Автореферат (1149906), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Основные результаты опубликованы в восьми работах, трииз которых являются статьями в изданиях, входящих в Перечень ведущихрецензируемых научных журналов и изданий ВАК.Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоитиз введения, пяти глав, заключения, списка литературы, включающего 54наименования, и приложения. Общий объем составляет 93 страницы машинописного текста.СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИВо введении обоснована актуальность исследования систем с запаздывающим аргументом, дан краткий обзор существующих проблем и методових решения, а также сформулирована решаемая задача.Первая глава носит вспомогательный характер.
В параграфе 1.1 введенобъект исследования — линейная стационарная система запаздывающего типаmmXXẋ(t) =Aj x(t − jh) +Bj w(t − jh),(1)y(t) =j=0mXj=0Cj x(t − jh),(2)j=0где h > 0 – положительное запаздывание, непрерывные функции x(t) ∈ Rn ,w(t) ∈ Rl , y(t) ∈ Rs являются текущим состоянием системы, входным ивыходным сигналами, w(t) – ограниченная функция, A0 , . . .
, Am , B0 , . . . , Bm ,C0 , . . . , Cm — вещественные матрицы соответствующих размерностей.Для определения решения системы необходимо указать начальную функцию ϕ ∈ P C ([−mh, 0], Rn ). Соответствующее ей решение будем обозначатьx(t, ϕ) или x(t), если выбор начальной функции несущественен.
Состояниемсистемы будет являться сегментxt (ϕ) : θ → x(t + θ, ϕ),θ ∈ [−mh, 0].Для краткости состояние системы также будем обозначать xt .Определение 1. Фундаментальной матрицей системы (1) называетсяматричнозначная функция K(t), удовлетворяющая уравнениюK̇(t) =mXAj K(t − jh),t > 0,K(θ) = 0n×n ,θ < 0.j=0и начальным условиямK(0) = I,6(3)c (s), Yb (s), X(s)bbВ параграфе 1.2 введены функции Wи K(s),являющиесяпреобразованиями Лапласа от функций w(t), y(t), x(t) и K(t) системы принулевых начальных условиях.
С их помощью дан ряд определений.Определение 2. Передаточной матрицей системы (1)-(2) называетсяматричнозначная функция комплексного переменного G(z), удовлетворяющая соотношениюc (z).Yb (z) = G(z)WОпределение 3. Прообраз Лапласа H(t) передаточной матрицы системыназывается импульсной передаточной матрицей системы (1)-(2).В параграфе 1.3 введено понятие нормы передаточной матрицы, являющейся основным предметом исследования.Определение 4. H2 нормой передаточной матрицы системы (1)-(2) называетсяZ∞1Tr (G∗ (iω)G(iω)) dω.kGk22 =2π−∞Теорема Парсеваля позволяет выразить H2 норму во временной областичерез импульсную передаточную матрицуkGk22 =Z∞Tr H T (t)H(t) dt.0Норма передаточной матрицы является показателем того, насколько система усиливает или ослабляет входной сигнал. Например, если система испытывает влияние аддитивного шума (при передаче информации или измерении физических параметров), H2 норма представляет собой среднее усилениесистемой входного сигнала.Вторая глава посвящена проблеме вычисления H2 нормы передаточной матрицы системы запаздывающего типа, введенной в первой главе.
Впараграфе 2.1 приведен метод решения аналогичной задачи для системы беззапаздываний с использованием матриц Ляпунова.В параграфе 2.2 для систем запаздывающего типа введено понятие матрицы Ляпунова, ассоциированной с несимметрической матрицей.Определение 5. Матрицей Ляпунова, ассоциированной с произвольнойквадратной матрицей W, для системы (1) называется непрерывная по τматрица U (τ, W ), удовлетворяющая следующим свойствам:7• динамическое свойство:mXdU (τ, W ) =U (τ − jh, W )Aj ,dτj=0τ > 0,(4)• свойство симметрии:U (−τ, W ) = U T (τ, W T ),τ > 0,(5)• алгебраическое свойство:mX TAj U (jh, W ) + U (−jh, W )Aj = −W.(6)j=0Для экспоненциально устойчивой системы матрица Ляпунова, определяемая свойствами (4)-(6), существует, единственна и может быть представленакакZ∞U (τ, W ) = K T (t)W K(t + τ ) dt.(7)0Следует отметить, что здесь рассмотрена матрица Ляпунова, ассоциированная, в отличие от классического случая, с несимметрической матрицей W.Это связано со спецификой ее дальнейшего использования.В подпункте 2.2.1 дано описание алгоритма вычисления матриц Ляпунова, который сводится к решению системы обыкновенных дифференциальныхуравнений со специально выбранными матрицами.В параграфе 2.3 сформулирована и доказана теорема, представляющаяосновной результат главы — явную формулу для вычисления H2 нормы передаточной матрицы системы запаздывающего типа.Теорема 1.
H2 норма передаточной матрицы экспоненциально устойчивойсистемы (1)-(2) может быть вычислена по формуле!mXkGk22 = TrBjT U ((j − r)h, W0 )Brj,r=0+2 TrmXBjTj,r=0mX!U ((j − r − p)h, Wp )Br,p=1где матрицы Ляпунова ассоциированы с матрицамиW0 =mXk=0CkT Ck ,Wp =Xk=0,...,m−p8CkT Cp+k ,p = 1, . . . , m.(8)Таким образом, вычисление H2 нормы сводится к нахождению значенийвспомогательных матриц Ляпунова в нескольких точках. Процесс построениянормы проиллюстрирован в параграфе 2.4 на примере системы управлениярасходом топлива газотурбинного двигателя.В третьей главе рассмотрена задача управления. В систему запаздывающего типа введено управляющее воздействие u(t) и рассмотрена системаследующего видаẋ(t) =mXAk x(t − kh) + Bw(t) + Eu(t),(9)k=0y(t) = Cx(t) + Du(t),(10)где h > 0 – положительное запаздывание, x(t) ∈ Rn , u(t) ∈ Rr , w(t) ∈ Rl ,y(t) ∈ Rs , w(t) – ограниченная функция, A0 , .
. . , Am , B, C, D, E — вещественные матрицы соответствующих размерностей, матрица DT D обратима.При нулевом управлении u(t) ≡ 0 система экспоненциально устойчива.Очевидно, что H2 норма передаточной матрицы системы (9)-(10) будет зависеть от выбора управления kGk22 = kG(u)k22 .В параграфе 3.1 поставлена задача построения управления, уменьшающего H2 норму передаточной матрицы системы.Показано, что задача минимизации H2 нормы передаточной матрицы системы сводится к минимизации квадратичного функционалаZ∞J(u) =f (x(t), u(t)) dt,(11)0где квадратичная форма f (x, u) имеет видf (x, u) = xT C T Cx + xT C T Du + uT DT Cx + uT DT Du.Управление, минимизирующее функционал (11) при произвольных начальных данных и нулевом входном сигнале, минимизирует H2 норму передаточной матрицы замкнутой им системы.В параграфе 3.2 представлен обзор методов H2 -оптимального управления для линейных систем без запаздываний, в частности, приведено решениезадачи оптимизации квадратичного функционала с помощью решения уравнения Рикатти и краткое описание метода Зубова.В параграфе 3.3 поставленная задача решена по аналогии с методом Зубова.
Для системы (9) при нулевом управлении u(t) = 0 построена матрицаЛяпунова U (τ ), ассоциированная с матрицей C T C, и введена вспомогатель9ная функция, зависящая от управленияL(u) = 2xT (t)C T Du + uT DT Du0ZmXxT (t + θ)ATk U (kh + θ) dθ Eu.+2 xT (t)U (0) +k=1 −khДоказано, что точка минимума функции существует, единственна и равнаū = −(DT D)−1 E T U (0) + DT C x(t)(12)m Z0X−(DT D)−1 E TU (−kh − θ)Ak x(t + θ) dθ.k=1 −khОчевидно, что L(ū) 6 0 = L(0).Затем рассмотрена система (9)-(10), замкнутая управлением построенноговида (12). Выбрана произвольная начальная функция ϕ ∈ P C ([−mh, 0], Rn ),и при нулевом входном сигнале w(t) ≡ 0 построено соответствующее этойначальной функции решение x(t) = x(t, ϕ) замкнутой системы.Для матриц Ляпунова U (τ ) построен функционал Ляпунова-Красовскогоv0 (ϕ), с помощью которого сформулировано и доказано вспомогательноеутверждение, позволяющее судить об экспоненциальной устойчивости замкнутой системы.Лемма 1.
На решениях системы (9), замкнутой управлением (12), выполненоdv0 (xt )+ f (x, ū) = L(ū).dtЕсли квадратичная форма f (x, u) положительно определена, полученнаясистема является экспоненциально устойчивой. Если это не так, устойчивостьзамкнутой системы потребует дополнительного исследования.Далее сформулирована и доказана теорема, обосновывающая выборуправления.Теорема 2.
Для управления (12) справедливо следующее неравенствоkG(ū)k22 6 kG(0)k22 .Таким образом, построенное управление уменьшает значение H2 нормыпередаточной матрицы системы и решает поставленную задачу.10В параграфе 3.4 проведен анализ замкнутой системыẋ(t) = Â0 x(t) +mXAk x(t − kh) +y(t) = Ĉx(t) +Pk (θ)x(t + θ) dθ + Bw(t), (13)k=1 −khk=1m Z0Xm Z0XQk (θ)x(t + θ) dθ,(14)k=1 −khгдеÂ0 = A0 − E(DT D)−1 E T U (0) + DT C ,Pk (θ) = −E(DT D)−1 E T U T (kh + θ)Ak , k = 1, . . . , m,Ĉ = C − D(DT D)−1 E T U (0) + DT C ,Qk (θ) = −D(DT D)−1 E T U T (kh + θ)Ak ,k = 1, .
. . , m.Системы такого вида называют системами с распределенным запаздыванием.Для системы с распределенным запаздыванием аналогичным образом введено понятие матрицы Ляпунова V (θ). С ее помощью сформулирована и доказана теорема, позволяющая найти норму передаточной матрицы и убедиться, что построенное управление не увеличивает ее значение.Теорема 3. H2 норма передаточной матрицы системы (13)-(14) равнаkGk22m Z0hX= Tr ĈV (0)Ĉ T + 2ĈV (θ)QTk (θ) dθk=1 −kh+m Xm Z0Xk=1 j=1 −khZ0Qk (θ1 )V (θ2 −θ1 )QTj (θ2 ) dθ2 dθ1i.−jhДля вычисления H2 нормы передаточной матрицы системы (13)-(14), замкнутой управлением (12), достаточно найти матрицу Ляпунова V (θ) приθ ∈ [−mh, mh]. Для систем с распределенным запаздыванием не существуетобщего алгоритма нахождения матрицы Ляпунова.
Однако в рассматриваемом случае в ядро системы Pk (θ), k = 1, . . . , m, входит матрица Ляпуноваисходной системы, которая, как было показано, может быть найдена как решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для данногослучая известен точный метод построения матрицы Ляпунова V (θ).Подробно механизм построения управления и вычисления H2 нормы передаточной матрицы замкнутой системы проиллюстрирован в параграфе 3.5на примере системы управления топливом газотурбинного двигателя.11В четвертой главе рассмотрен другой тип систем с запаздываниями– системы нейтрального типа. В параграфе 4.1 представлена исследуемаясистема!mmXXdDj x(t − jh) =Aj x(t − jh), t > 0,(15)dt j=0j=0где h > 0 – положительное запаздывание, D0 = I, D1 , .
. . , Dm , A0 , . . . , Am —вещественные матрицы соответствующих размерностей. Предполагается, чтоmXDj x(t − jh)j=0непрерывна по t > 0.Для определения решения системы необходимо ввести начальную функциюϕ ∈ P C 1 ([−mh, 0], Rn ) .Для обозначения решения и состояния системы будем по-прежнему использовать x(t, ϕ) и xt (ϕ).Для системы нейтрального типа отмечены некоторые особенности по сравнению с системами запаздывающего типа. Если начальная функция имеетточку разрыва θ1 ∈ [−mh, 0], то решение будет иметь разрывы в точкахtk = θ1 + kh, k = 1, 2, .
. ., причем величины скачков равны∆x(tk ) = −mXDj ∆x(tk−j ),j=1где ∆x(t0 ) = ∆x(θ1 ) = ∆ϕ(θ1 ), ∆x(tk ) = 0, k < 0.Определение 6. Фундаментальной матрицей системы (15) называетсяматричнозначная функция K(t), удовлетворяющая уравнению#" mmXd XAj K(t − jh), t > 0,(16)Dj K(t − jh) =dt j=0j=0и условиям:1)2)K(0) = I, K(θ) = 0n×n , θ < 0,mXDj K(t − jh) непрерывна по t > 0.j=0В отличие от систем запаздывающего типа, фундаментальная матрица системы нейтрального типа будет кусочно-непрерывной функцией с разрывамив точках tk = kh, k = 0, 1, 2, . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
