Диссертация (1149922), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Действительно, следуя методу работы [41], перепишем формулу (2.60) в видеZ1′2 (, , ) =∞1 ∑︁ (, ) (, ′ )d (, )(2 + 1) (),4′(2.61)=0−1где ядро определяется своим разложением в ряд по полиномам Лежандра (, ) =∞∑︁(ℓ + 1/2)ℓ ()ℓ ()ℓ ().(2.62)ℓ=0Здесь учтено, что полиномы Лежандра удовлетворяют соотношениям ортогональностиZ1d ℓ () () =2ℓ2ℓ + 1(2.63)−1и полноты [37]∞∑︁2ℓ + 1ℓ=02ℓ ()ℓ () = ( − ).(2.64)54−Теперь, используя формулу ℓ = (exp{iℓ }+ℓ −exp{−iℓ }ℓ )/(2i), парциальноеразложение (2.58) кулоновской функции Грина (, ′ , 2 + i0) и такое жеразложение (, ′ , 2 − i0), которое получается комплексным сопряжениемформулы (2.58), получаем для представление1 (, ′ , 2 ) =2iZ1d (, )[ (, ′ , , 2 + i0) − (, ′ , , 2 − i0)]. (2.65)−1В обозначении кулоновской функции Грина в подынтегральном выражении явно отражен тот факт, что функция Грина оператора Шредингера с центральносимметричным потенциалом как функция пространственных аргументов зависит только от , ′ и угла между векторами и ′ посредством скалярногопроизведения ≡ ˆ · ˆ′ .Аналогично получается представление функции Грина в области конфигурационного пространства > , ′ > .
Подставляя соответствующиезначения ℓ и ℓ из (2.45) и (2.46) в формулу (2.42), получим выражение (ℓ , ˆ ℓ) ˆ (< )ℎ̂+(2.66)ℓ (> )+ ℓ (ℓ , ℎ̂ℓ ) (ℓ , ˆℓ )−ˆ ℓ (< )ℎ̂+ℓ (> )+ (ℓ , ℎ̂ℓ )11+′= ˆℓ (< )ℎ̂+()+Ξℓ ()ℎ̂+>ℓℓ ()ℎ̂ℓ ( ).ˆЗдесь было использовано соотношение ˆ ℓ = ℎ̂+ℓ − iℓ и величина Ξℓ () опредеℓ (, ′ , 2 + i0) =лена формулойΞ () = − (ℓ , ˆℓ )/ (ℓ , ℎ̂+ℓ ).(2.67)Подставляя представление ℓ в (2.40) и используя разложение функции Гринаоператора свободного движения в парциальный ряд∞ˆℓ (< )ℎ̂+ (> )1 ∑︁ℓ0 (, , + i0) =(2ℓ + 1)ℓ (ˆ · ˆ′ ),′4′2(2.68)ℓ=0вновь получаем представление функции Грина в виде суммы двух слагаемых (, ′ , 2 + i0) = 0 (, ′ , 2 + i0) + (, ′ , 2 ),(2.69)55где∞+′ℎ̂+1 ∑︁ℓ ()ℎ̂ℓ ( )(2ℓ + 1)Ξ () (, , ) =ℓ (ˆ · ˆ′ ).′4′2(2.70)ℓ=0Наконец, в области < , ′ > выражение для имеет вид(︃)︃∞′∑︁ℓ (, )ℎ̂+11′ 2ℓ ( ) (, , + i0) =(2ℓ + 1) −ℓ (ˆ · ˆ′ ).′+4 (ℓ , ℎ̂ℓ )ℓ=0(2.71)В случае > , ′ < представление функции Грина получается перестановкой в правой части последней формулы переменных и ′ .
Это следуетиз симметрии функции Грина относительно перестановки пространственныхаргументов.Интересно исследовать полученные представления (2.59) и (2.69) функцииГрина в пределе бесконечного радиуса обрезания потенциала → ∞. Привычислении в этом пределе величины ℓ , входящей в определение (2.62)–(2.65)второго слагаемого в представлении (2.59), по формуле (2.57) можно подставитьвместо входящих в эту формулу функций их асимптотические при → ∞выражения [36]i(−ℓ/2)ℎ̂+,ℓ () ∼ (2.72)ℓ (, ) ∼ sin ℓ ,(2.73)i(− ln(2)−ℓ/2)+,ℓ (, ) ∼ (2.74)где введено обозначение ℓ ≡ − ln(2) − ℓ/2 + ℓ .
В числителе выражения (2.57) получимi i(2− ln(2)−ℓ)+ (ℎ̂+,ℓ , ℓ ) ∼ − (2.75)а в знаменателе(︀)︀i(−ℓ/2) (ℎ̂+,)∼cos(−/)−isinℓℓℓℓ= i(−ℓ/2) −iℓ + (−1 )= i( ln(2)−ℓ ) + (−1 ).(2.76)56Тогда при → ∞ будем иметьℓ () = i exp(2iℓ )/() + (1/2 ).(2.77)Из спектрального разложения (2.62) для 2 (−1, 1) нормы ядра получаетсяасимптотическое выражение‖ ‖2 = max |ℓ ()| = /() + (−2 ).ℓ(2.78)Это означает, что в пределе → ∞ второе слагаемое в представлении (2.59)пренебрежимо мало, так что в области < , ′ < выполняется равенство (, ′ , ) = (, ′ , ) + (−1 ).(2.79)Итак, в пределе бесконечного радиуса обрезания → ∞ функция Грина оператора Шредингера с обрезанным кулоновским потенциалом совпадает в областизначений своих аргументов , ′ < с функцией Грина кулоновского потенциала. Отметим, что к тому же результату пришли авторы работы [46] другимметодом (без явного вычисления функции Грина ).Однако в области значений своих аргументов , ′ > функция Грина подобным свойством не обладает.
Чтобы убедиться в этом, исследуем асимптотическое поведение при → ∞ величины Ξℓ , входящей в определение (2.70)второго слагаемого в представлении (2.69). С учетом формулыˆℓ () ∼ sin( − ℓ/2)(2.80)для числителя выражения (2.67) получаем соотношение (ℓ , ˆℓ ) ∼ sin ℓ cos( − ℓ/2) − cos ℓ sin( − ℓ/2)( − /)= sin(ℓ − ln(2)) + (−1 ).(2.81)Формула (2.76) для знаменателя была получена ранее. В результате имеемΞℓ () = sin(ℓ − ln(2))−i( ln(2)−ℓ ) + (−1 ).(2.82)57Поэтому величина Ξℓ и, следовательно, второе слагаемое в представлении (2.69)не убывают в пределе → ∞.Формулы (2.56-2.62) и (2.79) справедливы лишь в той части конфигурационного пространства, в которой , ′ < . Тем не менее, представление функцииГрина в этой области изменения аргументов полностью определяет -матрицу(оператор перехода) () = − () . Действительно, с учетом представления (2.59) оператор имеет вид () = − () − () .(2.83)Последнее слагаемое в (2.83) пренебрежимо мало при → ∞, таким образом () = − () + (−1 ).(2.84)Следовательно, при → ∞ оператор перехода должен стремиться к кулоновской -матрице () = − () .(2.85)Предел ядра оператора перехода при → ∞ исследовался в импульсномпредставлении в работах [47, 48].
В этих работах было установлено, что поточечного по импульсным аргументам предела ядра при → ∞ не существует.Кроме того, в [38, 49, 50] показано, что ядро кулоновского оператора перехода является обобщенной функцией и не может рассматриваться как обычнаяфункция. Поэтому сходимость ядра оператора к ядру при → ∞ обязательно нужно понимать в смысле сходимости в пространстве обобщенныхфункций.Рассмотрим теперь функцию Грина (, ′ , 2 + i0) оператора Шредингера с хвостом кулоновского потенциала .
Повторим те же шаги, что были сделаны при вычислении . Граничные условия, которым удовлетворяют решения ℓ и ℓ уравнения (2.43) с дальнодействующим потенциалом () = ()теперь имеют вид ℓ (0) = 0 и ℓ () → exp{i( − ℓ/2 − ln 2)}. Процедура58сшивки решений для ℓ приводит к представлениюℓ () = ˆℓ (), ≤ ,(2.86)ℓ () = 1ℓ ℓ (, ) + 1ℓ ℓ (, ), > ,а для ℓ получаетсяℓ () = 2ℓ ˆℓ () + 2ℓ ˆ ℓ (), ≤ ,(2.87)ℓ () = +ℓ (, ), > .Выражения для коэффициентов получаются из условий непрерывности решений и их первых производных в точке = . В случае функции ℓ приходим кследующей линейной системе для определения коэффициентов 1ℓ и 1ℓ⎛⎝ℓ (, )⎞⎛ℓ (, )ℓ′ (, )′ℓ (, )⎠⎝1ℓ1ℓ⎞⎛⎠=⎝⎞ˆℓ ()⎠.ˆℓ′ ()(2.88)Поскольку определитель линейной системы равен − , решение системы имеетвид⎛⎝1ℓ⎞⎛′ℓ (, )⎠ = −1 ⎝1ℓ−ℓ′ (, )−ℓ (, )ℓ (, )⎞⎛⎞ˆℓ ()⎠⎝ˆℓ′ ()⎠.(2.89)Условия непрерывности в случае функции ℓ приводят к системе⎛ˆℓ ()ˆ ℓ ()⎝ˆℓ′ ()ˆ′ℓ ()⎞⎛2ℓ⎠⎝2ℓ⎞⎛⎠=⎝+ℓ (, )+′ℓ (, )⎞⎠.(2.90)Определитель этой системы равен − , решение имеет вид⎛⎝2ℓ⎞⎛ˆ′ℓ ()⎠ = −1 ⎝2ℓ−ˆℓ′ ()−ˆℓ ()ˆℓ ()⎞⎛+ℓ (, )⎠⎝+′ℓ (, )⎞⎠.(2.91)Запишем окончательные выражения для коэффициентов1ℓ = − (ˆℓ , ℓ )/, 1ℓ = (ˆℓ , ℓ )/ˆ2ℓ = − (+ˆ ℓ )/, 2ℓ = (+ℓ ,ℓ , ℓ )/.(2.92)59Вронскиан решений (ℓ , ℓ ) является константой и легко вычисляется.
Используя выражения для ℓ и ℓ в области < , получаем (ℓ , ℓ ) = (ˆℓ , 2ℓ ˆℓ + 2ℓ ˆ ℓ ) = 2ℓ (ˆℓ , ˆ ℓ ) = (ˆℓ , +ℓ ).(2.93)Теперь полученные выражения можно подставить в формулу (2.42) для определения ℓ . Результат будет зависеть от рассматриваемой области конфигурационного пространства: , ′ < , , ′ > или < < ′ .В области , ′ < парциальная функция Грина имеет видˆ ℓ) ˆ (+1ˆℓ ,+ i0) = ℓ (< )ˆℓ ()ˆℓ (′ ) (2.94)ℓ (> ) −+ (ℓ , ˆℓ )1ℓ () ˆ= ˆℓ (< )ℎ̂+()+ℓ ()ˆℓ (′ ).>ℓ′ 2ℓ (, , Здесь величина ℓ определяется формулой+ ++ ˆℓ () = − (ℓ , ℎ̂ℓ )/ (ℓ , ℓ ).(2.95)Суммирование парциального ряда (2.40) приводит к представлению в видесуммы двух слагаемых (, ′ , 2 + i0) = 0 (, ′ , 2 + i0) + (, ′ , 2 ).(2.96)Здесь второе слагаемое имеет вид∞ˆℓ ()ˆℓ (′ )1 ∑︁(2ℓ + 1)ℓ ()ℓ (ˆ · ˆ′ ).
(, , ) =4′′2(2.97)ℓ=0При помощи интегрального оператора с ядром (, ) =∞∑︁(ℓ + 1/2)ℓ ()ℓ ()ℓ ()(2.98)ℓ=0это второе слагаемое выражается через скачок непрерывности функции Гринаоператора −∆ свободного движения при переходе с верхнего на нижний берегразреза на комплексной плоскости энергий по формуле1 (, ′ , 2 ) =2iZ1d (, )[0 (, ′ , , 2 + i0) − 0 (, ′ , , 2 − i0)].
(2.99)−160В области > , ′ > парциальная функция Грина имеет вид (ˆℓ , ℓ )+(2.100)+ ℓ (, < )ℓ (, > ) (ℓ , ℓ ) (ˆℓ , ℓ )+−+ ℓ (, < )ℓ (, > ) (ℓ , ℓ )1Ξ′ℓ () iℓ += ℓ (, < )iℓ +(,)+ ℓ (, )+>ℓℓ (, ).′ 2ℓ (, , + i0) =Входящая в это выражение величина Ξℓ определяется формулойˆˆ +Ξℓ () = − (ℓ , ℓ )/ (ℓ , ℓ ).(2.101)Вновь получаем представление функции Грина в виде суммы (, ′ , 2 + i0) = (, ′ , 2 + i0) + (, ′ , 2 ),(2.102)в которой∞++′1 ∑︁iℓ ℓ (, )ℓ (, ) (, , ) =(2ℓ + 1)Ξℓ ()ℓ (ˆ · ˆ′ ).4′′2(2.103)ℓ=0Наконец, в области < , ′ > получаем)︃(︃∞∑︁ˆℓ ()+ (, ′ )11′ 2ℓ(2ℓ + 1) − (, , + i0) =ℓ (ˆ · ˆ′ ).′+ˆ4 (ℓ , ℓ )ℓ=0(2.104)Исследуем полученные представления (2.96) и (2.102) функции Грина при → ∞. При вычислении в этом пределе величин ℓ и Ξℓ , которые входятв представления слагаемых и из (2.96) и (2.102), заменим входящие вопределения этих величин (2.95) и (2.101) функции их асимптотическими выражениями.
Воспользуемся полученными ранее выражениями (2.75) и (2.81)для асимптотик числителей дробей из формул (2.95) и (2.101). Асимптотиказнаменателя имеет вид(︀)︀ˆℓ ) ∼ i(− ln(2)−ℓ/2) cos( − ℓ/2) − i sin( − ℓ/2)( − /) (+,ℓ= −i ln(2) + (−1 ).(2.105)61В результате получаем, чтоℓ () = −ii(2−ℓ) + (−2 )(2.106)иi ln(2)Ξsin(ℓ − ln(2)) + (−1 )ℓ () = −(2.107)при → ∞. Отсюда следует, что слагаемое в (2.96) убывает при → ∞как (−1 ), а слагаемое () из (2.102) в этом пределе не убывает. Поэтомутолько в области изменения своих аргументов , ′ < ядро оператора обладает свойством (, ′ , ) = 0 (, ′ , ) + (−1 ).(2.108)В заключительной части данного раздела вычислим асимптотику функции Грина (, 0, 2 + i0) при → 0. При вычислении этого предела можемсчитать, что выполнено неравенство < . Функция с такими пространственными аргументами описывается выражением (2.59). Исследуем асимптотику второго слагаемого в этом выражении. Воспользуемся представлением в виде ряда (2.60).
Асимптотическое поведение входящей в это представлениекулоновской функции определяется по формуле [36](︀)︀ℓ (, ) = ℓ ()ℓ+1 1 + /(ℓ + 1) + (2 )(2.109)при → 0. Подставляя предыдущее асимптотическое равенство в формулу (2.60),получим, что асимптотика функции имеет вид (, 0, 2 ) = 0 ()0 ()0 (, )/(4) + ()= 02 ()0 ()/(4) + ()(2.110)при → 0. Здесь 02 () = 2(2 −1)−1 [36]. Итак, функция (, 0, 2 ) имеетконечный пределlim (, 0, 2 ) = 02 ()0 ()/(4).→0(2.111)62Поэтому сингулярное поведение (, 0, 2 ) при малых происходит единственным образом от кулоновской функции Грина в (2.59).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
