Диссертация (1149922), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Асимптотика при → 0 функции была вычислена нами ранее, она определяется форму­лой (2.17). Собирая вместе полученные выше выражения, мы приходим к ре­зультату (, 0, 2 + i0) =102 ()0 ()[1/ + n ln ] + () ++ ( ln ). (2.112)44при → 0. Из этой формулы видно, что сингулярная часть асимптотики функ­ции Грина оператора Шредингера с обрезанным кулоновским потенциаломне зависит от радиуса обрезания . Из результатов главы 1 тогда следует, чтовид точечного взаимодействия в уравнении Шредингера с суперпозицией обре­занного кулоновского и точечного потенциалов также не зависит от (и вообщеточечное взаимодействие имеет тот же вид, что и в случае суммы кулоновскогои точечного потенциалов). Псевдопотенциал в присутствии обрезанного куло­новского потенциала имеет вид (2.23) при любом значении радиуса обреза­ния > 0.

Отсюда и следует утверждение, сделанное в начале этого раздела, отом, что вид точечного взаимодействия в присутствии кулоновского потенциалаопределяется именно сингулярностью кулоновского потенциала в точке = 0.2.3. Выводы ко второй главеВо второй главе, используя метод псевдопотенциала и явный вид кулонов­ской функции Грина, мы добавили точечное взаимодействие в уравнение Шре­дингера с кулоновским потенциалом () = n−1 . Показано, что стандартныйвид псевдопотенциала (1.5) необходимо модифицировать. Как и в случае корот­кодействующего потенциала ∈ V(1, ), имеющего при → 0 сингулярностьвида (−1 ), модификация проявляется в появлении члена n ln с логарифми­ческой сингулярностью, дополнительного к стандартному сингулярному члену−1 в выражении для псевдопотенциала. Тем же методом псевдопотенциала в63явном виде была построена функция Грина оператора Шредингера с суммойкулоновского и точечного потенциалов.

Исследуя ее полюсы по энергетическойпеременной, мы получили уравнение для определения дискретного спектра опе­ратора Шредингера с суммой кулоновского и точечного взаимодействий.Суммированием парциальных рядов получены представления функции Гри­на оператора Шредингера с обрезанным кулоновским потенциалом с ради­усом обрезания . В разных частях конфигурационного пространства вид по­лученных представлений (2.59), (2.69) и (2.71) различен. В области изменениясвоих аргументов , ′ < функция Грина имеет вид (2.59) суммы кулоновскойфункции Грина и зависящего от ядра оператора, которое является (1/)в пределе снятия обрезания → ∞.

Это ядро выражается через скачок непре­рывности функции при переходе через разрез на комплексной плоскостиэнергий с точностью до действия по угловой переменной оператором, опреде­ленным формулой (2.62). Аналогичные представления (2.96), (2.102), (2.104)и (2.99) получены для функции Грина оператора Шредингера с хвостом куло­новского потенциала.Мы установили, что вид псевдопотенциала, который добавляется в уравне­ние Шредингера с обрезанным кулоновским потенциалом, не зависит от радиусаобрезания потенциала > 0 и имеет вид псевдопотенциала (2.23), который до­бавляется в уравнение с кулоновским потенциалом.

Это означает, что точечноевзаимодействие в случае суперпозиции кулоновского и точечного потенциаловполностью определяется сингулярностью кулоновского потенциала в начале ко­ординат.64Глава 3Система электрон-позитрон3.1. Взаимодействие позитрона и электронаПозитрон [51] — античастица электрона, имеющая спин, массу и времяжизни электрона и равный по величине, но противоположный по знаку электри­ческий заряд. При взаимодействии позитрона с обычной материей может про­изойти аннигиляция электрон-позитронной пары.

Существует несколько меха­низмов аннигиляции, среди которых наибольшее значение имеют аннигиляцияс испусканием двух, трех и более фотонов. Наиболее вероятным процессом явля­ется двухфотонная аннигиляция (при этом система электрон-позитрон должнанаходиться в синглетном состоянии). Отношение сечений двухфотонной и трех­фотонной аннигиляции равняется примерно 1/370.Электрон и позитрон могут образовывать связанное состояние, которое на­зывается позитроний. Существование позитрония экспериментально было под­тверждено в 1951 году Дойчем.

Позитроны образуются в реакциях, происходя­щих в газах, на поверхностях твердых тел и во многих диэлектриках и молеку­лярных кристаллах. В газовых средах образование позитрония происходит пристолкновениях позитрона с атомами и молекулами посредством реакций вида+ + → Ps + + ,(3.1)где — облучаемый атом или молекула. Согласно закону сохранения энергииреакция (3.1) возможна лишь тогда, когда суммарная энергия системы пре­восходит так называемый порог образования позитрония, то есть когда энергияналетающего позитрона больше разности энергии основного состояния позитро­ния и энергии ионизации облучаемого атома или молекулы. Позитроний можетсуществовать в двух спиновых состояниях — парапозитрония и ортопозитро­ния (полный спин = 0, 1). Он является нестабильной частицей.

Согласно65правилам отбора в позитронии, находящемся в состоянии с орбитальным мо­ментом и спином , может произойти аннигиляция электрона и позитрона сиспусканием фотонов, при выполнении условия(−1) = (−1)+ .(3.2)Таким образом, в состоянии с нулевым орбитальным моментом = 0 аннигиля­ция парапозитрония и ортопозитрония может произойти с испусканием четного(двух и более) и нечетного (трех и более) числа фотонов соответственно.

Приэтом из спиновой статистики следует, что орто- и парапозитроний образуютсяв соотношении 3:1. Большинство образованных атомов позитрона в конечномсчете аннигилируют. Поэтому, в отличие от случая аннигиляции свободных по­зитронов в веществе, при аннигиляции позитрония трехфотонный механизмимеет важное значение. Тем не менее время жизни позитрония, который анни­гилирует через механизм двухфотонной аннигиляции, примерно на три порядкаменьше, чем в случае трехфотонной аннигиляции.

При ненулевом орбитальноммоменте ̸= 0 вероятность сближения электрона и позитрона существенно ни­же, чем при = 0, поэтому время жизни позитрония в этих состояниях опре­деляется не скоростью аннигиляции, а временем перехода в основное состояниес последующей аннигиляцией.Столкновения позитрона с атомами и молекулами являются предметомтеоретических и экспериментальных исследований. Значительный прогресс вэкспериментальных исследованиях связан с развитием технологии использова­ния низкоэнергетических пучков позитронов.

Эти пучки получаются в резуль­тате эмиссии с поверхности твердых тел при облучении высокоэнергетическимипучками позитронов. При столкновении позитрона с атомом или молекулой взависимости от энергии налетающего позитрона могут происходить как обыч­ные процессы упругого и неупругого рассеяния, так и аннигиляция позитронас одним из электронов оболочки. В таких реакциях существует два различныхмеханизма аннигиляции — прямая аннигиляция и аннигиляция после образова­66ния позитрония. Во втором случае вначале в результате неупругого процессарассеяния образуется позитроний, который затем претерпевает аннигиляцию.Формула для сечения прямой двухфотонной аннигиляции электрон-пози­тронной пары при малой энергии налетающего на атом или молекулу позитрона(при суммарной энергии системы ниже порога образования позитрония) получа­ется из КЭД формулы переходом к нерелятивистскому пределу и имеет вид [51]ann = 0 eff .(3.3)Здесь сечение двухфотонной аннигиляции свободной электрон-позитронной па­ры 0 дается формулой0 = 02 (/),где 0 — классический радиус электрона, — скорость света и — скорость нале­тающего позитрона.

Эффективное число электронов eff учитывает возмущениеэлектронной плотности в атоме или молекуле налетающим на них позитроном(плотность электронного облака увеличивается в окрестности позитрона). Еслибы этим возмущением можно было пренебречь, эффективное число электроновeff равнялось бы числу электронов в атоме . Расчеты показывают, что зна­чения eff и могут существенно различаться. Например, для атома водородапри малых энергиях налетающего позитрона отношение eff / примерно рав­няется 9.

Величину eff для разных атомов получают в экспериментах черезопределение времен жизни позитронов, диффундирующих в газовых средах,а также через определение временной зависимости распределения скоростей впучке позитронов.В случае рассеяния позитрона на атоме водорода, значение эффективногочисла электронов eff в первом порядке теории возмущений выражается инте­граломZeff =1 2 |Ψ(1 , 2 , )|2 (1 − 2 ).(3.4)Здесь Ψ(1 , 2 , ) (где 1 , 2 и — радиус векторы позитрона, электрона ипротона) является волновой функцией рассматриваемого процесса в системе67центра масс.

Нормировка функции Ψ в предыдущей формуле выбирается та­ким образом, чтобы падающая волна в асимптотическом граничном условии набесконечности имела видΨ0 (1 , 2 , ) ≡ exp(1 · 1 )Φ(2 − ).(3.5)Здесь 1 — волновой вектор налетающего на мишень позитрона, Φ — волноваяфункция связанного состояния атома водорода. В первом борновском прибли­жении волновая функция Ψ в точности имеет вид (3.5). В этом приближенииeff , вычисленный по формуле (3.4), равен единице, как и должно быть припренебрежении возмущением атома налетающим позитроном.Авторами работы [2] для описания рассеяния позитрона на атоме водоро­да было предложено использовать модельный гамильтониан, в котором взаимо­действие между электроном и позитроном описывается суммой кулоновскогои чисто мнимого потенциала вида i12 (). Здесь константа связи потенциала < 0 и 12 — его вещественная координатная часть.

Этот дополнительныйпотенциал введен для учета в рамках нерелятивистской квантовой механикиявления аннигиляции электрон-позитронной пары при рассеянии и называет­ся потенциалом аннигиляции. Наличие в гамильтониане системы потенциалас чисто мнимой константой связи приводит к тому, что этот гамильтониан пе­рестает удовлетворять условию эрмитовости. Тогда в оптической теореме, свя­зывающей полное сечение рассеяния с амплитудой рассеяния на нулевой угол,появляется дополнительное слагаемое, которое интерпретируется как сечениепоглощения и описывает ослабление падающего пучка частиц. В процессе рас­сеяния позитрона на атоме водорода это ослабление обусловлено аниигиляциейэлектрон-позитронной пары и сечение поглощения в этом случае называетсясечением аннигиляции.Рассматривая потенциал i12 как малое возмущение и применяя первоеборновское приближение, можно получить для сечения аннигиляции выраже­68ние [2]ann=2(−)~Z2 ×1 2 12 (1 − 2 )|Ψ0 (1 , 2 , )|2 .(3.6)В работе [2], из сравнения КЭД формулы (3.3)–(3.5) в первом борновском при­ближении и выражения (3.6) с учетом ann = ann/4 (где множитель 1/4 воз­никает из-за необходимости учета только синглетных состояний электрон-пози­тронной пары), было предложено определить координатную часть потенциалааннигиляции в форме трехмерной -функции12 () = (),(3.7)где = 1 − 2 , а константу связи при помощи равенства = −2~2 0 = −2~2 02 .(3.8)Определенный таким образом потенциал был использован в ряде работ [52–54].Однако, как было показано в главе 1, выбор координатной части потенци­ала в виде (3.7) неизбежно приводит к использованию методов теории возму­щений для решения уравнения Шредингера с этим потенциалом.

Кроме того,подобное определение потенциала делает невозможным использование форму­лы (3.6) при энергиях выше порога образования позитрония, поскольку в этомслучае стоящий там интеграл расходится. В работе [33] для преодоления этихтрудностей было предложено вместо потенциала (3.7) использовать точечноевзаимодействие в форме псевдопотенциала.

Характеристики

Список файлов диссертации