Диссертация (1149922), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Следует отметить, что асимптотическое поведение функции Грина (1.87) при = 1 идентично соответствующей асимптотике функции Грина оператора Шредингера с кулоновским потенциалом, котораябудет исследована в главе 2.1.3. Метод псевдопотенциалаВ этом разделе мы опишем метод добавления точечного потенциала в уравнение Шредингера с потенциалом ∈ V(, ), основанный на использованиипсевдопотенциала. Этот метод применялся в работе [28] для определения функции Грина оператора 0 свободного движения, возмущенного точечным взаимодействием.Подход основан на добавлении слагаемого с псевдопотенциалом в уравнение Шредингера.
Вначале рассмотрим этот метод на простом примере, в котором невозмущенным уравнением Шредингера является уравнение свободногодвижения, то есть рассмотрим случай = 0. В уравнение Шредингера добавим член с псевдопотенциалом[︀]︀−∆ − 2 (, ) + 0 ()(, ) = 0,(1.89)где — волновая функция, – константа связи. Псевдопотенциал 0 определяется равенством0 ()(, ) = ()0 ,(1.90)где константа 0 является значением некоторого линейного функционала отрешения . С учетом предыдущего равенства перепишем уравнение (1.89) ввиде[︀]︀−∆ − 2 (, ) + ()0 = 0.(1.91)Обращая оператор в левой части предыдущего равенства, перейдем к инте33гральному уравнению Липпманна-ШвингераZ(, ) = exp(i · ) − d ′ 0 (, ′ , 2 + i0)( ′ )0 .(1.92)Функция Грина 0 с энергетическим аргументом, равным 2 + i0, в координатном представлении определяется выражением1 exp(i| − ′ |).0 (, , + i0) =4| − ′ |′2(1.93)Выполняя интегрирование в (1.92) при помощи дельта-функции, приходим кпредставлению(, ) = exp(i · ) − 0 (, 0, 2 + i0)0 .(1.94)Перейдем к пределу → 0 в правой части полученного для представления,используя явный вид функции Грина 0 .
Тогда получим выражение для асимптотики волновой функции(, ) = −)︀0 1 (︀+ 1 − i0 /4 + (1).4 (1.95)Эта асимптотика зависит от константы 0 . Положим 0 = 1 − i0 /4 , тогдапредыдущий результат перепишется в виде)︂(︂ 1(, ) = 0 1 −+ (1).4 (1.96)Мы получили, что волновая функция, являющаяся решением уравнения Шредингера (1.89)–(1.90), имеет асимптотически при → 0 вид (1.96). Отметим,что из формулы (1.96) следует граничное условие (1.2).
Чтобы показать корректность определения (1.90), необходимо определить вид псевдопотенциала.Воспользуемся классической формулой (1.5), то есть положим0 () = ()dd(1.97)Подставляя это в определение (1.90), с учетом (1.96), убеждаемся в его корректности. Из приведенного вывода следует, что единственным параметром точечного потенциала оказывается константа связи .34Отметим, что в основу определения точечного потенциала можно былоположить постановку асимптотического граничного условия (1.96), вместо добавления слагаемого с псевдопотенциалом в уравнение Шредингера по формулам (1.89)–(1.90). Непосредственной подстановкой граничного условия (1.96) вуравнение Шредингера с оператором −∆ можно убедиться, что в точке = 0уравнение будет выполняться, только если в него добавить слагаемое 0 спсевдопотенциалом, определенным формулой (1.97).
В этом рассуждении мыпользуемся тем, что функция −1/4 является фундаментальным решениемуравнения Лапласа [20], так что действие −∆ на правую часть (1.96) порождает слагаемое −()0 , которое и нужно компенсировать слагаемым с псевдопотенциалом.Перейдем к определению точечного потенциала в более общем случае ∈V(, ). Рассмотрим уравнение Шредингера, в котором к невозмущенному оператору добавлен член с псевдопотенциалом[︀]︀−∆ + () − 2 (, ) + ()(, ) = 0.(1.98)Псевдопотенциал определяется равенством ()(, ) = (),(1.99)где константа является значением некоторого линейного функционала от решения . Определение вида этого функционала и является основной задачейданного раздела.
С учетом предыдущего равенства перепишем уравнение (1.98)в виде[︀]︀−∆ + () − 2 (, ) + () = 0.(1.100)Предположим, что 2 ∈/ (), тогда, обращая оператор в левой части предыдущего равенства, перейдем к интегральному уравнению Липпманна-ШвингераZ(, ) = 0 (, ) − d ′ (, ′ , 2 + i0)( ′ ).(1.101)35Функция 0 соответствует состоянию рассеяния и является решением уравнения[︀]︀−∆ + () − 2 0 (, ) = 0,(1.102)которое удовлетворяет асимптотическому граничному условию0 (, ) ∼ exp (i · ) + −1 exp (i)(1.103)при → ∞. Выполняя интегрирование в (1.101) при помощи дельта-функции,приходим к представлению(, ) = 0 (, ) − (, 0, 2 + i0).(1.104)Теперь можно выразить асимптотику при → 0 функции , являющейся решением уравнения Шредингера (1.98) с псевдопотенциалом , определеннымформулой (1.99), через константу .
Как будет показано ниже, предел 0 при → 0 конечен в случае ∈ V(, ) и тем самым нетривиальная часть асимптотики в нуле полностью определяется членом, содержащим функцию Грина в (1.104). В результате мы убеждаемся, что асимптотика функции Грина(, 0, ) при → 0 имеет определяющее значение при построении формализма точечного потенциала.Поскольку асимптотическое поведение функции Грина (, 0, ) при → 0было подробно исследовано в предыдущем разделе, нам остается исследоватьповедение 0 в нуле.
Это может быть сделано на основе следующего интегрального уравнения Липпманна-ШвингераZ0 (, ) = exp(i · ) − d 0 (, , 2 + i0) ()0 (, ).(1.105)Хорошо известно [31, 32], что решение этого уравнения существует, выражаетсяв терминах функции Грина формулойZ0 (, ) = lim(−i) d (, , 2 + i) exp(i · )→0(1.106)36и является ограниченной функцией первого аргумента. В последнем легко убедится в нашем случае потенциалов класса V(, ), фактически повторяя рассуждения предыдущего раздела при = 0.
В результате можем заключить,что для потенциалов из класса V(, ) асимптотика функции 0 (, ) регулярна при → 0 и 0 (, ) имеет конечный предел в начале координат.Сингулярное поведение полного решения тем самым полностью определяется сингулярностями функции Грина. В соответствии с формулами (1.86)–(1.88),мы имеем три случая для асимптотики волновой функции в зависимости отзначения параметра потенциала .
В случае наиболее сильной сингулярностипотенциала 1 < < 3/2 асимптотика имеет вид[︂]︂ 10(, ) = 0 (0, ) −−− 1 + (1),4 −1(1.107)в случае = 1[︂]︂ 1+ 0 ln − 2 + (1),(, ) = 0 (0, ) −4 (1.108)в случае < 1− 3 + (1).(1.109)4Вводя некоторые переобозначения, представим окончательный результат в бо(, ) = 0 (0, ) −лее единообразном виде: если 1 < < 3/2, то асимптотика имеет вид(, ) =]︀1 [︀1/ + 0 /−1 + 1 + (1),4(1.110)в случае = 1 она дается выражением(, ) =2[1/ + 0 ln()] + 2 + (1),4(1.111)а в случае < 1 верно равенство(, ) =3+ 3 + (1).4Присутствующие здесь константы определяются формулами0 =0,(2 − )(1 − )(1.112)37 = − и = 0 (0, ) − при = 1, 2, 3.
Заметим, что константы и не являются независимыми. Единственным независимым параметром, определяющим вид точечного потенциала, является константа связи = − / .Отметим, что вид асимптотик (1.110)–(1.112) совпадает с результатом (1.17),полученным в работе [8] методами теории расширений для случая вещественных констант связи . Действительно, рассмотренный там класс потенциаловявляется подмножеством рассмотренного в диссертации класса V(, ).Теперь, следуя методу, описанному в работе [33], можно вычислить видпсевдопотенциала (1.99) из асимптотических выражений (1.110-1.112). Для всехтрех случаев псевдопотенциал может быть записан в виде () = ()d ,d(1.113)где переменные определены формулами1/1 = −1 + 0 −+1 ,(1.114)1/2 = −1 + 0 ln(),(1.115)1/3 = −1 .(1.116)Действительно, в новых переменных асимптотические выражения (1.110–1.112)переписываются в виде(, ) =и, следовательно,+ + (1),4)︁d (︁ (, ) = (),()d(1.117)(1.118)что согласуется с определением псевдопотенциала (1.99), если положить = .Из последнего равенства получаем)︁d (︁ = lim (, ) .→0 d(1.119)В случае = 1 построенный псевдопотенциал совпадает с псевдопотенциаломдля чисто кулоновского случая, что будет показано в главе 2.
Это завершает38̃︀ в случае потенциаловпостроение псевдопотенциала и тем самым оператора ∈ V(, ).Из полученных формул следует, что на регулярную при = 0 функцию() псевдопотенциал действует по формуле ()() = ()(0).(1.120)Действительно, асимптотическое поведение при → 0 регулярной функции имеет вид (1.117) с = 0 и = (0). Формула (1.120) тогда следуетиз формулы (1.118). Таким образом, при действии на регулярную при = 0функцию псевдопотенциал эквивалентен трехмерной -функции.
Это, в частности, оправдывает использование трехмерной -функции вместо точного выражения (1.113) в формулах квантовомеханической теории возмущений, в которых приходится вычислять скалярные произведения (матричные элементыпотенциала) вида(′ , ()) = (′ , ())(1.121)с регулярными функциями и ′ . Возможность использования трехмерной -функции вместо корректно определенного точечного потенциала в первом порядке теории возмущений была обоснована теоретически в работе [34].Из формул (1.117)–(1.118) также следует, что псевдопотенциал действуеттолько в -волне. Это означает следующее. Пусть имеется разложение волновойфункции() =∑︁ℓ ()ℓ (ˆ)(1.122)ℓ,по базису собственных функций оператора Лапласа на единичной сфере в R3– сферических гармоник ℓ .
Из выражения (1.117) следует, что при ℓ ≥ 1выполняется ℓ (0) = 0. Но тогда, согласно сделанному выше замечанию одействии псевдопотенциала на регулярные функции, мы имеем ()ℓ ()ℓ (ˆ ) = 0 при ℓ ≥ 1,39а следовательно ()00 ()00 (ˆ ) = ().1.4. Выводы к первой главеВ первой главе построены операторы Шредингера с суперпозицией короткодействующего и точечного потенциалов в случае, когда особенность короткодействующего потенциала попадает на носитель точечного взаимодействия.Это было сделано двумя различными методами — самосопряженных расширений и с помощью подхода с псевдопотенциалом. Поскольку задача определенияоператора Шредингера так или иначе сводится к изучению асимптотическогоповедения функции Грина (, 0, 2 ) оператора −∆ + при → 0, вначале это поведение было подробно исследовано для класса короткодействующихпотенциалов V(, ) с < 3/2 и > 1, имеющих при → 0 сингулярностьвида (− ) и убывающих на бесконечности как (−2 ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
