Диссертация (1150502), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Примерамипроявления 2 гибридизации могут являться графит и графен. И, наконец, диагональная1 гибридизация представляет собой линейные молекулы, в которых атом углерода связанвсего с двумя “соседями”, и встречается в еще одной аллотропной форме углерода - карбине.В графене каждый атом углерода связан с тремя соседними посредством связей, формирующих 2 - гибридизацию в плоскости, как показано на рисунке 1.4.
Вследствие “смешивания” 2 и двух 2 и 2 атомных орбиталей (слева) формируются три гибридныеорбитали 21 , 22 и 23 , расположенные в плоскости графена и под углом 120∘ друг к другу,как показано на рисунке 1.4 справа. При этом 2 атомная орбиталь остается расположенаперпендикулярно плоскости графена и отвечает за отличительные особенности и свойстваграфена, образуя зону электронных состояний.Рисунок 1.4: Формирование тригональной модификации (2 ) атомных орбиталей в графене при смешивании одной s и двух p атомных орбиталей атомов углерода.Впервые зонная структура графена в рамках приближения сильносвязанных электроновбыла рассчитана в работе [27]. В рамках приближения сильной связи для электронной зонной структуры графена, которая представлена на рисунке 1.5, собственные функции Ψ (⃗, ⃗)для зоны с индексом могут быть представлены в виде линейной комбинации Блоховскихволновых функций Φ (⃗, ⃗) (для более подробного рассмотрения основных понятий методаприближения сильной связи см.
[28]):17(a)(б)(в)EkxssEqyqxЭнергияky20.0MГKK’*10.0*pp0.0-10.0KK’*ss-20.0KГM KВолновой векторРисунок 1.5: (a) - трехмерное изображение дисперсии и * энергетических зон графенав первой ЗБ, (б) - показывает увеличенное изображение дисперсии в области точки K, где валентная зона и зона проводимости соприкасаются на уровне Ферми [29]. (в) Зонная структура электронных и состояний графена вдоль высокосимметричногонаправления K-Γ-M-KΨ (⃗, ⃗) =∑︁ (⃗)Φ (⃗, ⃗),(1.8)=1где1 ∑︁ ⃗⃗ (⃗ − ⃗ )Φ (⃗, ⃗) = √ ⃗Здесь ⃗ - позиция атома, - атомная волновая функция в состоянии , единичныхячеек в твердом теле. Коэффициент собственной функции Ψ (⃗, ⃗) в формуле 1.8 определяется минимизацией собственного значения , которое есть функция от коэффициентов . Это можно записать следующим образом:ˆ | Ψ ⟩⟨Ψ | (⃗) =⟨Ψ | Ψ ⟩(1.9)и=0Подставляя выражение для Ψ из выражения 1.8 в выражение 1.9 и минимизируя энергию , получаем уравнение для коэффициентов :∑︁′′ ′ (⃗) = (⃗)∑︁′ ′ ,(1.10)′ˆ | Φ′ ⟩, ′ = ⟨Φ | Φ′ ⟩ - “перескоковый” интеграл и интегралгде ′ = ⟨Φ | перекрытия, соответственно.18Определение вектор-столбца для ′ (′ = 1...
) позволяет переписать выражение 1.10в матричной форме:ˆ ⃗) (⃗) = (⃗)(ˆ ⃗) (⃗)((1.11)Перенесем в формуле 1.11 выражение из правой части в левую. Получаемˆ − (⃗)]ˆ (⃗) = 0[(1.12)Тогда решение для 1.11 существует, еслиˆ − ]ˆ =0det[(1.13)Рассматривая зоны в графене, мы имеем две Блоховские волновые функции 2 , центрированные на атомах подрешеток (А) и (В) (см.
рисунок 1.3). Для простоты пренебрежемперекрытием всех волновых функций, кроме соседних. Тогда компоненты и дают*мы рассматриваемэнергию орбитали одного атома 2 . Для компонент и = три ближайших соседних атома типа (см. серые кружки на рисунке 1.3) для подрешетки√√атомов с векторами ⃗1 = 2 (−1, 3), ⃗2 = 2 (−1, − 3) и ⃗3 = (, 0). Это приводит к⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 0 (1 + 2 + 3 ) = 0 1 (⃗)(1.14)Параметр 0 определяет энергию для ближайших соседей в плоскости и задается "прыжˆ | ⟩. Аналогично параметр 0 задается интегралом перекрытияковым" интегралом ⟨ | ˆ и ˆ для зон⟨ | ˆ | ⟩.
Явный вид “перескоковой” матрицы и матрицы перекрытия графена с учетом ближайших соседей выглядит следующим образом:⎛⎞⎛⎞20 1 (⃗)10 1 (⃗)ˆ =⎝⎠ , ˆ = ⎝⎠**⃗⃗0 1 ()20 1 ()1(1.15)ˆ и ˆ из 1.8 в секулярное уравнение 1.13, мы получимПодставляя выражения для электронную структуру зон в виде: (⃗) =2 ± 0 (⃗),1 ± 0 (⃗)(1.16)где⎯(︃ √)︃⎸(︂)︂√︁(︁√)︁⎸3·3·(⃗) = | 1 (⃗) |2 = ⎷3 + 2 cos3 · + 4 coscos22(1.17)На рисунке 1.5 электронная дисперсия зон (согласно выражению 1.16) показана длявсей первой ЗБ и в виде среза вдоль высокосимметричного направления K-Γ-M-K.
Знак19− (+) в формуле 1.16 означает валентную зону ( * зону проводимости), соответственно.Выражения 1.9 и 1.17 описывают зону графена целиком. Однако, из этого представленияне следует доказательства того, что носители заряда в этих зонах ведут себя подобно безмассовым Дираковским фермионам, т.е. показывают линейный закон дисперсии. Поэтомуполезно рассмотреть область около точки и зоны, которые пересекают уровень Ферми.⃗⃗ + :Тогда перепишем 1.17 с условием ⃗ = ⎯(︃ √)︃⎸(︂)︂(︁√)︁⎸33(⃗) = ⎷3 + 2 cos3 · ( + ) + 4 cos· ( + ) cos· ( + )22(1.18)Подставляя координаты для и ′ точек и раскладывая sin и cos в выражении 1.18, мыполучим:⃗ =⃗ + )(√︃(︂3 · 2)︂2(︂+3 · 2)︂2√︁⃗ |⃗ ≈ 3 ( )2 + ( )2 = 3 | + ()22(1.19)Если мы подставим выражение 1.19 в выражение 1.9 и пренебрежем интегралом перекрытия 0 для простоты, аппроксимированная дисперсионная зависимость зон графена вобласти ⃗ от точки будет выглядеть следующим образом:⃗ = ± 3 · 0 · | ⃗ | +2 = ± | ⃗ | +2 ()2(1.20)Здесь означает скорость Ферми, которая определяется хорошо известным значением ∼300⃗для 0 ≈ 3 eV.
Более того, это выражение подтверждает, что дисперсия ()линейна и представляет собой так называемые конусы Дирака в ( , ) пространстве. Отличительной особенностью в выражении 1.20 по сравнению с квадратичным законом дис⃗ =персии () 22с массой электрона , является то, что не зависящая от энергииконстанта. Поэтому электронные свойства и “богатая” физика графена сильно отличается отматериалов, подобных кремнию, или металлов, для которых зонная структура описывается ∝ 0 +(⃗ 2 ).
Кроме того, можно показать, что линейный закон дисперсии в области точки сохраняется и при рассмотрении модели сильной связи с учетом взаимодействия с болеедальними соседними атомами [30].Линейность формируемых дисперсионных зависимостей обусловлена квазидвумерностьюи симметрией кристаллической решетки графена, состоящей из двух эквивалентных подрешеток атомов типов (А) и (В) (см.
рисунок 1.3). Симметричные и антисимметричные комбинации волновых функций этих двух подрешеток пересекаются на границе ЗБ, что приводитк зарядово-сопряженной симметрии заполненных и свободных состояний и, как следствие, клинейному конусообразному энергетическому спектру в областях пересечения электронных20(заполненных) и позитронных (дырочных) состояний. Таким образом, в графене формируются квазичастицы, которые подобно безмассовым релятивистским частицам характеризуютсялинейными дисперсионными соотношениями. Это существенным образом отличает поведение квазичастиц в графене от обычных металлов, электронная структура которых строится исходя из параболической дисперсии, характерной для свободного электрона.
Именнобезмассовость формирующихся квазичастиц и линейность дисперсионных соотношений иобеспечивают аномально высокую проводимость графена и многие уникальные свойства, характерные для графена, такие как парадокс Клейна [3, 31, 32], дробный квантовый эффектХолла [3, 31, 32] и т.п., которые зачастую исчезают при переходе к двухслойным и трехслойным системам. В монокристалле графита, в отличие от графена, в результате сдвига однойграфитовой плоскости относительно другой атомы типа (А) расположены над атомами изнижележащего графитового слоя, а атомы типа (В) не имеют нижележащих соседей. Вследствие этого атомы углерода из двух подрешеток (А) и (В) уже находятся в неэквивалентныхусловиях, что приводит к нарушению сопряженности электронных и дырочных состояний и,как следствие, к смене линейной дисперсионной зависимости на параболическую в областиточки ЗБ и потере уникальных свойств, характерных для графена.1.3Спин-орбитальное взаимодействие в графенеРассмотрим особенности формирования спиновой структуры графена.
В параграфе 1.2были описаны основные факторы, влияющие на спиновую структуру квазидвумерных состояний в металлах и описана простейшая модель Рашбы для двумерного газа электронныхсостояний. Гамильтониан квазичастиц в графене без учета спин-орбитального взаимодействия в области долин Дираковских точек K и ′ выглядит следующим образом:0 = ~ ( + )(1.21)где - фермиевская скорость, , - компоненты волнового вектора в плоскости графена, отсчитываемые от точек K и ′ , параметр = 1(−1) соответствует конусам в K и ′точках и , - матрицы Паули, определенные на пространстве псевдоспина, образуемомдвумя треугольными подрешетками графена. Гамильтониан 0 описывает электронные состояния с линейной дисперсией 0 = ~ || вблизи точек Дирака ( = 1 для электронови -1 для дырок).
Без учета спин-орбитального взаимодействия вырождение в точке k = 0обеспечивается сохранением симметрии.21Внутреннее спин-орбитальное взаимодействие в графене или спин-орбитальное взаимодействие на атомах графена обусловлено движением электрона внутри атома и описываетсяэффективным гамильтонианом [5, 33]: = ∆ (1.22)где = ±1 для состояний на (A), (B) подрешетках, = ±1 описывает состояния в K и ′ точках, - это матрицы Паули, представляющие реальный спин электрона.
С учетомвнутреннего спин-орбитального взаимодействия гамильтониан 0 + приводит к появлению запрещенной зоны в точке Дирака величиной 2∆ (24 эВ [5]) и закону дисперсии√︀() = ± (~ )2 + ∆2 . При этом двукратное вырождение зон, которое обусловлено симметрией обращения времени и симметрией инверсии, сохраняется. Таким образом, внутреннее спин-орбитальное взаимодействие в графене очень мало.Рисунок 1.6: (a) - Зона Бриллюэна графена и система координат в пространстве волновых векторов, (б) - спиновая поляризация конуса Дирака в области точки K прификсированном значении энергии ниже или выше точки Дирака, направление проекцийспина обозначены стрелками, внешняя окружность - = +1, внутренняя - = −1 (см.формулу 1.24) (в) - двухмерное и (г),(д) - трехмерное представление энергетическогоспектра () и расщепление Рашбы состояний графена в области точки K, величинарасщепления обозначена как [34].Однако если возникает перпендикулярное плоскости графена электрическое поле иливзаимодействие с подложкой, то нарушается симметрия инверсии в системе, что приводит кпоявлению внешнего индуцированного спин-орбитального взаимодействия Рашбы в графене,которое может приводить к существенно большему расщеплению состояний.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
