Диссертация (1149922), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

При решении точного уравнения, котороеопределяет спектр позитрония в рамках рассматриваемой модели, была исполь­зована малость константы связи потенциала аннигиляции. Поправка первогопорядка по к уровням энергии кулоновского спектра является комплексной.Получено явное выражение для амплитуды рассеяния в системе электрон­позитрон. Для вычисления сечения аннигиляции электрон-позитронной парыбыла использована оптическая теорема. Было получено несколько обобщенийоптической теоремы, в их числе обобщение на случай гамильтониана с сум­мой короткодействующих локальных потенциалов, один из которых имеет чи­сто мнимую константу связи, а также обобщение на случай суммы коротко­действующего локального потенциала и точечного потенциала с чисто мнимой86константой связи.

Для обобщения на случай гамильтониана с кулоновским взаи­модействием использовано разложение стандартной оптической теоремы в пар­циальный ряд. Наконец, оптическая теорема получена в случае гамильтонианас суммой кулоновского потенциала и точечного потенциала с чисто мнимой кон­стантой связи. Во всех перечисленных случаях в оптической теореме возникаетдополнительное слагаемое, которое интерпретируется как сечение поглощениячастиц. Это позволило получить выражение для сечения аннигиляции элек­трон-позитронной пары при рассеянии в системе электрон-позитрон.87ЗаключениеВ заключении сформулируем результаты, полученные в данной работе.1. Получен вид координатной асимптотики в начале координат диагональ­ной части функции Грина оператора Шредингера с короткодействующимлокальным потенциалом, имеющим степенную особенность 1/− c <3/2. Это было сделано с помощью исследования первых итераций уравне­ния Липпманна-Швингера для функции Грина.

Оказалось, что в случаедостаточно сильной степенной особенности потенциала в асимптотике вдополнение к стандартной сингулярности (−1 ) возникает более слабаялогарифмическая (при = 1) или степенная особенность (1− ). Эти до­полнительные особенности нужно учитывать при определении оператораШредингера с суммой локального и точечного потенциалов с сингулярно­стями в одной и той же точке. В частности, сужается область определенияэтого оператора в пространстве 2 , которая фигурирует в определенииоператора Шредингера методом самосопряженных расширений.2. Дополнительная сингулярность в асимптотике функции Грина изменяеттакже явный вид псевдопотенциала, который добавляется в уравнениеШредингера в альтернативном подходе с псевдопотенциалом.

Это проис­ходит потому, что вид псевдопотенциала зависит от сингулярной частиасимптотики в начале координат волновой функции, являющейся решени­ем уравнения с псевдопотенциалом, а та в свою очередь выражается черезфункцию Грина оператора Шредингера с локальным потенциалом. Придостаточно слабой особенности локального потенциала псевдопотенциалимеет тот же вид, что и при добавлении его в уравнение Шредингера длясвободной частицы. Но при особенности локального потенциала в началекоординат, кулоновской и более сильной чем кулоновская, стандартныйвид псевдопотенциала приходится модифицировать. Преимущество мето­88да псевдопотенциала заключается в том, что он позволяет определятьточечные потенциалы с комплексной константой связи.3. Путем суммирования парциального ряда для функции Грина оператораШредингера с обрезанным кулоновским потенциалом было получено, чтов той области конфигурационного пространства, в которой ее аргументыограничены сверху радиусом обрезания потенциала, функция представля­ется в виде суммы функции Грина оператора Шредингера с кулоновскимпотенциалом и зависящего от радиуса обрезания слагаемого.

Это слага­емое допускает интегральное представление. В пределе бесконечного ра­диуса обрезания оно убывает как обратная степень радиуса обрезания.Аналогичное представление получается и для функции Грина оператораШредингера с хвостом кулоновского потенциала.4. Показано, что, как в случае суперпозиции короткодействующего потенци­ала и точечного взаимодействия, так и в случае суперпозиции кулоновско­го и точечного потенциалов вид псевдопотенциала полностью определяет­ся параметрами локальных потенциалов, определяющими их поведение вточке сингулярности.5.

В рамках нерелятивистского модельного гамильтониана, в котором учте­на возможность аннигиляции позитрон-электронной пары, с суммой ку­лоновского потенциала и точечного потенциала аннигиляции вычисленынекоторые наблюдаемые для системы электрон-позитрон. В частности, ис­следован спектр позитрония. Был получен явный вид первой поправки ккулоновским уровням энергии позитрония. Эта поправка является чистомнимой. В той же модели получен явный вид амплитуды рассеяния и се­чения аннигиляции электрон-позитронной пары при рассеянии в системеэлектрон-позитрон. Для вычисления сечения была обобщена стандартнаяоптическая теорема на случай гамильтониана, содержащего сумму даль­89нодействующего кулоновского потенциала и чисто мнимого точечного по­тенциала.90Список литературы1.

Демков Ю. Н., Островский В. Н. Метод потенциалов нулевого радиуса ватомной физике. Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1975.2. Ivanov I. A., Mitroy J. Optical model theory for positron annihilation duringscattering // J. Phys. B. 2000. Vol. 33. Pp. L831–L837.3. Breit G.

The Scattering of Slow Neutrons by Bound Protons I. Methods ofcalculation // Phys. Rev. 1947. Vol. 71, no. 4. Pp. 215–231.4. Fermi E. Sul moto dei neutroni nelle sostanze idrogenate // Ricerca Scientifica.1936. Vol. 7. Pp. 13–52.5. Блатт Д., Вайскопф В. Теоретическая ядерная физика. Москва: ИЛ, 1954.6. Березин Ф. А., Фаддеев Л. Д. Замечание об уравнении Шредингера с син­гулярным потенциалом // ДАН СССР. 1961. Т. 137, № 5. С. 1011–1014.7. Альбеверио С., Гестези Ф., Хёэг-Крон Р., Хольден Х. Решаемые модели вквантовой механике.

Москва: Мир, 1991.8. Bulla W., Gesztesy F. Deficiency indices and singular boundary conditions inquantum mechanics // J. Math. Phys. 1985. Vol. 26, no. 10. Pp. 2520–2528.9. Zorbas J. Perturbation of self-adjoint operators by Dirac distributions // J.Math. Phys. 1980. Vol. 21, no. 4. Pp. 840–847.10. Яковлев С. Л., Градусов В. А. Об особенности функции Грина оператораШредингера с потенциалами, сингулярными в начале координат // ВестникРоссийского университета Дружбы Народов. Серия: математика, информа­тика, физика. 2014. № 1. С.

153–157.11. Yakovlev S. L., Gradusov V. A. Extension of the zero-range potential model ontothe Hamiltonians with a singularity at the origin // Mathematical Modellingand Geometry. 2013. Vol. 1, no. 3. Pp. 1–12.12. Yakovlev S. L., Gradusov V. A. Zero-range potential for particles interactingvia Coulomb potential // J. Phys. A: Math.

Theor. 2013. Vol. 46. P. 035307.13. Yakovlev S. L., Gradusov V. A., Volkov M. V. On Recent Analytical Results91for Solution of the Scattering Problem for the Sharply Screened Coulomb Po­tential // Few-Body Systems. 2014. Vol. 55. Pp. 805–808.14. de L. Kronig R., Penney W. G. Quantum Mechanics of Electrons in CrystalLattices // Proc. R. Soc. Lond. A.

1931. Vol. 130. Pp. 499–513.15. Bethe H., Peierls R. Quantum Theory of the Diplon // Proc. R. Soc. Lond. A.1935. Vol. 148. Pp. 146–156.16. Thomas L. H. The Interaction Between a Neutron and a Proton and the Struc­ture of H3 // Phys. Rev. 1935. Vol. 47. Pp. 903–909.17. Базь А. И., Зельдович Я. Б., Переломов А. М. Рассеяние, реакции и распадыв нерелятивистской квантовой механике. Москва: Наука, 1971.18. Feshbach H., Lomon E. Nucleon-Nucleon Scattering // Phys. Rev. 1956.

Vol.102, no. 3. Pp. 891–904.19. Huang K., Yang C. N. Quantum-Mechanical Many-Body Problem with Hard­Sphere Interaction // Phys. Rev. 1957. Vol. 105, no. 3. Pp. 767–775.20. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. Москва: Наука,1988.21. Павлов Б. С. Модель потенциала нулевого радиуса с внутренней структу­рой // ТМФ.

1984. Т. 59, № 3. С. 345–353.22. Куперин Ю. А., Макаров К. А., Мельников Ю. Б. Кулоновская задача двухтел с внутренней структурой // ТМФ. 1988. Т. 74, № 1. С. 103–111.23. Brasche J. F., Exner P., Kuperin Yu. A., Šeba P. Schrödinger Operators withSingular Interactions // J. Math. Anal. Appl. 1994.

Vol. 184. Pp. 112–139.24. Brüning J., Geyler V., Pankrashkin K. On-diagonal singularities of the Greenfunctions for Schrödinger operators // J. Math. Phys. 2005. Vol. 46. P. 113508.25. Lakaev S., Darus M., Kurbanov Sh. Puiseux series expansion for an eigenvalueof the generalized Friedrichs model with perturbation of rank 1 // J. Phys. A.2013. Vol. 46. P.

205304.26. Ландау Л. Д., Смородинский Я. А. Рассеяние протонов протонами //ЖЭТФ. 1944. Т. 14. С. 269.9227. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская тео­рия). Москва: Физматлит, 2004.28. Grossmann A., Wu T. T. Fermi pseudopotential in higher dimensions // J.Math. Phys. 1984. Vol. 25, no. 6. Pp. 1742–1745.29. Лебедев В. И. Функциональный анализ и вычислительная математика.Москва: Физматлит, 2000.30. Ньютон Р. Теория рассеяния волн и частиц. Москва: Мир, 1969.31.

Ikebe T. Eigenfunction Expansions Associated with the Schroedinger Operatorsand their Applications to Scattering Theory // Arch. Rational Mech. Anal.1960. Vol. 5. Pp. 1–34.32. Повзнер А. Я. О разложении произвольных функций по собственным функ­циям оператора −∆ + // Матем. сб. 1953. Т.

Характеристики

Список файлов диссертации