Диссертация (1149922), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Искомая функция удовлетворяет уравнению̃︁ (, ′ , ) = ( − ′ ).[ + − ] (2.24)Она симметрична по своим аргументам и ′ . Определим действие псевдопотенциала на функцию Грина формулой̃︁ (, ′ , ) = ()( ′ , ). ()(2.25)46Подставляя (2.25) в (2.24), получаем̃︁ (, ′ , ) = ( − ′ ) − ()( ′ , ).[ − ] (2.26)Будем считать, что ∈/ ( ). Для обращения оператора в левой части предыдущего равенства подействуем слева кулоновской функцией Грина на обе частиравенства.
Интегрирование в правой части полученного выражения снимаетсяимеющимися там -функциями, и мы приходим к представлению̃︁ (, ′ , ) = (, ′ , ) − (, 0, )( ′ , ).(2.27)Переходя при фиксированном ненулевом ′ к пределу → 0 при помощи (2.17),получим асимптотическое выражение−( ′ , )′̃︁ (, , ) =[1/ + n ln ]4√+ (0, ′ , ) − ( ′ , )( ) + ( ln ).(2.28)Вводя обычные переобозначения, запишем последнюю формулу в виде′̃︁ (, ′ , ) = ( , ) [1/ + n ln ] + ( ′ , ) + ( ln ) ,4(2.29)при этом ( ′ , ) и ( ′ , ) выражаются через параметр формулами−√1 + ( )1√ .( ′ , ) = (0, ′ , )1 + ( )( ′ , ) = (0, ′ , )(2.30)Из формул (2.23) и (2.29) следует корректность определения (2.25).
Подставляя выражение для ( ′ , ) в представление (2.27), получаем окончательнуюформулу для искомой функции Грина̃︁ (, ′ , ) = (, ′ , )− (, 0, )1√ (0, ′ , ).1 + ( )(2.31)Из этого представления непосредственно следует, что полюсы по энергетическому аргументу функции Грина и тем самым спектр оператора Шредингера с47суммой кулоновского и точечного потенциалов определяются из уравнения√1 + ( ) = 0.(2.32)В случае вещественной константы связи это уравнение можно получить врамках метода самосопряженных расширений [22].Уравнение (2.31) может быть записано в операторной форме̃︁ () = () − () () (),(2.33)где интегральный оператор () определяется ядром (, , ) = ()()√ .1 + ( )(2.34)Введем теперь формально оператор, который в литературе обычно называюткулоновской -матрицей [38], по формуле () = 0 () − 0 () ()0 ().(2.35)Здесь интегральный оператор 0 () = (−∆ − )−1 с ядром (1.24) является резольвентой оператора −∆ свободного движения.
Подставляя определение (2.35) в уравнение (2.33), последнее можно переписать в виде̃︁ () = 0 () − 0 ()̃︁ ()0 ().(2.36)̃︁ () назовем -матрицей оператора Шредингера сВведенный здесь оператор суммой кулоновского потенциала и точечного взаимодействия.
Он выражаетсяформулой̃︁ () = () + [ − ()0 ()] ()[ − 0 () ()].(2.37)Полученное представление для -матрицы имеет стандартный вид, получающийся в формализме искаженных волн, примененном в случае суперпозициикулоновского и короткодействующего потенциалов [39, 40].Полученные в этом разделе формулы будут использоваться в главе 3 прирассмотрении системы электрон-позитрон.482.2. Функция Грина оператора Шредингера с обрезаннымкулоновским потенциаломВ разделе выводов к предыдущей главе было отмечено, что в уравненииШредингера с суммой локального потенциала из класса V(, ) и точечногопотенциала вид последнего полностью определяется параметрами потенциала , которые задают его поведение в точке сосредоточения точечного потенциала.В данном разделе мы покажем, что и в случае уравнения Шредингера с суперпозицией кулоновского и точечного потенциала вид последнего определяетсяименно сингулярностью кулоновского потенциала в точке = 0, но не дальнодействующим характером убывания этого потенциала на бесконечности.
Дляэтого мы вместо кулоновского потенциала () = n/ рассмотрим его модификацию — обрезанный кулоновский потенциал, который определяется формулой⎧⎨ (), ≤ , () =⎩ 0, > .(2.38)Здесь > 0 — радиус обрезания. Мы покажем, что при любом выборе радиуса обрезания > 0 функциональный вид асимптотики при → 0 функцииГрина оператора Шредингера с обрезанным кулоновским потенциалом остаетсяодним и тем же. В соответствии с результатами главы 1, тем самым и будет показано, что вид точечного взаимодействия определяется частью кулоновскогопотенциала, сосредоточенной в произвольно малой окрестности точки = 0.Итак, в этом разделе мы исследуем функцию Грина оператора Шредингера с обрезанным кулоновским потенциалом. Этот частный случай экранированного кулоновского потенциала интересен тем, что он, подобно самому кулоновскому потенциалу , допускает нахождение некоторых величин в явномвиде [41].
Мы также рассмотрим функцию Грина оператора Шредингера схвостом кулоновского потенциала = − . Потенциалы и используются при решении задачи рассеяния в системах нескольких заряженныхчастиц [42, 43], так что полученные в этом разделе формулы представляют49самостоятельный интерес помимо приложения к задаче построения точечногопотенциала.Функция Грина оператора Шредингера с центрально-симметричным потенциалом () является решением неоднородного уравнения[︀]︀−∆ + () − 2 (, ′ , 2 ) = ( − ′ ).(2.39)В этом разделе мы для упрощения обозначений рассматриваем случай предела на положительной части действительной оси энергий 2 + i0. Одним изобщепринятых методов построения функции Грина оператора Шредингера сцентрально-симметричным потенциалом является использование парциального разложения [30]. В этом методе функция Грина представляется в виде рядапо полиномам Лежандра ℓ∞1 ∑︁ℓ (, ′ , 2 + i0)(, , + i0) =(2ℓ + 1)ℓ (ˆ · ˆ′ ).′4′2(2.40)ℓ=0Парциальная функция Грина ℓ удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению[︂d2ℓ(ℓ + 1)− 2++ () − 2 ℓ (, ′ , 2 + i0) = ( − ′ )2d]︂(2.41)с естественным граничным условием ℓ = 0 при = 0.
Условие излученияпри → ∞ зависит от того, является потенциал () короткодействующимили дальнодействующим. В первом случае оно имеет вид расходящейся волныℓ ∼ exp(i − iℓ/2), во втором случае в расходящуюся волну добавляетсякулоновская фаза ℓ ∼ exp(i − iℓ/2 − ln 2). Функция Грина ℓ можетбыть построена по стандартной формуле [44]ℓ (, ′ , 2 + i0) = −ℓ (< )ℓ (> ), (ℓ , ℓ )(2.42)где > = max{, ′ }, < = min{, ′ } и (ℓ , ℓ ) ≡ ℓ ℓ′ − ℓ ′ℓ обозначает вронскиан решений уравнения[︂]︂d2ℓ(ℓ + 1)− 2++ () − 2 () = 0.2d(2.43)50Решения ℓ и ℓ определяются граничными условиями ℓ (0) = 0, и условиемизлучения для ℓ () при → ∞.Рассмотрим вначале случай обрезанного кулоновского потенциала () = ().
Функции ℓ и ℓ являются решениями радиального уравнения Шредингера⎧ [︁ 2⎨ − d2 +[︁ d2⎩ − d2 +dℓ(ℓ+1)2ℓ(ℓ+1)22]︁+ () − () = 0, 0 < ≤ ]︁2− () = 0, > .(2.44)Поскольку потенциал является короткодействующим, условие излучения принимает вид ℓ () → exp{i − iℓ/2}. Точный вид обеих функций ℓ и ℓ зависитот того, принадлежит координата интервалу 0 < ≤ или нет. Он можетбыть получен процедурой сшивки решений [41]. Для ℓ получаетсяℓ () = ℓ (, ), ≤ ,ℓ () = 1ℓ ˆℓ () + 1ℓ ˆ ℓ (), > .(2.45)В случае ℓ решение имеет видℓ () = 2ℓ ℓ (, ) + 2ℓ ℓ (, ), ≤ (2.46)ℓ () = ℎ̂+ℓ (), > .Через ˆ , ˆ и ℎ̂+ℓ обозначены функции Риккати-Бесселя, Риккати-Неймана иРиккати-Ханкеля, которые связаны с соответствующими сферическими функциями Бесселя формулами типа ˆ () = ().
Для сферических функций Бесселя и регулярной ℓ и нерегулярной ℓ кулоновских функций используетсянормировка [36]. Коэффициенты 1ℓ , 1ℓ , 2ℓ и 2ℓ определяются таким образом,чтобы обе функции ℓ , ℓ и их первые производные были непрерывны в точке = . Условие непрерывности значения функции ℓ и ее первой производнойпри = приводит к следующей системе линейных алгебраических уравненийдля определения коэффициентов 1ℓ и 1ℓ⎛⎝ˆℓ ()ˆℓ′ ()ˆ ℓ ()ˆ′ℓ ()⎞⎛⎠⎝1ℓ1ℓ⎞⎛⎠=⎝ℓ (, )ℓ′ (, )⎞⎠.(2.47)51Здесь штрихи обозначают производные по аргументам функций ˆ , ˆ и по второму аргументу функции ℓ .
Определитель системы равен(︁)︁′′ˆˆ ℓ ()ˆℓ () − ˆ ℓ ()ℓ () = (ˆℓ , ˆ ℓ ) = −.(2.48)Обращение матрицы в линейной системе приводит к равенству⎛⎝1ℓ⎞⎛ˆ′ℓ ()⎠ = −1 ⎝−ˆℓ′ ()1ℓ−ˆℓ ()ˆℓ ()⎞⎛⎠⎝ℓ (, )ℓ′ (, )⎞⎠.(2.49)Условия непрерывности значения и производной функции ℓ приводят к линейной системе для определения коэффициентов 2ℓ и 2ℓ⎛⎝ℓ (, )ℓ (, )ℓ′ (, )′ℓ (, )⎞⎛2ℓ⎠⎝2ℓ⎞⎛⎠=⎝ℎ̂+ℓ () ℎ̂+′ℓ ()⎞⎠.(2.50)С учетом того, что определитель последней системы равен (ℓ (, )′ℓ (, ) − ℓ (, )ℓ′ (, )) = (ℓ , ℓ ) = −,(2.51)получаем искомые коэффициенты в виде⎛⎝2ℓ⎞⎛′ℓ (, )⎠ = −1 ⎝2ℓ−ℓ′ (, )−ℓ (, )ℓ (, )⎞⎛ℎ̂+ℓ ()⎠⎝ ℎ̂+′ℓ ()⎞⎠.(2.52)Выпишем окончательные выражения для коэффициентов1ℓ = − (ℓ , ˆ ℓ )/,1ℓ = (ℓ , ˆℓ )/,2ℓ = − (ℎ̂+ℓ , ℓ )/,2ℓ = (ℎ̂+ℓ , ℓ )/,(2.53)где обозначает вронскиан, вычисленный в точке = .
Вронскиан (ℓ , ℓ )решений ℓ и ℓ радиального уравнения Шредингера (2.44), согласно общейтеории линейных дифференциальных уравнений второго порядка [45], являетсяконстантой на промежутках непрерывности коэффициентов этого уравнения.В данном случае эти промежутки определяются неравенствами 0 ≤ ≤ и > . Поскольку значения решений ℓ и ℓ и их производных непрерывны при52 = , вронскиан является константой на всем интервале изменения .
Дляопределения этой константы достаточно вычислить вронскиан в какой-нибудьодной точке, например, в точке < . Используя выражения для функций ℓи ℓ при < , получаем (ℓ , ℓ ) = (ℓ , 2ℓ ℓ + 2ℓ ℓ ) = 2ℓ (ℓ , ℓ ) = ( , ℎ̂+ℓ ).(2.54)Уравнения (2.42) – (2.54) полностью определяют парциальную функцию Гринаℓ оператора Шредингера с обрезанным кулоновским потенциалом.
Явныйвид функции Грина зависит от того, какую область конфигурационного пространства мы рассматриваем. Из-за симметрии функции Грина относительноперестановки аргументов и ′ имеет смысл различать три области значенийаргументов: , ′ < , , ′ > и < < ′ .Рассмотрим вначале случай , ′ < . Подстановкой в формулу (2.42) соответствующих значений и получаем′ℓ (, , + i0) = −2 (ℎ̂+ℓ , ℓ )1′ℓ (, < )ℓ (, > ),(,)(,)+ℓℓ (ℎ̂+,)ℓℓ(2.55)Исключим из последнего выражения нерегулярную кулоновскую функцию ℓпри помощи определения +ℓ = exp{−iℓ }(ℓ + iℓ ) [36] кулоновской расходящейся волны, в котором ℓ = arg Γ(ℓ + 1 + i) — кулоновский фазовый сдвиг.Получим представление парциальной функции Грина в виде суммы двух слагаемых1ℓ ()ℓ (, ′ , 2 + i0) = ℓ (, < )ℓ +ℓ (, )ℓ (, ′ ), (2.56)ℓ (, > ) +где ℓ () определяется формулой++ℓ () = −ℓ (ℎ̂+ℓ , ℓ )/ (ℎ̂ℓ , ℓ ).(2.57)Теперь у нас есть все составляющие для вычисления функции Грина оператора Шредингера с обрезанным кулоновским потенциалом по формуле (2.40).53Используя разложение кулоновской функции Грина в парциальный ряд [30]∞+1 ∑︁ℓ ℓ (, < )ℓ (, > )(2ℓ + 1) (, , + i0) =ℓ (ˆ · ˆ′ ),4′′2(2.58)ℓ=0получаем в силу (2.56), что в области изменения , ′ < функция равняется сумме двух слагаемых (, ′ , 2 + i0) = (, ′ , 2 + i0) + (, ′ , 2 ).(2.59)Здесь второе слагаемое имеет вид∞1 ∑︁ℓ (, )ℓ (, ′ ) (, , ) =(2ℓ + 1)ℓ ()ℓ (ˆ · ˆ′ ).′4′2(2.60)ℓ=0Покажем, что ядро оператора равняется скачку непрерывности функции Грина (, ′ , ) при переходе с верхнего на нижний берег разреза поположительной части действительной оси на комплексной плоскости энергий,с точностью до действия по переменной = ˆ · ˆ′ некоторым оператором.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
