюс помощью техники диаграмм Фейнмана.В логарифмической размерности пространства -функция () = 2 2 +3 3 + ... в главном приближении квадратична по .
Уравнением ренормгруппы определяется только одна из двух асимптотик: инфракрасная при 2 > 0или ультрафиолетовая, если 2 < 0. Функции () и Ξ(1, ) в главном приближении могут иметь линейный по вклад: () = 1 + 2 2 + ..., Ξ(1, ) =1 + 2 2 + ....В рамках ренормгруппового подхода проведены расчёты асимптотикипропагатора для теорий 3 , 4 и 6 . Ведущее приближение пропагатора втеориях 4 и 6 — чистая степень, в то время как ведущее приближение втеории 3 имеет дополнительную степень логарифма импульса.
Поправки вовсех случаях выражены через логарифм и логарифм логарифма безразмерного импульса. Асимптотические разложения для всех этих теорий можнозаписать в виде:−2()(, ) = ∑︁ ∑︁(ln | ln |)−1|ln|+...,=.2(ln)=0 =0Здесь коэффициенты 0 универсальны — они не зависят от , и = (()) при ̸= 0.
Функции () и () определяются дифференциаль10ными уравнениями с дополнительными условиями:(︂)︂()1′, lim () − ln |2 | = 0, () =() →02(︂)︂113′ () =, lim () ++ 2 ln |2 | = 0.() →02 2Эти функции вычисляются в виде ряда теории возмущений по константесвязи .Используя обозначение 1 = () , можно представить (, ) в следующем виде [1]:∑︁ ∑︁(ln | ln 1 |)−1 −2()+2() 1−̃︀| ln 1 |+ ...,(, ) = 2 21(ln)1=0 =0где все коэффициенты ̃︀ выражаются явно через коэффициенты разложения в ряды теории возмущений функций (), () и Ξ(1, ) и не зависят от. Это означает, что пропагатор (, ) факторизуется:(, ) = Ω(, )Ψ(1 ), Ω(, ) =1 −2()+2().2Общая форма асимптотики факторизованного пропагатора сохраняется припреобразовании 1 → 2 = 1 с постоянным , не зависящем от : ∑︁− ∑︁|ln|(ln | ln 2 |)−2̃︀ 2 ), Ψ(̃︀ 2 ) =(, ) = Ω̃(, )Ψ(+ ...
(3)22(ln)2=0 =0Чем больше членов ряда теории возмущений для функции () и () известно, тем больше поправок для асимптотики пропагатора можно найти. Еслиизвестны первые + 1 членов для этих функций, то после расчёта членовфункции Ξ(1, ) можно найти коэффициенты вплоть до = . Для теории 4 известно 5 членов для () и (), поэтому можно вычислить вплоть до = 4. Для теории 3 по известным первым трем членам можновычислить коэффициенты для ≤ 2. В теории 6 по известным первым двум членам ряда теории возмущений для () и () можно вычислитьтолько 10 и 11 .Все расчёты были выполнены в MS-схеме перенормировок. Есть и другие схемы. Как известно, функции (), (), Ξ(1, ) зависят от выбора схемы, вследствие чего этим свойством обладают и коэффициенты асимптотического ряда пропагатора. Тем не менее, в каждой схеме есть процедура11факторизации, в результате которой асимптотика пропагатора записываетсяв виде(, ) = Ω(, )Ψ(1 ).Различие между двумя схемами перенормировки сводится к различию в константах перенормировки полей и константы взаимодействия, а также в условиях нормировки.
Если при одних и тех же нормировочных условиях1 (, 1 , 1 ), 2 (, 2 , 2 ) — пропагаторы, полученные в двух разных схемахперенормировки с константами перенормировки поля 1 (1 ), 2 (2 ), то2 = (1 ), 2 = 1 ,,1 (, 1 , 1 ) = (1 )2 2 (, 2 , 2 ) = (1 )2 2 (, (1 ), 1 ),где (1 ) — конечный предел отношения 1 (1 )/2 (2 ), который получаетсяпри снятии регуляризации. Из сравнения факторизованных асимптотик()(1)()(2)1 (, 1 , 1 ) = Ω1 (1 , 1 )Ψ1 (1 ), 2 (, 2 , 2 ) = Ω2 (2 , 2 )Ψ2 (1 ),()где 1 = ||/ , следует, что при больших | ln |(︀)︀Ω1 (1 , 1 ) = (1 )2 Ω2 (1 , (1 )), Ψ1 () = Ψ2 − ln .Таким образом, функция Ψ(1 ) в факторизованной форме асимптотикипропагатора (, ) определяется однозначно, если соответствующим образом зафиксировать один из неуниверсальных коэффициентов .
Для этогоможно, например, выбрать условие 11 = 0, использованное в представленных в диссертации расчётах.Исследовался вопрос тривиальности теории 4 в 4-мерном пространстве.Согласно полученным результатам, для ( )-симметричной безмассовой теории 4 с конечным связные корреляционные функции порядка > 2 нелокальны и пропагатор имеет вид 1/2 только в главном асимптотическом приближении. Тем не менее, все асимптотические поправки к этому выражениюисчезают в пределе → ∞, и теория становится гауссовой.Во второй главе рассматривается применение метода конформного бутстрапа [10] для расчёта критического индекса безмассовой модели 3 .
Воспроизводится уже известное 3-петлевое приближение, полученное ренормгрупповым подходом. Продемонстрировано преимущество метода конформного бутстрапа, в котором для получения того же результата требуется вычислениезначительно меньшего количества диаграмм Фейнмана.12Модель безмассового скалярного поля () с взаимодействием 3 рассматривается в евклидовом пространстве размерности = 6 + 2. В критической точке при ̸= 0 пропагатор и вершинная функция являются степеннымифункциями координат:(1 , 2 ) =,Γ(,,)=,123(1 − 2 )2(1 − 2 )2 (1 − 3 )2 (2 − 3 )2−−1+ , =,222где — критический индекс Фишера, который требуется найти в виде -разложения вплоть до порядка 3 := = 1 + 2 2 + 3 3 + (4 ).Система уравнений конформного бутстрапа имеет вид [10]:{︃ (, ; )|=0 = 1⃒ (,;) ⃒2() = () ⃒,=0где() = − ( − /2, /2 − ), () = 2(, , , , , , /2 + − ),Γ(/2)Γ() — гамма-функция Эйлера, () = Γ(/2−)Γ() , (1 , 2 , ...) = (1 )(2 )..., = 2 3 (ренорм-инвариантная комбинация амплитуд).Функция (, ; ) определяется уравнением:ee@@e+ 21 ee@e+...@ e @@ e= (, ; )e(4)Здесь кружок обозначает полную вершину, а кружок со значком — регуляризованную полную вершину:eqq= H Hq,e −q+2q=H + −Hq,1где линия с индексом означает q1 q2= (1 −2 .2)В уравнении (4) все линии, соединяющие полные вершины, имеют индекс = 1 − 1 + 2 .Для вычисления индекса с 3-петлевой точностью требуется следующееприближение в вершинном уравнении (4):13eee1 e @e+2+ e@@e@@@e @eeee@eee +3 e@e@@e =@@e@@eeeeДля вычисления данных диаграмм с нужной точностью использовалисьизвестные методы расчёта безмассовых диаграмм Фейнмана: интегрированияцепочек, метод уникальностей, интегрирование по частям, преобразованиеинверсии [10].Результат записывается в виде [2]:(︂)︂172 2216750 1283 3 +− + (4 ), = 6 + 2.
= −972959049243Он совпадает с полученным ранее другими авторами методом уравнений ренормгруппы.В третьей главе в рамках -разложения проводится методом конформного бутстрапа аналитический расчет 4-петлевой поправки к критическомуиндексу Фишера теории 3 . Результат для 4-петлевой поправки хорошо согласуется с её численным значением, полученным другими авторами, использовавшими метод ренормгруппы. В этой главе проводится также расчетыренорминвариантной комбинации амплитуды с четырехпетлевой точностью.Для расчёта 4 требуется следующее приближение для вершинного уравнения (4) конформного бутстрапа:eeeee (, ; ) e =+e@ee1 e @ee+2+ e@@@e@ e @e@@eeee@e+@@@e @e+6+3ee@@ee@ e @@@@ e @@e@e @ee@@@ee@@eeee@@@eeeA@@eeHHA eHAH@@ e A HH e A@Ae@eeHe@eeHHHee HH e@@e+ee+3e@eeHHeHHH@ eHe@ee+ee@e+3 eAeAAee@+3+3+eeeHHHHee HH e+6 eeee@@@ @e @ e @ ee@@@eee@@e @ee@@e @eee@@eee@+ 32 e @@ @@e@ee@@e@e @eeeee1 e @+2@@@e @e@@e @ ee+14Для получения результата использовались известные методы расчёта(интегрирование цепочек, метод уникальностей, интегрирование по частям,преобразование инверсии, переход в импульсное представление, группа симметрии диаграммы «петля с перекладиной» [10]), а также был разработанновый метод для расчёта диаграмм типа «веер»: qq 3X ...4@qq T3"C bT"1 b−1 −1TTq "2bCqq b"2 (1 , ..., , 1 , ..., −1 ) =,1где 1 , 2 , ..., положительные целые числа, 1 , ..., −1 — произвольные.Эта диаграмма вычисляется явно путём многократного применения формулыинтегрирования по частям:q 2 + 1q 3 q ]︀{︀ [︀ q 2 + 1q 3 q[︀ q 2 q 3 + 1qq 2 q 3 qq 2 q 3 + 1q ]︀}︀1=−@+−11 − 11 − 1123−1 1−1−21 −2 −3qq@qqqС учётом вычисленной для критического индекса Фишера 4-петлевойпоправки [3](︂)︂172 216750 1283 32 +−+ = −972959049243(︂)︂3883409 114563 32 4 12805 4+ −−+− + (5 ), = 6 + 247829691968336452187этот результат хорошо согласуется с численным, полученным ранее другимиавторами методом уравнений ренормгруппы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
