Диссертация (1149922), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Поскольку взаимодействие парыэлектрон-позитрон описывается суммой кулоновского и точечного потенциалов,в действительности потенциал, описывающий аннигиляцию электрон-позитрон­ной пары, должен быть определен выражением12 () = ().Здесь псевдопотенциал () определен формулой (2.23).(3.9)69Перейдем к изучению системы электрон-позитрон в рамках модельногогамильтониана, в котором взаимодействие этих частиц описывается суммой ку­лоновского потенциала и точечного взаимодействия в форме псевдопотенциа­ла (3.9).

Этот гамильтониан, одновременно описывающий динамику частиц ианнигиляцию, после отделения движения центра масс имеет вид+ − = −~2n∆ + + i ().2(3.10)Здесь — приведенная масса системы, равная половине массы электрона, куло­новская константа связи n = 2 , — заряд электрона, = −1, что соответствуетпритяжению между частицами. Константа связи определена формулой (3.8).Перейдем в систему атомных единиц. В этих единицах гамильтониан (3.10)запишется в виде+ − = −∆ +n+ i (),(3.11)где теперь n = −1, а константа связи потенциала аннигиляции определяетсяравенством = −202 = −23 ,(3.12)где постоянная тонкой структуры ≈ 1/137.3.2.

Спектр позитронияВ этом разделе изучается спектр позитрония, под которым подразумевает­ся дискретный спектр модельного гамильтониана (3.11). Воспользуемся резуль­татом главы 2, согласно которому дискретный спектр гамильтониана с сум­мой кулоновского и точечного потенциалов определяется нулями знаменателяв (2.31) при = . Для нахождения решений уравнения (2.32) перепишем егов виде√( ) = i −1 ,(3.13)70где[︂(︂)︂]︂√√√i nn( ) =+ln(−2i ) + 1 + i √+ 20 − 1 .442 (3.14)Поскольку численное значение константы связи очень мало, около 10−5 эВ,можно решать уравнение (3.13) асимптотически при → 0. В этом пределе пра­вая часть (3.13) стремится к бесконечности, а следовательно и левая часть тожедолжна неограниченно возрастать. Это может происходить только из-за имею­щейся в выражении (3.14) дигамма функции.

Из разложения дигамма функциив ряд [37])︂∞ (︂1/1 ∑︁ 1−() = −0 − + =1 1 + /(3.15)легко видеть, что при аргументе дигамма функции, равном −, где — неот­рицательное целое число, левая часть (3.13) действительно будет стремится кбесконечности. Следовательно, уравнение, определяющее уровни энергии пози­трония в нулевом приближении, имеет видn1 + i √ = −,2 = 0, 1, . . . .(3.16)Решая это уравнение относительно , получаем кулоновский спектр = −n24 2, = 1, 2, . . .(3.17)Этого и следовало ожидать в случае отсутствия в гамильтониане потенциалааннигиляции при = 0.В качестве следующего шага вычислим поправку первого приближения куровню энергии. Прежде всего, представим его точное значение в виде′= −(κ + )2 ,(3.18)2где −κ= — кулоновский уровень энергии и — интересующая нас поправ­ка, обусловленная наличием потенциала аннигиляции.

Очевидно, имеет месторавенство = (). Для определения перепишем уравнение (3.13) в виде1√ = −i.( )(3.19)71′из окрестности Величина левой части уравнения (3.19) при значении = (при → 0) в главном порядке определяется дигамма функцией1√︀ ′ =( )4)︂ + ( 2 ).(︂n 1 + i √n(3.20)′2′→ стремится к неположительному це­Аргумент дигамма функции при лому числуnn1 + i √︀ ′ = 1 − − + ( 2 )22κ2 = 1, 2, . . . .(3.21)Из формулы (3.15) следует, что главный член асимптотического разложениядигамма функции при → − при неотрицательном целом имеет вид() ∼ −1,+ = 0, 1, . . .

.(3.22)Подставляя в предыдущую формулу интересующий нас аргумент (3.21), полу­чаем1(︂ 1 + i √n2)︂ =n2 2κ+ ( 2 ),(3.23)′где = 1, 2, . . .. Подставляя (3.20) и (3.23) в уравнение (3.19), перепишем егов виде асимптотического равенства2 + ( 2 ) = −i.2κ(3.24)Отсюда для получаем выражение = −2iκ22+ ( ) = −i n28 2+ ( 2 ).(3.25)Подставим это выражение для в определение (3.18) точного значения уровняэнергии и для него получим формулу′=2−κ− 2κ −2=2−κ(−n)3+ i+ ( 2 ),38(3.26)72где = 1, 2, . . .. Итак, поправка первого порядка к уровням энергии, обуслов­ленная наличием потенциала аннигиляции, имеет вид(−n)3i,8 3 = 1, 2, . .

. .(3.27)Интересно сравнить это значение поправки первого порядка с выражени­ем, полученным по стандартной теории возмущений. В нашем случае эта по­правка выражается матричным элементом потенциалаZ⟨ ℓ |i | ℓ ⟩ = ℓ ()i () ℓ ().(3.28)Здесь ℓ () — кулоновская волновая функция связанного состояния [36]√︂(−n)3√︃( − ℓ − 1)!28 2[( + ℓ)!]3(︂)︂{︁ n }︁ (︂ −n )︂ℓ−n2ℓ+1× exp −ℓ−1ℓ (, ),2 ℓ () =(3.29)где — полиномы Лагерра, ℓ — сферические функции.

Из замечания в концераздела 1.3 следует, что действие псевдопотенциала на регулярную в нулефункцию ℓ сводится к умножению на трехмерную -функцию () () = (0)().(3.30)С учетом предыдущего равенства интеграл в правой части (3.28) легко вычис­ляется. Он равен2⟨ |i | ⟩ = i (0).(3.31)Из явного вида (3.29) кулоновской волновой функции следует, что значение2 (0) нетривиально только при = 0, где получается200 (0)(−n)3=.8 3(3.32)Тогда окончательное значение поправки первого порядка имеет вид(−n)3⟨ 00 |i| 00 ⟩ = i,8 3(3.33)что совпадает с результатом (3.27), полученным путем исследования уравне­ния (3.13).733.3. Сечение аннигиляцииВ этом разделе рассматривается задача рассеяния в системе электрон-пози­трон в рамках модельного гамильтониана (3.11). Волновая функция рассеянияsc (, ) является решением уравнения Шредингера с псевдопотенциалом[︀]︀ − 2 sc (, ) = −i ()sc (, ),(3.34)дополненного граничным условием при → ∞ видаsc (, ) ∼ exp[i · + i ln( − · )]exp[i − i ln(2)]+ ().(3.35)Здесь — угол рассеяния, определенный соотношением cos = · /() и ()— амплитуда рассеяния на угол .

Как было показано в разделе 2.1, решениеграничной задачи (3.34)–(3.35) выражается формулой (2.8) c = i . Следова­тельно, согласно (2.8), (2.9) и (2.21), оно имеет видΓ2 (1 + i)−/2 −i; 21 (−2i)sc (, ) = (, ) − i.1 + i()4(3.36)Вычисляя асимптотику при → ∞ функции sc из (3.36) , получим в явномвиде амплитуду рассеяния (). Для этого нужно воспользоваться известнымиасимптотиками кулоновской волновой функции (, ) и функции Уиттекера.Первое слагаемое (3.36) асимптотически имеет вид (3.35) с кулоновской ампли­тудой рассеяния [36] () = −exp{−i ln(sin2 /2) + 2i0 }.22 sin /2(3.37)Здесь -волновой кулоновский фазовый сдвиг определяется формулой 0 =arg Γ(1 + i).

Асимптотика функции Уиттекера при → ∞ имеет вид [37]−i, 21 (−2i) = −/2 i−i ln(2) + (1/).(3.38)Подставляя эти выражения в (3.36), получаем, что волновая функция sc дей­ствительно имеет асимптотический вид (3.35) с амплитудой рассеяния () вида () = () + ′ ()(3.39)74сi Γ2 (1 + i)− () = −.(3.40)4 1 + i()Как и должно быть в случае суммы кулоновского и короткодействующего по­′тенциалов, амплитуда рассеяния имеет вид суммы кулоновской амплитуды рас­сеяния и добавочного слагаемого. Это слагаемое ′ () является результатомналичия в гамильтониане системы добавочного к кулоновскому точечного по­тенциала и исчезает при → 0.

Отметим, что из выражения (3.40) следует,что амплитуда ′ () на самом деле не зависит от угла рассеяния. Так и должнобыть, поскольку псевдопотенциал действует только в -волне.Убедимся в том, что и в случае задачи рассеяния при использовании стан­дартной теории возмущений координатную часть потенциала аннигиляции мож­но заменить на трехмерную -функцию. Воспользуемся борновским приближе­нием в методе искаженных волн. В рамках этого метода первая поправка камплитуде () имеет вид [55]1 = −4Z (, −)i () (, ),(3.41)где (, ) — кулоновская волновая функция рассеяния, определенная в (2.7).Действие псевдопотенциала () на регулярную в нуле функцию сводитсяк умножению на трехмерную -функцию и легко вычисляется () (, ) = (0, )() = Γ(1 + i)−/2 ().(3.42)Тогда интегрирование в (3.41) приводит к результату = −i4Γ2 (1 + i)− .(3.43)Легко видеть, что полученное выражение совпадает с членом порядка в раз­ложении по константе связи при → 0 точного результата (3.40).Перейдем к вычислению сечения аннигиляции.

Наиболее подходящим дляэтих целей соотношением, связывающим сечения происходящих в системе про­цессов, является оптическая теорема. Стандартная оптическая теорема связы­вает мнимую часть амплитуды рассеяния на нулевой угол с полным сечением75рассеяния в системе, которая описывается самосопряженным гамильтонианом скороткодействующим потенциалом [55].

В случае наличия в гамильтониане чи­сто мнимого локального или точечного потенциалов, кулоновского потенциалаили их комбинации, вид оптической теоремы необходимо модифицировать.В следующих подразделах мы укажем несколько модификаций оптическойтеоремы, в зависимости от типа входящих в гамильтониан потенциалов.3.3.1. Обобщение оптической теоремы: сумма короткодействующегои чисто мнимого потенциаловПусть вначале гамильтониан в уравнении Шредингера имеет вид−∆ + 1 () + i2 ().Здесь 1 () и 2 () — короткодействующие локальные потенциалы. Имея ввидукороткодействующий характер потенциалов, обозначим волновую функциюрассеяния, которая удовлетворяет уравнению Шредингера[︀]︀−∆ + 1 () + i2 () − 2 (, ) = 0(3.44)и асимптотически имеет видi· (, ) ∼ + ().(3.45)Домножая уравнение Шредингера (3.44) на комплексно сопряженную волновуюфункцию и вычитая домноженное на комплексно сопряженное уравнениеШредингера, приходим к формуле ()∆ () − ()∆ () = −2i2 ()| ()|2 .(3.46)Интегрируя левую и правую части по шару радиуса , используя формулуГрина для преобразования левой части и наконец устремляя к бесконечности,получим соотношениеZlim dˆ2→∞(︂)︂⃒Z⃒ () () − () () ⃒⃒= −2i d 2 ()| ()|2 ,=(3.47)76где слева стоит интеграл по сфере радиуса .

При вычислении предела в подын­тегральном выражении можно функцию заменить ее асимптотикой (3.45).Таким образом получаем(︂⃒ ]︂[︂)︂⃒⃒⃒= 2iℑm= () () − () () ⃒⃒ () ()⃒⃒==[︂ (︂)︂−= 2iℑm −i cos −i cos − i ()+ (−2 ) ×(︂)︂ ]︂× i cos + ()+ (−2 ) , (3.48)ˆ . В силу выражениягде, как и раньше, cos = ˆ · i· =]︀2 [︀ˆ − + (ˆ − )ˆ + ( −2 )−(ˆ + )i(3.49)для слабой асимптотики плоской волны [55], имеет место соотношениеZˆ i· () =d]︀2 [︀ˆ − + ( )ˆ + ( −2 ),−(− )i(3.50)где — некоторая гладкая функция своих аргументов.

Подставляя (3.48) винтеграл в левой части (3.47), с учетом предыдущего соотношения получаемZdˆ(︂)︂⃒⃒ () () − () () ⃒⃒==Z{︂}︂[︁]︁ 2i2i= −2 d sin 2i cos +ℑm i(1 + cos )i(1−cos ) () + 2 | ()|2 +0+ (−2 ). (3.51)Интеграл от первого слагаемого в фигурных скобках равен нулю. Асимптотикапри → ∞ интеграла от второго слагаемого вычисляется интегрированием по77частям⎡−Z⎤4 iℑm ⎣i d sin (1 + cos )i(1−cos ) ()⎦ =0[︂Z (︁]︂)︁4 ii(1−cos )(1 + cos ) () == 2 ℑm d ]︂[︂⃒04 i8 i⃒= 2 ℑm (1 + cos )i(1−cos ) ()⃒+ (1) = 2 ℑm (0) + (−2 ).=(3.52)Подставляя полученные результаты в формулу (3.47), получаем обобщение оп­тической теоремы−4ℑm (0) − =Z 2 ()| ()|2 .(3.53)Здесь — полное сечение рассеянияZ = 2 sin | ()|2 .(3.54)Правая часть (3.53) стандартным образом интерпретируется как сечение погло­щенияZ(−)a = 2 ()| ()|2 .(3.55)3.3.2.

Характеристики

Список файлов диссертации