Диссертация (1149922), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Обобщение оптической теоремы: сумма короткодействующегои чисто мнимого точечного потенциаловПусть теперь гамильтониан имеет вид−∆ + 1 () + i2 ().где i2 является псевдопотенциалом (1.113). Вновь обозначим волновуюфункцию рассеяния, которая удовлетворяет соответствующему уравнению Шредингера[︀]︀−∆ + 1 () + i2 () − 2 (, ) = 0.(3.56)78Домножим уравнение Шредингера на комплексно сопряженную волновую функцию и вычтем домноженное на комплексно сопряженное уравнение Шредингера.
Поскольку носителем псевдопотенциала является точка = 0, вместоформулы (3.46) получим при > 0 ()∆ () − ()∆ () = 0.(3.57)Интегрируя левую и правую части по шару радиуса с выколотой -окрестностьюточки = 0, используя формулу Грина для преобразования левой части иустремляя → ∞ и → 0, приходим к равенствуZlim 2→∞)︂⃒⃒dˆ− () () − () () ⃒⃒=(︂)︂⃒Z⃒− lim 2 dˆ= 0. (3.58) () () − () () ⃒⃒→0=(︂Первый предел был нами вычислен в предыдущем подразделе. Чтобы вычислить второй предел, подставим в подынтегральное выражение вместо имеющейся там волновой функции ее асимптотику, которая выражается одной из формул (1.110)–(1.112), в зависимости от особенности потенциала 1 . Рассмотримнаиболее сингулярный случай (1.110).
Мы получаем⃒ ]︂)︂⃒[︂⃒⃒ () () − () () ⃒⃒= 2iℑm () ()⃒⃒==[︂(︂)︂ =[︀]︀1= 2iℑm−1/2 + (1 − )0 / + (−1 ) ×4(︁ [︀)︁]︁]︀1−1×1/ + 0 /+ 1 + (1) =4[︂]︂]︀ [︀]︀ 1 1 1|1 |2 [︀2−1−2−1/ + (1 − )0 / 1/ + 0 /−+ ( ) == 2iℑm(4)24 2[︂]︂1 1 1i|1 |2 1−2= 2iℑm −+ ( ) = −+ (−2 ). (3.59)224 2 (︂Здесь мы воспользовались соотношением = −i . Случаи (1.111)–(1.112)рассматриваются аналогично. В общем случае можно написать(︂)︂⃒⃒i| |2 1⃒ () () − () () ⃒=−+ (−2 )22=(3.60)79при = 1, 2, 3.
Теперь легко вычислить второй предел в соотношении (3.58):Zdˆlim 2→0(︂)︂⃒⃒ () () − () () ⃒⃒= −2i| |2 .=(3.61)В результате равенство (3.58) примет вид модифицированной оптической теоремы−4ℑm (0) − =| |2 .(3.62)Из формулы (1.99) следует, что параметр выражается через волновую функцию рассеяния с помощью интегралаZ = d 2 () (, ).(3.63)Правая часть оптической теоремы (3.62) является сечением поглощения⃒2⃒Z⃒− ⃒⃒⃒ .a =d()(,)2⃒ ⃒(3.64)Выражение (3.64) отлично от аналогичного выражения (3.55). Отметим, чтопопытка вычисления сечения аннигиляции по формуле (3.55) в случае, когдачисто мнимый потенциал является точечным потенциалом i2 , приведет кневерному результату.3.3.3.
Обобщение оптической теоремы: сумма кулоновского икороткодействующего потенциаловПерейдем теперь к случаю уравнения Шредингера с гамильтонианом−∆ + () + 2 ()с суммой кулоновского и локального короткодействующего потенциалов. Леваячасть оптической теоремы (3.53) теперь не определена.
Кулоновская амплитударассеяния (3.37) в направлении рассеяния на угол = 0 обращается в бесконечность и интеграл в выражении для полного сечения рассеяния (3.54) также80расходится. Преобразуем левую часть оптической теоремы (3.53) к виду, пригодному также и в случае дальнодействующего кулоновского потенциала. Рассмотрим парциальное разложение амплитуды рассеяния на потенциале + 2в ряд по полиномам Лежандра ℓ (cos ) () =∞∑︁(2ℓ + 1)ℓ ℓ (cos ).(3.65)ℓ=0Сингулярность амплитуды рассеяния в направлении рассеяния вперед проявляется в расходимости ряда (3.65) [56].
Парциальное разложение∞∑︁=4(2ℓ + 1)|ℓ |2ℓ=0полного сечения рассеяния также расходится. Рассмотрим вначале конечноечисло членов этих рядов. Введем частичные суммы () =∑︁(2ℓ + 1)ℓ ℓ (cos )(3.66)ℓ=0и =∑︁4(2ℓ + 1)|ℓ |2 ,(3.67)ℓ=0где — конечное неотрицательное целое число. Получившиеся суммы выразимчерез парциальные компоненты -матрицы, вводимые стандартной формулойℓ = 1 + 2ℓ ,(3.68)и рассмотрим величину(︀)︀4 ∑︁ℑm (0) − = 2(2ℓ + 1) 1 − |ℓ |2 .(3.69)ℓ=0При отсутствии поглощения, то есть в случае вещественного добавочного потенциала 2 , рассеяние унитарно, т.е. |ℓ | = 1, и (3.69) преобразуется к виду4ℑm (0) − = 0.(3.70)81Пока конечно, эта формула верна как в случае короткодействующего, таки в случае дальнодействующего потенциалов.
Различие возникает при попыткевычисления предела при → ∞. Действительно, в случае короткодействующего потенциала пределы каждой из величин в левой части (3.70) существуют ипредельный переход ведет к стандартной оптической теореме. Однако в случаедальнодействующего потенциала пределов каждой из величин в отдельностине существует, но существует предел их разности и этот предел тривиален всилу (3.70).
Поэтому можно написать(︂lim →∞4ℑm (0) − )︂= 0.(3.71)Полученное соотношение назовем обобщением оптической теоремы на случайгамильтониана с суммой кулоновского и короткодействующего локального вещественного потенциалов.3.3.4. Обобщение оптической теоремы: сумма кулоновского и чистомнимого точечного потенциаловРассмотрим, наконец, гамильтониан−∆ + () + i ()с суммой кулоновского потенциала и псевдопотенциала (2.23) с комплекснойконстантой связи. В этом случае -матрица не унитарна. Действительно, компоненты амплитуды в случае суммы кулоновского и короткодействующего потенциалов имеют вид′ℓ = ℓ + ℓ .(3.72)Здесь кулоновская парциальная амплитуда выражается формулойℓ =2iℓ − 1.2(3.73)82Из полученных выше равенств (3.39)–(3.40) следует, что добавочная амплитуда′ℓ равна нулю при ℓ ̸= 0, а при ℓ = 0 имеет вид′0i Γ2 (1 + i)−= −.4 1 + i()(3.74)Теперь из определения парциальных компонент -матрицы (3.68) получаем0 = 2i0 + 2i 0′ ,(3.75)ℓ = 2iℓ , ℓ ≥ 1 .(3.76)Отсюда следует унитарность парциальных компонент -матрицы c ℓ ≥ 1, тоесть |0 | ≠ 1, |ℓ | = 1 при ℓ ≥ 1.
Это позволяет вычислить правую часть (3.69)(︀)︀)︀ ∑︁ (︀22(2ℓ+1)1−||=1−||.ℓ022(3.77)ℓ=0С учетом последнего равенства приходим к варианту оптической теоремы приконечном )︀4 (︀(3.78)ℑm (0) − = 2 1 − |0 |2 .Но правая часть не зависит от . Поэтому предел левой части при → ∞существует и равен(︂lim →∞4ℑm (0) − )︂=)︀ (︀21−||.02(3.79)Назовем полученное равенство обобщением оптической теоремы на случай гамильтониана с суммой кулоновского потенциала и точечного потенциала аннигиляции. Как и в случае оптической теоремы (3.53), величина в правой частиявляется мерой отклонения -матрицы от унитарности и определяет сечениепоглощения)︀ (︀21−||.(3.80)02Чтобы привести обобщение (3.79) оптической теоремы к окончательномуa =виду, нужно выразить правую часть (3.80) через волновую функцию.
Покажем,что имеет место равенство1 − |0 |2 =−| |2 .(3.81)83Подставим в выражение для -волновой парциальной компоненты -матрицы (3.75)значение величины 0′ (3.74), а также выражение2i0 = Γ(1 + i)/Γ(1 − i),которое следует из определения кулоновского фазового сдвига. Мы получимформулуΓ(1 + i) Γ2 (1 + i)−0 =+.Γ(1 − i)2 (1 + i())Подставляя это выражение в левую часть (3.81), с учетом свойства гамма-функции Γ() = Γ(), получим равенство(︀)︀−2|Γ(1+i)|1−ℑm()−1 − |0 |2 = −|1 + i()|2 2 2 −2 |Γ(1 + i)|4−=4 2 |1 + i()|2}︂{︂−|Γ(1 + i)|2 − 2 |Γ(1 + i)|2 −−=−2ℑm () + |Γ(1 + i)|2 − .22|1 + i()|2|1 + i()|2(3.82)Покажем, что выражение в фигурных скобках равно нулю.
С учетом определения (2.16) величины () первое слагаемое в фигурных скобках преобразуетсяк видуn− ℑm [ln(−2i) + (1 + i)]2 2nn= − + − ℑm (1 + i).2 4 2−2ℑm () = −(3.83)Используем формулу [37]ℑm (1 + i) = −1+ cth()2 2(3.84)и получим(︂)︂)︁nn (︁n1−+ − ℑm (1 + i) =1 − cth() = −.2 4 242 2 − 1(3.85)Окончательно приходим к выражению− 2ℑm () = −n1.2 2 − 1(3.86)84Второе слагаемое в фигурных скобках преобразуем с помощью соотношения [37]|Γ(1 + i)|2 = Γ(1 + i)Γ(1 − i) = iΓ(i)Γ(1 − i) =.sh()(3.87)Оно принимает видn1|Γ(1 + i)|2 − =.222 −1(3.88)Сравнивая (3.86) и (3.88), убеждаемся, что выражение в фигурных скобкахв (3.82) действительно равняется нулю. Мы приходим к равенству−|Γ(1 + i)|2 −−1 − |0 | ==| |2 ,2|1 + i()|2(3.89)которое и доказывает (3.81).
Это приводит к окончательному выражению длясечения поглощения−| |2и к окончательному виду оптической теоремы(︂)︂4−limℑm (0) − =| |2 . →∞a =(3.90)(3.91)Параметр был введен в предыдущей главе в связи с применением методапсевдопотенциала для добавления точечного потенциала в уравнение Шредингера с кулоновским потенциалом.
Из формулы (2.3) следует, что выражаетсячерез волновую функцию рассеяния с помощью интегралаZ = d ()sc (, ).(3.92)Правая часть (3.91) позволяет вычислить сечение поглощения в рассматриваемом в настоящем подразделе случае. Подчеркнем, что попытка использованияформулы (3.55) вместо (3.91)–(3.92) приведет к ошибке.Правая часть (3.91) преобразуется к виду (3.55) лишь в том случае, когдасечение поглощения вычисляется в первом борновском приближении. Действительно, вычислим по формуле (3.92) в нулевом порядке по константе связи .
Из формулы (3.36) следует, чтоsc (, ) = (, ) + ()(3.93)85и = (0, ) + ().(3.94)Тогда сечение поглощения в главном порядке записывается в виде−a ∼Zd ()| (, )|2 ,(3.95)и оптическая теорема в том же порядке имеет вид(︂lim →∞4ℑm (0) − )︂−∼Zd ()| (, )|2 .(3.96)Остается отметить, что в рассматриваемой нами физической модели сечение поглощения a (3.90) является сечением аннигиляции ann при рассеянии всистеме электрон-позитрон.3.4. Выводы к третьей главеВ этой главе для описания физической системы электрон-позитрон был использован нерелятивистский модельный гамильтониан с суммой кулоновскогопотенциала и точечного потенциала в форме псевдопотенциала с комплекснойконстантой связи. Этот потенциал аннигиляции дает возможность учета аннигиляции электрон-позитронной пары.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
