Диссертация (1150505), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Усиление эффекта достигалось за счёт настройкиэнергии налетающего электрона в резонанс с квазивырожденными состо-67яниями [(12)0 ] и[︀(︀121/2)︀]︀соответствующих литиеподобных0ионов. Было рассмотрено два возможных экспериментальных сценария:с регистрацией и без регистрации поляризации рассеянного электрона.68Автор выражает огромную благодарность своему научному руководителю В. М. Шабаеву за формулирование интересных и актуальных задач, атакже за многочисленные обсуждения.

Также автор выражает признательность А. В. Майоровой за оказанную помощь в проведении представленныхисследований. Хочется выразить благодарность С. Ташенову за плодотворноеобсуждение экспериментальной составляющей рассмотренных процессов.69Список сокращенийДР– диэлектронная рекомбинацияДСР – дифференциальное сечение рассеянияКЭД – квантовая электродинамикаРР– резонансное рассеяниеСМ– Стандартная МодельЭНЧ – эффект несохранения чётностиAu– AugerD– Diracdir– directexc– exchangeII– interelectronic interactionnsf– non-spin-flipnuc– nucleusPC– parity conservationPNC – parity nonconservationppm– parts per million (10−6 )Rad– radiativescr– screeningSE– self energysf– spin-flipUehl– UehlingVP– vacuum polarization70Приложение AНормировочный множитель дляволновых функций литиеподобногоионаНормировочный множитель , возникающий при волновой функции литиеподобного иона (1.12):∑︁ ∑︁ ∑︁Ψ (x1 ,x2 ,x3 ) = √(−1) ′ ′,3! ′ 3 1 2 ′ ′3 3 1 1 , 2 2×1 1 1 (x1 ) 2 2 2 (x2 ) 3 3 3 (x3 ) ,(A.1)определяется из условия:⟨Ψ |Ψ ⟩ = 1.(A.2)В зависимости от наличия эквивалентных электронов ( = ) можнополучить следующие уравнения на коэффициенты :1.

отсутствие эквивалентных электронов2 = 1,712. 1 1 = 2 223. 1 1 = 3 34. 2 2 = 3 3[︁]︁′1 + (−1) = 1,⎧⎫⎤⎪⎨ 2 1 ′ ⎪⎬⎥2 ⎢′ ⎣1 + (2 + 1)⎦ = 1,⎪⎩ 1 ′ ⎪⎭⎡⎧⎫⎤⎪⎨ 1 2 ′ ⎪⎬⎥2 ⎢′ ⎣1 + (2 + 1)⎦ = 1,⎪⎩ 2 ′ ⎪⎭⎡5. 1 1 = 2 2 = 3 322[︁1 + (−1)′]︁(2 ′ + 1)⎫⎧⎪′⎬⎨ 1 1 ⎪= 1.⎪⎭⎩ 1 ′ ⎪Следует отметить, что может принимать лишь вещественные положительные значения. Если таких решений не существует для соответствующегоуравнения, то такая электронная конфигурация является нефизичной.72Приложение BПостроение волновой функциинепрерывного спектраПостроим волновую функцию электрона p (r), обладающую определённым (асимптотически) импульсом p и спиральность , во внешнемсферически-симметричном центральном поле с асимптотикой −/. Приведённое ниже построение отличается от представленного в книге [77] лишьтем, что направление оси не является фиксированным.

Рассмотрим случай,когда асимптотика волновой функции на бесконечности представляет собойсуперпозицию плоской и сферически расходящихся волн:(+)p(r)−−−→ p (r) +→∞i(+), (,n)(B.1)(+)где n = r/|r|, = p/|p| и (,n) – некоторый биспинор, явный вид которого будет приведён ниже. Плоская волна p (r), обладающая импульсом pи спиральностью , имеет следующий вид:⎛√⎞⎜ + 1/2 ()⎟p (r) = √︁⎝√⎠.3 − ( · ) 1/2 ()2 (2)ip·r(B.2)73Здесь 1/2 () является собственной функцией оператора 21 ( · ) с собствен(+)ным значением . Ввиду того, что волновая функция p (r) обладает определённой энергией , она может быть разложена по полному набору решенийуравнения Дирака в центральном поле:(+)p(r)=∑︁ (r),(B.3)где (r) являются волновыми функциями непрерывного спектра с фиксированной энергией и асимптотикой [13]:⎛√(︂)︂⎞+ Ω (n) ⎟ + sin −1 ⎜2⎟.)︂(︂ (r) −−−→ √ ⎜⎠→∞ ⎝ √+ Ω− (n)i − cos −2(B.4)Здесь – фаза, определяймая следующим образом: = ln 2 +−2i = −+ − arg Γ ( + 1 + i) + ,22 − i, 2 = 2 − 2 2 , =, − i/(B.5)(B.6)а – фазовый сдвиг, обусловленный короткодействующей частью рассеивающего потенциала (см.

приложение E). Коэффициенты , фигурирующиев разложении (B.3), выбираются таким образом, чтобы в разности∑︁ (r) − p (r),(B.7)взятой на асимптотике, сокращались все слагаемые, содержащие − /. Выбор этих коэффициентов становится наиболее прозрачным при использовании разложения плоской волны по волновым функциям свободной частицы74с определённым моментом (по сферическим волнам):p (r) = √√1 ∑︁ 0 1/2 i 2 + 1(z → p) (r),4 (B.8)где⎛√⎞ ⎜ + ()Ω (n)⎟ (r) =⎝ √⎠ i − ¯ ()Ω− (n)||)︂(︂⎛√⎞Ω (n) ⎟ + sin −1 ⎜2⎟.)︂(︂−−−→ √ ⎜⎠→∞ ⎝ √Ω− (n)i − cos −2√︂(B.9)(B.10)Подставляя разложение (B.8) в (B.7) и используя вид волновых функций (r) и (r) на асимптотике (B.4) и (B.10), соответственно, получим (сокращая все слагаемые, содержащие − /): = √√10 1/2 i 2 + 1i (z → p),4(B.11)и(+) (,n)√(︀ 2i)︀11 ∑︁ √=·0, 1/2 2 + 1(z→p)−12i 2 ⎛⎞√⎜ + Ω (n)⎟×⎝ √(B.12)⎠.− − Ω− (n)Окончательное выражение для волновой функции запишется в виде:(+)p(r) = √√1 ∑︁ (z → p) (r).0 1/2 i 2 + 1i 4 (B.13)75(−)Аналогично можно построить волновую функцию p (r), асимптотика которой представляет собой суперпозицию плоской и сферически сходящихсяволн:(−)p(r)√1 ∑︁ 0 1/2 i 2 + 1−i =√(z → p) (r).4 (B.14)76Приложение CАмплитуда упругого рассеянияПриведём подробный вывод выражения для амплитуды упругого рассеяния в нулевом порядке по межэлектронному взаимодействию с учётом вкладапрямого первого порядка (основные шаги вывода представлены в книге [77]).Удобнее всего этот вывод начать с построения сечения упругого рассеяния:(n · j ) 2= ,Ω( · j )(C.1)где и n – единичные вектора в направлении налетающего p и рассеянного p электронов, соответственно.

Знаменатель выражения (C.1) отвечаетплотности потока падающих частиц и записывается в виде:( · j ) = p† (r) ( · ) p (r),(C.2)где p (r) представляет собой плоскую волну с импульсом p и спиральностью (B.2). Подставляя (B.2) в (C.2) получим:( · j ) =1,3 ·(2) (C.3)Числитель выражения (C.1), представляющий собой число частиц рассеянных в единицу времени в элемент телесного угла Ω в направлении n, запи-77сывается в виде:(+)(n · j ) 2 = (+)† (,n) (n · ) (,n).(C.4)(+)Явный вид биспинора (,n) представлен в приложении D.

Разложим егоследующим образом:(+)) (, ⃗=∑︁ (n)[︁]︁†(n)(+) (,n),(C.5)⎟⎠,1/2 (n)(C.6)где (n) – состояния с определённой спиральностью:⎛√1 ⎜ + 1/2 (n) (n) = √ ⎝ √2 − ( · n) ⎞†удовлетворяющие условию (n)′ (n) = ′ . Подставляя разложе-ние (C.5) в (C.4) и учитывая (C.3), преобразуем выражение (C.1) к виду:⃒2∑︁ ⃒⃒⃒3†(+)= (2)⃒ (n) (, n)⃒ .Ω(C.7)Тогда амплитуда упругого рассеяния получается √︁†(n)(+)= (2)3 (, n) ,(C.8)или после подстановки вида биспинора (D.13): =†1/2 (n)[︁(︁)︁]︁^ + 2 · S 1/2 ().(C.9)78Приложение D(+)Преобразование биспинора (, n);амплитуды рассеянияВ некоторых случаях, например для вычисления амплитуд рассеяния, бис(+)пинор (,n) удобно использовать в несколько иной форме записи.

Дляеё вывода проще всего стартовать с выражения для биспинора (B.12), записанного в следующей форме(+) (,n) =∑︁1/2˜ (+)(z → p) (,n),(D.1)где(︀ 2i)︀11 ∑︁ ∑︁ (+)*˜ (,n) =· √ , 1/2 ()−12i ⎞⎛√⎟⎜ + Ω (n)×⎝√⎠. − ( · n) Ω (n)(D.2)Эквивалетность двух этих форм легко показать путем прямой подстановкипоследнего выражения в (D.1) и упрощения. Здесь следует отметить, что˜ (+)биспинор (, n) может быть получен из асимптотики волновой функции(+)p (r), где – проекция спина на ось квантования z соноправленной с p.791/2После действия -функции Вигнера (z → p) на этот биспинор, переходит в спиральность .˜ (+)Преобразуем (,n) следующим образом.

Распишем явно выражениедля шаровых спиноров Ω (n):11 ∑︁ ∑︁ ˜ (+)√(,n)=·2i ,1/2 ,(︀1/22i − 1)︀ ⎛√⎞⎟⎜ + 1/2*×()(n)⎠,⎝√ − ( · n) 1/2(D.3)и перейдём к суммированию по положительным и отрицательным ˜ (+) (,n) =∑︁˜ (>0)(,n) +,>01/2 , 1/2∑︁произведение(D.4)двухкоэффициентовКлебша-Горданараскрывается следующим образом:−1/2−1/21/2 , 1/2 ,˜ (<0)(,n).<0>0=+1/2>0>1=−1/2Для∑︁=1 {︀1/2 [ ( − )2 + 1]︁√︀− +1 ( + 1) − ( + 1)+−1/2 [ ( + )]︁}︁√︀− −1 ( + 1) − ( − 1) .(D.5)Подставляя последнее выражение в (D.3) и используя ряд общеизвестныхтождеств [14]:^0 (n) = (n),√√︀2^± (n) = ∓ ( + 1) − ( ± 1) ±1 (n),80^0 1/2 = 1/2 ,1^+ 1/2−1/2 = − √ 1/21/2 ,21^− 1/21/2 = √ 1/2−1/2 ,2^+ 1/21/2 = ^− 1/2−1/2 = 0,A · B = 0 0 − + − − − + ,∑︁*() (n) =2 + 1̂︂ (cos n) ,4получим сумму по положительным в виде⎛√⎞∑︁ (︀)︀ ⎜ + 11⎟2i˜ (>0)√(,n)=·−1⎝√⎠2i 4 − ( · n)>1[︁(︁)︁]︁^ (cos n̂︂× − 2 ^l · S) 1/2 .(D.6)Аналог (D.5) для < 0 имеет следующий вид∑︁+1/2+1/21/2 , 1/2 ,=1 {︀1/2 [ ( + + 1)2 + 1]︁√︀+ +1 ( + 1) − ( + 1)+−1/2 [ ( − + 1)]︁}︁√︀+ −1 ( + 1) − ( − 1) .(D.7)Сумма по отрицательным будет равна⎛√⎞∑︁ (︀)︀ ⎜ + 11⎟(<0)˜√ (,n) =·2i−−1 − 1 ⎝ √⎠2i 4 − ( · n)>0[︁(︁)︁]︁^^̂︂× + 1 + 2 l · S (cos n) 1/2 .(D.8)81Складывая последнее выражение с (D.6), получим⎛√⎞11⎜ +⎟˜ (+)√·(,n)=⎝√⎠2i 4 − ( · n){︃∑︁ [︀ (︀)︀(︀)︀]︀ 2i − 1 + ( + 1) 2i−−1 − 1×>0+2∑︁ [︁(︀>1}︃(︁)︁]︁)︀^̂︂2i−−1 − 2i ^l · S (cos n) 1/2 .

(D.9)Второе слагаемое в фигурных скобках можно упростить, используя следующее тождество:(︁)︁(︁)︁^l · S^ (cos n^̂︂̂︂) = i · S 1 (cos n) ,(D.10)где – единичный вектор в направлении [ ×n], а 1 – присоединенные поли-˜ (+)номы Лежандра первого рода. Тогда окончательное выражение для (,n)примет следующий вид:⎛√⎞[︁(︁)︁]︁1⎜ +⎟(+)^˜ (,n) = √︀⎝⎠ + 2 · S 1/2 ,2(2)3 √ − (⃗ · ⃗)где используются общепринятые обозначения:=)︀(︀)︀]︀1 ∑︁ [︀ (︀ 2î︂ − 1 + ( + 1) 2i−−1 − 1 (cos n) ,2i(D.11))︀1 ∑︁ (︀ 2i−−1̂︂=− 2i 1 (cos n) .2(D.12)>0>182(+)Теперь, используя формулу (D.1), запишем выражение для (,n):⎛(+) (,n)√⎞[︁(︁)︁]︁⎜ +⎟^= √︀⎝⎠ + 2 · S 1/2 ().2(2)3 √ − ( · n)1(D.13)83Приложение EУчёт отклонения рассеивающегопотенциала от кулоновскогоРассмотрим более подробно метод вычисления амплитуд (3.3) и (3.4), отвечающих упругому рассеянию дираковского электрона на потенциале () =nuc () + scr (), где nuc – электростатический потенциал конечного ядра,обладающий асимптотикой −/, а scr – экранирующий потенциал (1)2оболочки (3.5) с асимптотикой 2/.

Для дальнейшего рассмотрения рассеивающий потенциал () удобно переписать в виде () = () + (),(E.1)где () = −( − 2)/ представляет собой чистый кулоновский потенциал,а короткодействующая часть () выражается следующим образом:)︂ (︂)︂(︂2 () = nuc () ++ scr () −,(E.2)84и обращается в ноль на асимптотике. Также оказывается удобным переписатьамплитуды рассеяния (3.3) и (3.4) в виде: = + ,(E.3) = + ,(E.4)где и являются расходящимися кулоновскими амплитудами рассеяния в потенциале (). Процедура их регуляризации представлена в работах [58–61]. Амплитуды и , описывающие отклонение рассеивающегопотенциала () от чистого кулоновского, выражаются следующим образом: =1 ∑︁{( + 1) exp (2i−−1) [exp (2i−−1) − 1]2i>0+ exp (2i ) [exp (2i ) − 1]} (cos ) ,1 ∑︁={exp (2i−−1) [exp (2i−−1) − 1]2(E.5)− exp (2i ) [exp (2i ) − 1]} 1 (cos ) .(E.6)>1Здесь – кулоновский фазовый сдвиг, а – фазовый сдвиг, обусловленныйкороткодействующей частью рассеивающего потенциала.

Отметим, что иногда бывает удобно использовать следующую запись выражений (E.5) и (E.6):1 ∑︁|| exp (2i ) [exp (2i ) − 1] (cos ) ,2i 1 ∑︁ exp (2i ) [exp (2i ) − 1] 1 (cos ) ,= −2|| =(E.7)(E.8)̸=−1где ведется суммирование по дираковскому квантовому числу . В отличиеот и , амплитуды и являются быстро сходящимися выражениямипо . Фазовый сдвиг может быть найден из асимптотики решений уравнения Дирака в потенциале (), например, с помощью пакета [78]. В качестве85альтернативного метода выступает метод фазовых функций [79–81]. В рамках этого метода находится как асимптотика решения дифференциальногоуравнения первого порядка]︀2 () {︁[︀ () = −sin ()irr() + cos ()reg()[︀]︀2 }︁+ sin ()irr () + cos ()reg (),(E.9)с граничным условием (0) = 0, – вронскиан, явный вид которого приведён ниже. Здесь и являются, соответственно, большой и малой компонентами решения уравнения Дирака в чистом кулоновском потенциале .Нижний индекс reg соответствует регулярному на бесконечности решению, аirr – нерегулярному.

Характеристики

Список файлов диссертации