Автореферат (1150595), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Âñå îñíîâíûå íàó÷íûå ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè ÿâëÿþòñÿíîâûìè.Òåîðåòè÷åñêàÿ öåííîñòü è ïðàêòè÷åñêàÿ çíà÷èìîñòü. Òåîðåòè÷åñêàÿ öåí-íîñòü ðåçóëüòàòîâ çàêëþ÷àåòñÿ, âî-ïåðâûõ, â îáîáùåíèè ìåòîäà çíàêî-âîçìóùåííûõñóìì íà ìíîãîìåðíûé íåëèíåéíûé ñëó÷àé ñ ñèììåòðè÷íûìè íåçàâèñèìûìè âíåøíèìè ïîìåõàìè è óñòàíîâëåíèè óñëîâèé, ïðè êîòîðûõ îáîáùåííûé ìåòîä äàåò ðåçóëüòèðóþùåå äîâåðèòåëüíîå ìíîæåñòâî ñ çàäàâàåìûì àïðèîðè óðîâíåì äîñòîâåðíîñòè.
Âî-âòîðûõ, â îáîáùåíèè ìîäèôèöèðîâàííîãî ìåòîäà çíàêî-âîçìóùåííûõñóìì íà íåëèíåéíûé ñëó÷àé ïðè ïðîèçâîëüíûõ âíåøíèõ ïîìåõàõ è â ïîëó÷åíèèóñëîâèé åãî ðàáîòîñïîñîáíîñòè, ïðè êîòîðûõ îáîáùåííûé ìîäèôèöèðîâàííûé ìåòîä äàåò ðåçóëüòèðóþùåå äîâåðèòåëüíîå ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå èñêîìûé ïàðàìåòð, ñ çàäàâàåìûì àïðèîðè óðîâíåì äîñòîâåðíîñòè.  òðåòüèõ, â îáîñíîâàíèèïðèìåíåíèÿ îáîáùåííîãî ìåòîäà çíàêî-âîçìóùåííûõ ñóìì ïðè ìàëîì íàáîðå ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ äëÿ ðàñ÷åòîâ äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà ïàðàìåòðà èíêóáàöèîííîãî âðåìåíè ðàçðóøåíèÿ ìàòåðèàëà â äèíàìè÷åñêèõ çàäà÷àõ ìåõàíèêèðàçðóøåíèÿ, à òàêæå â óñòàíîâëåíèè óñëîâèé, ïðè êîòîðûõ ïðåäëîæåííûé ìåòîääàåò ðåçóëüòèðóþùåå äîâåðèòåëüíîå ìíîæåñòâî ñ çàäàâàåìûì àïðèîðè óðîâíåì äîñòîâåðíîñòè.Ïðàêòè÷åñêàÿ çíà÷èìîñòü ñîñòîèò â òîì, ÷òî îöåíêà ïàðàìåòðîâ ïî êîíå÷íîìó÷èñëó íàáëþäåíèé ÿâëÿåòñÿ íåîòúåìëåìîé ÷àñòüþ ðåøåíèÿ ìíîãèõ ïðèêëàäíûõ çàäà÷.
 ÷àñòíîñòè, â äèñåðòàöèè ðàññìîòðåíî ïðèìåíåíèå ìåòîäà çíàêî-âîçìóùåííûõñóìì äëÿ çàäà÷ äèíàìè÷åñêîé ìåõàíèêè ðàçðóøåíèÿ, ãäå òàêæå íàáëþäàåòñÿ íåäîñòàòîê êîëè÷åñòâà èñïûòàíèé â ñèëó èõ âûñîêîé ñòîèìîñòè è òðóäîåìêîñòè. Íàîñíîâå ìåòîäà çíàêî-âîçìóùåííûõ ñóìì ìîãóò áûòü ðàçðàáîòàíû íîâûå ñòàíäàðòûïî îöåíêå äèíàìè÷åñêèõ ïðî÷íîñòíûõ ïàðàìåòðîâ ìàòåðèàëîâ.Ñòåïåíü äîñòîâåðíîñòè è àïðîáàöèÿ ðåçóëüòàòîâ.
Äîñòîâåðíîñòü íàó÷íûõ ðåçóëüòàòîâ îáåñïå÷èâàåòñÿ ñòðîãîñòüþ äîêàçàòåëüñòâ, ñîãëàñîâàííîñòüþ ñ óæåèìåþùèìèñÿ ðåçóëüòàòàìè â èññëåäóåìîé è ñìåæíîé îáëàñòÿõ, à òàêæå ýêñïåðèìåíòàëüíîé ïðîâåðêîé.Îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ äèññåðòàöèîííîé ðàáîòû äîêëàäûâàëèñü è îáñóæäàëèñüíà ñåìèíàðàõ êàôåäð òåîðåòè÷åñêîé êèáåðíåòèêè è ñèñòåìíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿìàòåìàòèêî-ìåõàíè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà, íà ìåæäóíàðîäíûõ êîíôåðåíöèÿõ: 56thIEEE Conference on Decision and Control, Ìåëüáóðí, Àâñòðàëèÿ, 12-15 äåêàáðÿ, 2017ã.; IX Òðàäèöèîííîé ìîëîäåæíîé øêîëå Èíôîðìàöèÿ, óïðàâëåíèå è îïòèìèçàöèÿ,Ìîñêâà, Ðîññèÿ, 14-20 èþíÿ 2017 ã.; ìåæäóíàðîäíîé íàó÷íîé êîíôåðåíöèè Ïðîöåññû óïðàâëåíèÿ è óñòîé÷èâîñòü (Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, 2009 ã., 2010 ã., 2011 ã.
è 2012ã.).Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè àïðîáèðîâàíû è ïîäòâåðæäåíû àêòîì î âíåäðåíèè âÍàó÷íî-èññëåäîâàòåëüñêîì öåíòðå Äèíàìèêà.Ïóáëèêàöèÿ ðåçóëüòàòîâ. Ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå â õîäå ðàáîòû íàä äèññåðòàöèåé, íàøëè îòðàæåíèå â 13 íàó÷íûõ ðàáîòàõ, èç êîòîðûõ òðè îïóáëèêîâàíûâ èçäàíèÿõ, èíäåêñèðóåìûõ â áàçå äàííûõ Scopus, è äâå â æóðíàëàõ, âõîäÿùèõ â6ïåðå÷åíü èçäàíèé, ðåêîìåíäîâàííûõ ÂÀÊ. Ðàáîòû [13], [57], [1213] íàïèñàíû âñîàâòîðñòâå.  [13], [57], [1213] Ì. Â.
Âîëêîâîé ïðèíàäëåæàò ôîðìóëèðîâêè èäîêàçàòåëüñòâà òåîðåì, îáðàáîòêà ðåçóëüòàòîâ ýêñïåðèìåíòîâ, à ñîàâòîðàì ïîñòàíîâêè çàäà÷ è âûáîð ìåòîäîâ ðåøåíèÿ.Ñòðóêòóðà è îáúåì äèññåðòàöèè. Äèññåðòàöèÿ ñîñòîèò èç ââåäåíèÿ, òðåõãëàâ, çàêëþ÷åíèÿ, ñïèñêà ëèòåðàòóðû, âêëþ÷àþùåãî 77 èñòî÷íèêîâ. Òåêñò çàíèìàåò 76 ñòðàíèö è ñîäåðæèò 8 ðèñóíêîâ.Ñîäåðæàíèå ðàáîòûÂî ââåäåíèè îáîñíîâûâàåòñÿ àêòóàëüíîñòü äèññåðòàöèîííîé ðàáîòû, ôîðìóëèðóþòñÿ öåëü è çàäà÷è èññëåäîâàíèÿ, íàó÷íàÿ íîâèçíà, òåîðåòè÷åñêàÿ è ïðàêòè÷åñêàÿ çíà÷èìîñòü, ñâåäåíèÿ îá àïðîáàöèè ðàáîòû, êðàòêî èçëàãàþòñÿ îñíîâíûåðåçóëüòàòû. ïåðâîé ãëàâå ïðèâîäèòñÿ îáçîð ëèòåðàòóðû ïî òåìå èññëåäîâàíèÿ, â ÷àñòíîñòè ïî îöåíêå íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû.  óêàçàííûõ èñòî÷íèêàõ ðàññìàòðèâàþòñÿ ðàçíûå ïîñòàíîâêè çàäà÷, èññëåäóåòñÿ ïîâåäåíèå ñèñòåì â ðàçëè÷íûõóñëîâèÿõ ïðè íàëè÷èè ïîìåõ. ðàçäåëå 1.1 ïðèâîäèòñÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è îïòèìèçàöèè ôóíêöèîíàëîâ ñðåäíåãî ðèñêà.
 ðàçäåëå 1.2 îïèñûâàþòñÿ òðàäèöèîííûå ïîäõîäû ê ïîñòðîåíèþ äîâåðèòåëüíîãî ìíîæåñòâà íà îñíîâå îöåíîê ìåòîäà íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ.  ðàçäåëå1.3 ñðàâíèâàþòñÿ äåòåðìèíèðîâàííûå è ðàíäîìèçèðîâàííûå àëãîðèòìû îöåíèâàíèÿ íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ.  ðàçäåëå 1.4 äàí êðàòêèé îáçîð ëèòåðàòóðû, ïîêàçûâàþùèé â õðîíîëîãè÷åñêîì ïîðÿäêå ðàçâèòèå ðàíäîìèçèðîâàííûõ ïîäõîäîâ.Âî âòîðîé ãëàâå ìåòîä çíàêî-âîçìóùåííûõ ñóìì ïîñòðîåíèÿ äîâåðèòåëüíûõìíîæåñòâ äëÿ îöåíêè çíà÷åíèé ìîäåëüíûõ ïàðàìåòðîâ îáîáùåí íà íåëèíåéíûéìíîãîìåðíûé ñëó÷àé. Äëÿ ñëó÷àÿ ñèììåòðè÷íûõ íåçàâèñèìûõ ïîìåõ ïîëó÷åíûîãðàíè÷åíèÿ íà íåëèíåéíóþ ôóíêöèþ ðåãðåññèè, ïðè êîòîðûõ ñôîðìóëèðîâàíàè äîêàçàíà òåîðåìà î ñâîéñòâàõ ïîëó÷àþùåãîñÿ äîâåðèòåëüíîãî ìíîæåñòâà.
Ïðîâåäåíî îáîáùåíèå ïîëó÷åííîãî ðåçóëüòàòà íà ñëó÷àé îòñóòñòâèÿ ñèììåòðè÷íîñòèîòíîñèòåëüíî íóëÿ âåðîÿòíîñòíûõ ðàñïðåäåëåíèé ïîìåõ ïóòåì ðàíäîìèçàöèè ïðîöåäóðû ïðîâåäåíèÿ èñïûòàíèé. ðàçäåëå 2.1 ïðèâîäèòñÿ ôîðìàëüíàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è.  ðàçäåëå 2.2 ñîäåðæàòñÿ îñíîâíûå ïðåäïîëîæåíèÿ è îáúÿñíÿåòñÿ èíòóèòèâíàÿ èäåÿ ìåòîäà çíàêîâîçìóùåííûõ ñóìì.
 ðàçäåëå 2.3 îïèñûâàåòñÿ ìåòîä çíàêî-âîçìóùåííûõ ñóìì äëÿïðîèçâîëüíûõ âíåøíèõ ïîìåõ, èìåþùèõ ñèììåòðè÷íûå îòíîñèòåëüíî íóëÿ âåðîÿòíîñòíûå ðàñïðåäåëåíèÿ.  ðàçäåëå 2.4 ôîðìóëèðóåòñÿ Òåîðåìà 2.1, îáîáùàþùàÿìåòîä çíàêî-âîçìóùåííûõ ñóìì íà ìíîãîìåðíûé íåëèíåéíûé ñëó÷àé ñ ñèììåòðè÷íûìè íåçàâèñèìûìè âíåøíèìè ïîìåõàìè è óñòàíàâëèâàþùàÿ óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ îáîáùåííûé ìåòîä äàåò îãðàíè÷åííîå ðåçóëüòèðóþùåå äîâåðèòåëüíîå ìíîæåñòâî ñ çàäàâàåìûì àïðèîðè óðîâíåì äîñòîâåðíîñòè.  ðàçäåëå 2.5 äàåòñÿ îáîáùåíèåìîäèôèöèðîâàííîãî ìåòîäà çíàêî-âîçìóùåííûõ ñóìì íà íåëèíåéíûé ñëó÷àé ñ ïðî7èçâîëüíîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ ïîìåõ, è ôîðìóëèðóåòñÿ Òåîðåìà2.2, óñòàíàâëèâàþùàÿ óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ îáîáùåííûé ìîäèôèöèðîâàííûé ìåòîä çíàêî-âîçìóùåííûõ ñóìì äàåò ðåçóëüòèðóþùåå äîâåðèòåëüíîå ìíîæåñòâî ñ çàäàâàåìûì àïðèîðè óðîâíåì äîñòîâåðíîñòè â íåëèíåéíîì ñëó÷àå ïðè ïðîèçâîëüíûõâíåøíèõ ïîìåõàõ.
 ðàçäåëå 2.6 ïðèâîäèòñÿ àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ãðàíèö äîâåðèòåëüíîãî ìíîæåñòâà.Ïóñòü f (u, ϑ) ôóíêöèÿ äâóõ âåêòîðíûõ àðãóìåíòîâ: u ∈ Rk è ϑ ∈ Θ ⊆ Rd ,ò. å. f : Rk × Θ → R, äèôôåðåíöèðóåìàÿ ïî âòîðîìó àðãóìåíòó âî âñåõ âíóòðåííèõòî÷êàõ ìíîæåñòâà Θ. Ïóñòü ôóíêöèÿ f ÿâëÿåòñÿ àäåêâàòíîé ìîäåëüþ íåêîòîðîãîïðèðîäíîãî ÿâëåíèÿ ïðè åäèíñòâåííîì íåèçâåñòíîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà ϑ = ϑ? .Âìåñòî çàäà÷è î ïîèñêå îöåíêè áóäåì ðàññìàòðèâàòü çàäà÷ó ïîñòðîåíèÿ äîâåðèòåëüíîãî ìíîæåñòâà äëÿ íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà ϑ? .Ðàññìîòðèì ìîäåëü íàáëþäåíèé:yt = f (ut , ϑ? ) + vt ,t = 1, . .
. , T,(1)ãäå yt íàáëþäåíèÿ (âûõîäû), yt ∈ R, vt ñëó÷àéíûå âíåøíèå ïîìåõè, vt ∈ R;ut èçâåñòíûé ïëàí íàáëþäåíèé (âõîäû), êîòîðûé çàäàåòñÿ ýêñïåðèìåíòàòîðîìèëè âûáèðàåòñÿ êàê-òî ñëó÷àéíî èç íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà U ⊂ Rk ; ϑ? ∈ Θ ⊆ Rd èñòèííîå çíà÷åíèå íåèçâåñòíîãî âåêòîðíîãî ïàðàìåòðà, ïðèíàäëåæàùåå íåêîòîðîìó çàäàííîìó ìíîæåñòâó Θ ⊆ Rd , t íîìåð ýêñïåðèìåíòà, T îáùåå êîëè÷åñòâîýêñïåðèìåíòîâ.Òðåáóåòñÿ ïî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âõîäîâ u1 , u2 , .
. . , uT è íàáëþäåíèÿì y1 , y2 , . . . , yTbT ⊆ Θïðè çàäàííîì p èç èíòåðâàëà [0, 1] îïðåäåëèòü äîâåðèòåëüíîå ìíîæåñòâî Θb T ) íå ìåíåå, ÷åì p.òàêîå, ÷òî âåðîÿòíîñòü P(ϑ? ∈ ΘÎáû÷íî ïðè ïðåäïîëîæåíèÿõ î ñëó÷àéíîé ïðèðîäå ïîìåõ vt çàäà÷ó îá îöåíèâàíèè íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà ϑ? ðàññìàòðèâàþò êàê ñëåäóþùóþ çàäà÷ó î ìèíèìèçàöèè ôóíêöèîíàëà ñðåäíåãî ðèñêà:F (ϑ) = E(y − f (u, ϑ))2 → min .ϑ∈Θ(2)Çäåñü è äàëåå E ñèìâîë ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ. ñëó÷àå ìàëîãî ÷èñëà íàáëþäåíèé ñ íåèçâåñòíûì ðàñïðåäåëåíèåì ñëó÷àéíûõïîìåõ ìèíèìèçàöèÿ ôóíêöèîíàëà ñðåäíåãî ðèñêà íå äàåò òî÷íîé îöåíêè.  ðàáîòàõÁ. Êàñàè, Ì. Êàìïè è Ý. Âåéåðà äëÿ ïîõîæåé çàäà÷è â ëèíåéíîé ïîñòàíîâêå áûëîïðåäëîæåíî èñïîëüçîâàòü ìåòîä çíàêî-âîçìóùåííûõ ñóìì.
Ïðåèìóùåñòâîì ýòîãîïîäõîäà ÿâëÿþòñÿ î÷åíü ñëàáûå îãðàíè÷åíèÿ íà ñëó÷àéíûå ïîìåõè: ïðåäïîëàãàåòñÿ,÷òî îíè âñåãî ëèøü íåçàâèñèìûå è ñèììåòðè÷íî ðàñïðåäåëåííûå îòíîñèòåëüíî íóëÿñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. À. À. Ñåíîâûì, Î. Í. Ãðàíè÷èíûì è äðóãèìè ìåòîä çíàêîâîçìóùåííûõ ñóìì áûë ìîäåðíèçèðîâàí äëÿ åùå áîëåå ñëàáûõ îãðàíè÷åíèé íàâíåøíèå ïîìåõè ñ îòêàçîì îò óñëîâèÿ èõ ñèììåòðè÷íîñòè.8Ïðè êîíå÷íîì ÷èñëå íàáëþäåíèé âìåñòî ôóíêöèîíàëà ñðåäíåãî ðèñêà ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à î ìèíèìèçàöèè ýìïèðè÷åñêîãî ôóíêöèîíàëà:T1X(yt − f (ut , ϑ))2 → min,FT (ϑ) =ϑ∈ΘT t=1(3)ðåøåíèÿ êîòîðîé ϑbT îáû÷íî íàçûâàþò îöåíêàìè ìåòîäà íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ(ÌÍÊ).  ñëó÷àå ñóùåñòâîâàíèÿ ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè f ïî èñêîìîìó ïàðàìåòðóθ íåîáõîäèìîå óñëîâèå ìèíèìóìà ýìïèðè÷åñêîãî ôóíêöèîíàëà (3) èìååò âèä:∇ϑ FT (ϑ) = 2T1X(yt − f (ut , ϑ))∇ϑ f (ut , ϑ) = 0.T t=1(4)Ýòî óñëîâèå ñ ó÷åòîì ìîäåëè íàáëþäåíèé (1) ïðèíèìàåò âèä:T1Xf (ut , ϑ? ) − f (ut , ϑ) + vt ∇ϑ f (ut , ϑ) = 0.T t=1Ïðèðàùåíèå ôóíêöèè ñîãëàñíî òåîðåìå î ñðåäíåì ìîæåò áûòü âû÷èñëåíî â âèäå:f (ut , ϑ? ) − f (ut , ϑ) = ∇ϑ f (ut , ϑ0 )T (ϑ? − ϑ),(5)ãäå ϑ0 íåêîòîðàÿ òî÷êà íà îòðåçêå, ñîåäèíÿþùåì ϑ è ϑ? , ·T îïåðàöèÿ òðàíñïîíèðîâàíèÿ âåêòîðà.
Ñ ó÷åòîì (5) óðàâíåíèå (4) ïðèíèìàåò âèä:!T1X∇ϑ f (ut , ϑ)∇ϑ f (ut , ϑ0 )T (ϑ? − ϑ) + ∇ϑ f (ut , ϑ)vt = 0.(6)T t=1Äëÿ êîððåêòíîãî ïîñòðîåíèÿ äîâåðèòåëüíîãî ìíîæåñòâà ìåòîäîì SPS áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âûïîëíåíû ñëåäóþùèå ïðåäïîëîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñëó÷àéíûõ ïîìåõ èèññëåäóåìîé ôóíêöèè â ìîäåëè íàáëþäåíèé (1).Ïðåäïîëîæåíèå 1. Ïîìåõè íàáëþäåíèÿ vt ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, êàæäàÿ èç êîòîðûõ èìååò ñèììåòðè÷íîåîòíîñèòåëüíî íóëÿ âåðîÿòíîñòíîå ðàñïðåäåëåíèå.Ïðåäïîëîæåíèå 2.
Ïðè ëþáîì ϑ ∈ Θ ìàòðèöàT1XRT (ϑ) =∇ϑ f (ut , ϑ)∇ϑ f (ut , ϑ0 )TT t=1íåâûðîæäåíà.(7)Ïðåäïîëîæåíèå 3. Ãðàäèåíò ôóíêöèè ∇θ f (u, θ) ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åí è ôóíêöèÿ f (·, ·) óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùåìó óñëîâèþ:9¯ j k ≤ M kϑ? − ϑkα , ãäå M > 0, α ≤ 1, ∇¯ j = ∇ϑ f (uj , ϑ) f (uj , ϑ? ) − f (uj , ϑ) ,k∇j = 1, . . . , T .Ïðåäïîëîæåíèå 4. Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ j, k = 1, . . .
, T ïðè äîñòàòî÷íî äàëåêèõ ϑîò ϑ? âûïîëíÿåòñÿ:¯ j ]T R̄−1 (ϑ)∇¯ k ≥ µkϑ? − ϑkρ > 0[∇Tñ íåêîòîðûìè êîíñòàíòàìè µ > 0 è ρ > 1: ρ > α.Ñòîèò îòìåòèòü, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè Ïðåäïîëîæåíèÿ 2 ñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèTöà RT(ϑ)RT (ϑ) ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà, è, êðîìå òîãî, îíà ìîæåò áûòü ôàêòîðèçîâàíà, ò. å. ñóùåñòâóåò íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà R̄T (ϑ) òàêàÿ, ÷òî:TRT(ϑ)RT (ϑ) = R̄T (ϑ)R̄T (ϑ) .Òàêæå îòìåòèì, ÷òî Ïðåäïîëîæåíèÿ 34 âûïîëíÿþòñÿ äëÿ ïðàêòè÷åñêè âàæíûõïðèëîæåíèé, îïèñàííûõ â Ãëàâå 3 äèññåðòàöèè.Îáîçíà÷èì îøèáêè ïðåäñêàçàíèÿ äëÿ ïðîèçâîëüíîãî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà ϑ ñëåäóþùèì îáðàçîì:δt (ϑ) := yt − f (ut , ϑ).(8)Ââåäåì íîðìèðîâàííóþ ñóììó íåâÿçîê ìåæäó èçìåðÿåìûìè è ïðåäñêàçûâàåìûìèçíà÷åíèÿìè:TX−1/2 1∇ϑ f (ut , ϑ)δt (ϑ).(9)H0 (ϑ) := R̄T (ϑ)T t=1Ïóñòü βi,t ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ïðèíèìàþùèå çíà÷åíèÿ ±1 ñ âåðîÿòíîñòüþ 1/2,i = 1, .
. . , M − 1, t = 1, . . . , T . Âìåñòå ñ H0 (ϑ) áóäåì ðàññìàòðèâàòü åùå M − 1çíàêî-âîçìóùåííûõ ñóìì Hi (ϑ):Hi (ϑ) := R̄T (ϑ)−1/2T1Xβi,t ∇ϑ f (ut , ϑ)δt (ϑ), i = 1, . . . , M − 1.T t=1(10)Åñëè äîîáîçíà÷èòü β0,t = 1, t = 1, . . . , T , òî âûðàæåíèå (9) ñòàíîâèòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì îáîçíà÷åíèé (10). Êàê âèäíî èç âûðàæåíèé (9)(10), âåëè÷èíû H0 (ϑ) è Hi (ϑ)âåêòîðíûå, ïîýòîìó â äàëüíåéøåìäëÿ èõ ñðàâíåíèÿ áóäåì èñïîëüçîâàòü åâêëèäîâó√íîðìó âåêòîðîâ kxk := xT x.Èíòóèòèâíàÿ èäåÿ ìåòîäà SPS çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåé îñîáåííîñòè ïîñòðîåííûõ çíàêî-âîçìóùåííûõ ñóìì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
